一、选择题
1．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋>b＋ B．a＋≥b＋
C.> D．b－>a－
解析：选A ∵a>b>0，∴>>0，∴a＋>b＋，故选A.
2．若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－3,6)
C．(－3,3) D．(1,4)
解析：选C ∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.
3．下列命题正确的是( )
A．a＞b?ac2>bc2 B.＞?a＞b
C.?＜ D.?＜
解析：选C ∵ab＞0，∴a，b同号．又a3＞b3，
∴a＞b.∴＞.∴＞.
4．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|＞2，|β|＞2，则下列结论：
①|α－β|≤|α＋β|；②|α－β|＞|α＋β|；③|α＋β|＞5；
④|α＋β|≤5.其中正确的有( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
解析：选B 由|α＋β|＝|α|＋|β|知α，β同号，
∴|α－β|≤|α＋β|成立．∵|α|＞2，|β |＞2，
∴|α＋β|＝|α|＋|β|＞4＞5成立．
∴①③正确．
二、填空题
5．设x，y为实数，且满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
解析：∵4≤≤9，∴16≤≤81 ①.
∵3≤xy2≤8，∴≤≤ ②.
由①②可得2≤·≤27，即2≤≤27，
∴的最大值为27.
答案：27
6．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．
解析：由x－2y＋3z＝0得y＝，代入得≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
答案：3
7．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
解析：原不等式可化为
或或
解得－≤x≤，
即原不等式的解集为.
答案：
8．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为________．
解析：由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6×(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，∴9m≤54，即m≤6.
答案：6
三、解答题
9．求当x≠0时，f(x)＝的值域．
解：当x＞0时，f(x)＝＝.
∵x＋≥2，∴0＜≤.
∴0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．
当x＜0时，f(x)＝＝，
∵(－x)＋(－)≥2，∴x＋≤－2，
∴－≤＜0，
∴－1≤f(x)＜0，当且仅当x＝－1时，等号成立．
∴函数f(x)＝的值域为[－1,0)∪(0,1]．
10．已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；
(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)
解：(1)由题意，知x－2>4－x2或x－24－x2得x>2或x<－3；由x－22或x<－1，
∴原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}．
(2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|<3m的解集非空，
∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，
∴3m>9，∴m>3.
∴m的取值范围为(3，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)求不等式f(x)＋|x＋1|<2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n＝a(m>0，n>0)，求＋的最小值．
解：(1)f(x)＋|x＋1|＝
当x≤－1时，由－3x<2，得x>－，即x∈?；
当－10，即0当x≥时，由3x<2，得x<，即≤x<.
综上，原不等式的解集为.
(2)由条件得g(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|(2x－1)－(2x－3)|＝2，
当且仅当(2x－1)(2x－3)≤0，
即x∈时，取最小值a＝2，则m＋n＝2.
因为m>0，n>0，
所以＋＝(m＋n)＝≥5＋2＝，
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
所以＋的最小值为.
考点一
不等式基本性质的应用
本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．
若a、b是任意实数，且a＞b，则( )
A．a2＞b2 B.＜1
C．lg(a－b)＞0 D.a＜b
[解析] 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大小，或用特殊值法判断．
a＞b并不能保证a、b均为正数，从而不能保证A、B成立．又a＞b?a－b＞0，但不能保证a－b＞1，从而不能保证C成立．显然只有D成立．
事实上，指数函数y＝x是减函数，所以a＞b?a＜b成立．
[答案] D
考点二
基本不等式的应用
1．证明不等式
不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．
已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：·≥9.
[证明] 法一：∵x＋y＝1，∴＝＝1＋，
∴＝＝1＋，
∴＝＝5＋2≥5＋2×2 ＝9.
当且仅当＝，x＋y＝1，即x＝y＝时等号成立．
法二：∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴xy≤＝，∴≥4.
∴＝1＋＋＋＝1＋＋1＋＋1＋
＝3＋＋＋≥3＋4＋2 ＝9.
当且仅当＝，x＋y＝1，
即x＝y＝时等号成立．
若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥.
[证明] ∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)．
∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·
≥3×3＝9.
∴原式得证．
2．求函数的最值
在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．
已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
[解] y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)，
∵0＜x＜，∴1－3x＞0，x＞0.
∴y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)≤
×2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝，y有最大值.
当0A．2 B．2
C．4 D．4
[解析] 利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用基本不等式求解．
f(x)＝＝＋4tan x.
∵x∈，∴tan x>0.
故f(x)＝＋4tan x≥2 ＝4，当且仅当tan x＝时等号成立，故选C.
[答案] C
3．解决实际问题
由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数y＝x＋的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．
某游泳馆出售冬游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．
(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？
(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？
[解] 设买x张游泳卡，总开支为y元，则
(1)每批去x名同学，共需去批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x，
②包车所需费用×40.
∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．
∴y＝240≥240×2 ＝3 840，
当且仅当x＝，即x＝8时取等号．
故每人最少应交＝80(元)．
(2)每批去x名同学，共需去批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.
∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．
∴y＝240≥240×2 ＝1 920，
当且仅当x＝，即x＝4时取等号．但0＜x≤48，x∈Z，
又当x1＝5时，y1＝240×＝2 736；
当x2＝6时，y2＝240×＝2 720.
∵y1＞y2，∴当x＝6时，y有最小值，即ymin＝2 720.
故每人最少应交≈56.67(元).
考点三
含绝对值的不等式的解法
1．公式法
|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)；
|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)．
2．平方法
|f(x)|＞|g(x)|?[f(x)]2＞[g(x)]2.
3．零点分段法
含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．
解下列关于x的不等式：
(1)|x－x2－2|＞x2－3x－4；
(2)|x＋1|＞|x－3|；
(3)|x2－2|x|－2|≤1；
(4)|x－2|－|2x＋5|＞2x；
(5)|2x－1|＜|x|＋1.
[解] (1)法一：原不等式等价于
x－x2－2＞x2－3x－4或x－x2－2＜－(x2－3x－4)，
解得1－＜x＜1＋或x＞－3，
∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．
法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2(x2－x＋2＞0)，
∴原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4?x＞－3.
∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．
(2)法一：|x＋1|＞|x－3|，两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1，
∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
法二：分段讨论：
当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈?；
当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，
即x＞1，∴此时1＜x≤3；
当x＞3时，有x＋1＞x－3成立，∴x＞3.
∴原不等式解集为{x|x＞1}．
(3)∵x2＝|x|2，
∴原不等式化为－1≤|x|2－2|x|－2≤1，
即??
∴1＋≤|x|≤3.
∴原不等式解集为[－3，－1－ ]∪[1＋，3]．
(4)分段讨论：①当x＜－时，原不等式变形为
2－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，∴解集为.
②当－≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－.
∴解集为.
③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，解得x＜－，∴原不等式无解．
综上可得，原不等式的解集为.
(5)当x＜0时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得x＞0，
又∵x＜0，∴x不存在；
当0≤x＜时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得x＞0，又∵0≤x＜，∴0＜x＜；
当x≥时，原不等式可化为2x－1＜x＋1，即x＜2，∴≤x＜2.
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}.
考点四
不等式中的恒成立问题
若不等式对于给定区间内的任意值都成立，我们称它为不等式恒成立问题，常用的解决方法有：
(1)实根分布法
涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问题时，应根据“三个二次”的辩证统一关系，按照二次三项式有无实根分类讨论去解决问题．
(2)最值法
运用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．
(3)更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．
(4)数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．
若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 设y＝|x－a|＋|x－2|，则ymin＝|a－2|.
因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对?x∈R恒成立，
所以|a－2|≥1，解得：a≥3或a≤1.
所以a的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
若不等式|x－4|＋|3－x|[解] 法一：(1)当a≤0时，
不等式|x－4|＋|3－x|(2)当a>0时，先求不等式|x－4|＋|3－x|令x－4＝0，得x＝4，令3－x＝0，得x＝3.
①当x≥4时，x－4＋x－3解不等式组得4≤x<，∴a＞1.
②当31.
③当x≤3时，有4－x＋3－x解不等式组得1.
综合①②③可知当a>1时，原不等式有解，从而当0由(1)(2)两种情况可知不等式|x－4|＋|3－x|法二：令y＝|x－4|＋|3－x|.
则y＝
作出图象如图，由图象观察可知，要使不等式|x－4|＋|3－x|课件31张PPT。谢谢！一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．“|x－1|＜2”是“x＜3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵|x－1|＜2
?－2＜x－1＜2?－1＜x＜3.
∵－1＜x＜3?x＜3，反之不成立．
从而得出“|x－1|＜2”是“x<3”的充分不必要条件．
2．若a＞b＞c，则一定成立的不等式是( )
A．a|c|>b|c| B．ab>ac
C．a－|c|>b－|c| D.＜＜
解析：选C 当c＝0时，A不成立；
a<0时，B不成立；当a＝1，c＝－1时，D不成立．
∵a>b，∴C成立．
3．下列不等式中恒成立的个数是( )
①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；
③>(a，b，m>0，aA．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B ①不恒成立，当x<0时不等式不成立；②恒成立，a>b>c>0?>，即>，又c>0，故>；③恒成立，因为－＝>0，(a，b，m>0，a；
④恒成立，由绝对值不等式的性质可知，|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a|≥2a，故选B.
4．函数y＝log2(x＞1)的最小值为( )
A．－3 B．3
C．4 D．－4
解析：选B x＞1?x－1＞0，y＝log2＝
log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.
5．设6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是 ( )
A．(9,30) B．[0,18]
C．[0,30] D．(15,30)
解析：选A 因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a.又因为6＜a＜10，所以＞9,3a＜30.所以9＜≤a＋b≤3a＜30.即9＜c＜30.
