一、选择题
1．设x＞0，则y＝x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析：选D y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，
当且仅当＝时取“＝”．
2．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
解析：选B ∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤3，
∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2(当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立)．
3．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3＝3＝3＝3(当且仅当xy＝x2，即x＝1，y＝2时，等号成立)．
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
解析：选B ∵a，b，c∈R＋，
∴≥，
∴x≥y，又x2＝，
z2＝，
∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，
∴z2≥x2，∴z≥x.即y≤x≤z.
二、填空题
5．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
解析：∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0.
∴a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝3＋5＝8.
(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)．
答案：8
6．已知a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：因为a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，所以＋＋＝(a＋2b＋3c)·≥3·3＝9，当且仅当a＝2b＝3c＝时取等号．因此＋＋的最小值为9.
答案：9
7．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：∵x－a>0，∴2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a≥3＋2a＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.所以实数a的最小值为2.
答案：2
8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.
其中正确不等式的序号是________．
解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥3.
0＜abc≤3＝，≥27，从而①正确，②也正确，
又1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥，从而③正确．
答案：①②③
三、解答题
9．若θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．
解：y2＝sin2θ·cos2θ·cos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)≤×3＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝时取等号．
此时ymax＝.
10．已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大，并求其最大值．
解：设内接圆柱的体积为V，又R2＝r2＋，
∴r2＝R2－，
∴V＝πr2h＝πh＝(4R2－h2)·h
＝ ＝
≤ ＝πR3，
当且仅当4R2－h2＝2h2，
即h＝R时，等号成立．
∴当h＝R时，内接圆柱的体积最大为 πR3.
11．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
证明：因为a，b，c为正实数，由算术－几何平均不等式可得＋＋≥3，
即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，
所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．
第3课时 三个正数的算术－几何平均不等式
[核心必知]
1．三个正数的算术－几何平均不等式
如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．n个正数a1，a2，…，an的算术－几何平均不等式
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
[问题思考]
1．满足不等式≥成立的a，b，c的范围是什么？
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0.
2．应用三个正数的算术－几何平均不等式，求最值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
考点1
利用平均不等式求最值
(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；
(2)求函数y＝x＋(x>1)的最小值．
[精讲详析] 本题考查三个正数的算术－几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术－几何平均不等式的条件，然后再求解．
(1)∵10，x－1>0.
又y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，
当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即x＝∈时，等号成立，即ymax＝.
(2)∵x>1，∴x－1>0，y＝x＋
＝(x－1)＋(x－1)＋＋1
≥3＋1＝4.
当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，
即x＝3时等号成立．即ymin＝4.
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(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用算术－几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．
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1．求函数y＝(1－3x)2·x的最大值．
解：y＝(1－3x)2·x＝·(1－3x)·(1－3x)·6x
≤3＝，
当且仅当1－3x＝1－3x＝6x，
即x＝∈时等号成立，所以ymax＝.
考点2
利用算术－几何平均不等式证明不等式
设a、b、c∈R＋，求证：
(1)(a＋b＋c)2≥27；
(2)(a＋b＋c)≥.
[精讲详析] 本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3＞0，
从而(a＋b＋c)2≥9＞0，
又＋＋≥3＞0，
∴(a＋b＋c)2≥3·9＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
(2)∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3＞0，
＋＋≥3＞0，
∴(a＋b＋c)≥.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
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三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.,连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致
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2．已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.
证明：∵1＋x＋y≥3>0，1＋x＋z≥3>0，1＋y＋z≥3>0，
∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.
又∵xyz＝1，∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27，
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立．
考点3
利用算术－几何平均不等式解应用题
已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
[精讲详析]
本题考查算术－几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术－几何平均不等式求最大值．
设圆柱体的底面半径为r，
如图，由相似三角形的性质可得＝，
∴r＝(H－h)．
∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0＜h＜H)．
根据平均不等式可得
V圆柱＝···h≤3＝πR2H.
当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H.
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(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．
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3．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．
解：设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1＝A1A2＝1，
∴A1B1＝OA1－OB1＝1－x.
作B1C1⊥A1A2于点C1，
在Rt△A1C1B1中，∠B1A1C1＝60°，
则容器的高B1C1＝A1B1sin 60°＝(1－x)．
因为0＝x2(1－x)＝·x·x(2－2x)
≤·3＝，
当且仅当x＝x＝2－2x，
即x＝时，等号成立．
故当正六棱柱容器的底面边长为时，容积最大为.
本节热点命题关注
本课时经常考查算术－几何平均不等式在求最值中的应用．本考题以解答题的形式考查了算术-几何平均不等式在证明不等式中的应用，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[命题立意] 本题考查基本不等式、算术－几何平均不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算能力．
[解] 法一：因为a，b，c均为正数，由平均不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，
所以2≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．
法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．
一、选择题
1．设x＞0，则y＝x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析：选D y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，
当且仅当＝时取“＝”．
2．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
解析：选B ∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤3，
∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2(当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立)．
3．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3＝3＝3＝3(当且仅当xy＝x2，即x＝1，y＝2时，等号成立)．
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
解析：选B ∵a，b，c∈R＋，
∴≥，
∴x≥y，又x2＝，
z2＝，
∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，
∴z2≥x2，∴z≥x.即y≤x≤z.
二、填空题
5．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
解析：∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0.
∴a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝3＋5＝8.
(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)．
答案：8
6．已知a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：因为a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，所以＋＋＝(a＋2b＋3c)·≥3·3＝9，当且仅当a＝2b＝3c＝时取等号．因此＋＋的最小值为9.
答案：9
7．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：∵x－a>0，∴2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a≥3＋2a＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.所以实数a的最小值为2.
答案：2
8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.
其中正确不等式的序号是________．
解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥3.
0＜abc≤3＝，≥27，从而①正确，②也正确，
又1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥，从而③正确．
答案：①②③
三、解答题
9．若θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．
解：y2＝sin2θ·cos2θ·cos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)≤×3＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝时取等号．
此时ymax＝.
10．已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大，并求其最大值．
解：设内接圆柱的体积为V，又R2＝r2＋，
∴r2＝R2－，
∴V＝πr2h＝πh＝(4R2－h2)·h
＝ ＝
≤ ＝πR3，
当且仅当4R2－h2＝2h2，
即h＝R时，等号成立．
∴当h＝R时，内接圆柱的体积最大为 πR3.
11．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
证明：因为a，b，c为正实数，由算术－几何平均不等式可得＋＋≥3，
即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，
所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．
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