第2课时 基本不等式
[核心必知]
1．定理1
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．定理2(基本不等式)
如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．即：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
3．算术平均与几何平均
如果a，b都是正数，我们就称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均．
4．利用基本不等式求最值
对两个正实数x，y，
(1)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；
(2)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．
[问题思考]
1．在基本不等式≥中，为什么要求a，b∈(0，＋∞)?
提示：对于不等式≥，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且a，b至少有一个为0时，不能称为几何平均(或等比中项)，因此规定a，b∈(0，＋∞)．
2．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？
提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．
考点1
利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c为正实数，
求证：(1)≥8；
(2)a＋b＋c≥＋＋.
[精讲详析] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．
(1)∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2＞0，
b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，
由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥
8··＝8abc.即≥8.
(2)∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，
c＋a≥2，由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2.
即a＋b＋c≥＋＋.
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(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的
结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚．
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1．已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.
证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，①
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.②
在不等式①两边同时加上a2＋b2＋c2，得
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2.
∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③
在不等式②两边同时加上2ab＋2bc＋2ac，得
(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)．
∴(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.④
由③④，得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.
考点2
利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
[精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．
∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
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利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
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2．求函数f(x)＝(x＞0)的最大值及此时x的值．
解：f(x)＝1－.
因为x＞0，所以2x＋≥2，得－(2x＋)≤－2，
因此f(x)≤1－2，当且仅当2x＝，
即x2＝时，式子中的等号成立．
由于x＞0，因而x＝时，等号成立．
因此f(x)max＝1－2，此时x＝.
考点3
利用基本不等式解决实际问题
某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决．
设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有S＝xy，由题意，得
40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式，得3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy＝120＋20S，
∴S＋6≤160，
即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16＞0，
∴－10≤0，从而S≤100.
因此S的最大允许值是100 m2，取得此最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15 m.
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利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．
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3．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书的单价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝单价－供货价格．求：
(1)每套丛书的单价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书的单价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解：(1)每套丛书的单价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
此时每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，
书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)，
故每套丛书的单价定为100元时，书商能获得的总利润是340万元．
(2)每套丛书的单价定为x元时，
由得0依题意，设单套丛书的利润为P元，
则P＝x－＝x－－30，
∴P＝－＋120，
∵00，
∵(150－x)＋≥2＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时，等号成立，
∴Pmax＝－20＋120＝100.
∴每套丛书的单价定为140元时，单套丛书的利润最大．
本节热点命题关注
本课时经常考查基本不等式在求函数最值中的应用，其中，建立函数模型，利用基本不等式求解最值问题是高考的热点．
[考题印证]
(江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
[命题立意] 考查基本不等式的应用，考查应用数学知识解决实际问题的能力．
[解析] 由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，
当且仅当x＝30时取等号，
故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
[答案] 30
一、选择题
1．设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．x＋y≤2(＋1)
C．x＋y≤(＋1)2 D．x＋y≥(＋1)2
解析：选A x＞0，y＞0，xy－(x＋y)＝1?xy＝1＋(x＋y)?1＋(x＋y)≤2?x＋y≥2(＋1)．
2．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
解析：选D ∵x≥，∴x－2≥.
∴f(x)＝＝(x－2)＋≥
2 ＝1，当且仅当＝，
即x＝3时，等号成立．∴f(x)min＝1.
3．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D 由题意，得a＋b＝x＋y，cd＝xy，又x>0，y>0，所以＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立，故最小值为4.
4．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：选B 当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥＝
－，
故a大于或等于－的最大值．
由基本不等式可得≥2，
∴－≤－2，即－的最大值为－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.
二、填空题
5．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．
解析：＝1＋4＋4x2y2＋
≥1＋4＋2 ＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．
答案：9
6．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；
(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时取等号，得＋≤2，故②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；
a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，
∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，
∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；
＋＝＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤正确．
答案：①③⑤
7．定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
解析：因为x>0，y>0，所以x?y＋(2y)?x＝＋＝＝≥，当且仅当＝，即x＝y时等号成立．故x?y＋(2y)?x的最小值为.
答案：
8．已知a∈R，b>0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是________．
解析：∵b>0，且(a＋b)b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2＝2.当且仅当＝b，即b＝1时等号成立，∴a＋的最小值为2.
答案：2
三、解答题
9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解：∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得或
10．设x＞0，y＞0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．
解：由x＞0，y＞0，且x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝·＝
＝≥＝，
当且仅当＝时等号成立，
即y＝2x(∵x＞0，y＞0，∴y＝－2x舍去)，
此时，结合x＋y＝4，解得x＝，y＝.
∴＋的最小值为.
∴≥m，即m的取值范围是.
11．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地欲建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？
解：(1)由已知，得写字楼最下面一层的建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑费用比其下面一层多100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
分析题意，可得写字楼从下到上各层的建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，
所以函数表达式为y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．
(2)由(1)，知写字楼每平方米的平均开发费用为
g(x)＝×10 000＝
＝50≥50×(2＋79)
＝6 950(元)，
当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
所以该写字楼建30层时，每平方米的平均开发费用最低．
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1．设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．x＋y≤2(＋1)
C．x＋y≤(＋1)2 D．x＋y≥(＋1)2
解析：选A x＞0，y＞0，xy－(x＋y)＝1?xy＝1＋(x＋y)?1＋(x＋y)≤2?x＋y≥2(＋1)．
2．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
解析：选D ∵x≥，∴x－2≥.
∴f(x)＝＝(x－2)＋≥
2 ＝1，当且仅当＝，
即x＝3时，等号成立．∴f(x)min＝1.
3．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D 由题意，得a＋b＝x＋y，cd＝xy，又x>0，y>0，所以＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立，故最小值为4.
4．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：选B 当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥＝
－，
故a大于或等于－的最大值．
由基本不等式可得≥2，
∴－≤－2，即－的最大值为－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.
二、填空题
5．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．
解析：＝1＋4＋4x2y2＋
≥1＋4＋2 ＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．
答案：9
6．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；
(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时取等号，得＋≤2，故②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；
a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，
∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，
∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；
＋＝＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤正确．
答案：①③⑤
7．定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
解析：因为x>0，y>0，所以x?y＋(2y)?x＝＋＝＝≥，当且仅当＝，即x＝y时等号成立．故x?y＋(2y)?x的最小值为.
答案：
8．已知a∈R，b>0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是________．
解析：∵b>0，且(a＋b)b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2＝2.当且仅当＝b，即b＝1时等号成立，∴a＋的最小值为2.
答案：2
三、解答题
9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解：∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得或
10．设x＞0，y＞0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．
解：由x＞0，y＞0，且x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝·＝
＝≥＝，
当且仅当＝时等号成立，
即y＝2x(∵x＞0，y＞0，∴y＝－2x舍去)，
此时，结合x＋y＝4，解得x＝，y＝.
∴＋的最小值为.
∴≥m，即m的取值范围是.
11．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地欲建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？
解：(1)由已知，得写字楼最下面一层的建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑费用比其下面一层多100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
分析题意，可得写字楼从下到上各层的建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，
所以函数表达式为y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．
(2)由(1)，知写字楼每平方米的平均开发费用为
g(x)＝×10 000＝
＝50≥50×(2＋79)
＝6 950(元)，
当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
所以该写字楼建30层时，每平方米的平均开发费用最低．