6．设xy＜0，x，y∈R，则下列选项正确的是( )
A．|x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y|
C．|x＋y|<|x－y| D．|x－y|<||x|－|y||
解析：选C ∵xy＜0，∴x，y异号．不妨取x＝1，y＝－1验证即可．
7．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集为( )
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,1)
解析：选D 在|a＋b|≤|a|＋|b|中，当ab＞0或至少有一者为零时取等号，
∴当|a＋b|＜|a|＋|b|时，ab＜0，
∴x·log3x＜0，
∵x＞0，∴log3x＜0，故0＜x＜1.
8．若0＜x＜，则x2(1－2x)有( )
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
解析：选B ∵0＜x＜，∴1－2x＞0，x2(1－2x)＝x·x·(1－2x)≤3＝3＝，当且仅当x＝1－2x，即x＝时，上式取等号，∴当x＝时，x2(1－2x)有最大值.
9．已知a>0，b>0，a、b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵因为a＋b＝2×＝1，
所以α＋β＝a＋＋b＋
＝1＋＋＝1＋＋
＝3＋＋≥5，
当且仅当a＝b时等号成立，故选C.
10．若a，b，c>0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A.－1 B.＋1
C．2＋2 D．2－2
解析：选D 因为a，b，c>0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，所以a2＋ab＋ac＋bc＝4－2，4－2＝a2＋ab＋ac＋bc＝(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋2bc)≤(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋b2＋c2)，所以(2－2)2≤(2a＋b＋c)2，所以2a＋b＋c≥2－2，故选D.
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．若正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，则＋的最小值为________．
解析：因为正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1.
所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝7，当且仅当＝，即x＋y＝，y＋z＝时取等号．所以＋的最小值为7.
答案：7
12．不等式|x－x2－2|>x2－3x－4的解集为________．
解析：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，而x2－x＋2＝2＋>0，∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，故原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4.∴x>－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．
答案：{x|x>－3}
13．已知x2＋2y2＝1，则x2y4－1的最大值是________．
解析：∵x2＋2y2＝1，
∴x2＋y2＋y2＝1.
又x2·y4－1＝x2·y2·y2－1，
∵x2·y2·y2≤3＝，
∴x2y4－1≤－1＝－.即x2y4－1≤－.
∴x2y4－1的最大值是－.
答案：－
14．对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．
解析：由题意知，c＝4a2－2ab＋b2＝(2a＋b)2－6ab，∴(2a＋b)2＝c＋6ab.若|2a＋b|最大，则ab>0.当a>0，b>0时，(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3×2a·b≤c＋32，∴(2a＋b)2≤c＋(2a＋b)2，∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，当且仅当b＝2a，即时取等号，此时＋＋＝＋＋>0.当a<0，b<0时，(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3(－2a)·(－b)≤c＋32∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，即－2a－b≤2.当且仅当b＝2a，即时取等号．此时＋＋＝－－＋＝－＝42－1≥－1，当＝，即c＝4时等号成立．综上可知，当c＝4，a＝－1，b＝－2时，min＝－1.
答案：－1
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)当a＝0时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|＝
当x<－1时，f(x)＝－1<0，不合题意；
当－1≤x<0时，由f(x)＝2x＋1≥0，
解得－≤x<0;
当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．
综上，f(x)≥0的解集为.
(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，在同一直角坐标系中，作出y＝u(x)和y＝x的图象，如图：
易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－116．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.
(1)当a＝3时，解不等式f(x)≤4；
(2)若f(x)＝|x－1＋a|，求x的取值范围．
解：(1)当a＝3时，f(x)＝|2x－1|＋|x－3|＝
其图象如图所示，与直线y＝4相交于点A(0,4)和B(2,4)，
∴不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤2}．
(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|x－a|＝|x－1＋a|，
∴(2x－1)(x－a)≤0，
①当a<时，x的取值范围是；
②当a＝时，x的取值范围是；
③当a>时，x的取值范围是.
17．(本小题满分12分)某学校为了美化校园，要建造一个底面为正方形，容量为32 m3的柱形露天喷水池，问怎样建才能使得用来砌喷水池底部和四壁的镶面材料花费最少？
解：设喷水池底面正方形边长为x m，高为y m，则x2y＝32，
底面面积与四壁面积之和为S＝x2＋4xy＝x2＋2xy＋2xy≥3＝3＝48.
上式当且仅当x2＝2xy，
即x＝2y时取等号．
又x2y＝32，可得x＝4，y＝2.
故当底面正方形边长为4 m，高为2 m时，材料花费最少．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.
(1)求M；
(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．
解：(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝
由f(x)>－1，得或或
解得0(2)由(1)知0因为a2－a＋1－＝＝.
当0当a＝1时，＝0，所以a2－a＋1＝；
当10，所以a2－a＋1>.
综上所述，当0当a＝1时，a2－a＋1＝；
当1.
