2019年高一高二数学同步学案人教A版选修4-5 模块综合检测（课件+讲义）

C．q＝r>p D．p＝r>q
解析：选B　因为0.
又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f>f()，即p而r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln(ab)＝ln，所以r＝p，故p＝r7．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．2 B．4
C. D．16
解析：选B　由(x＋y)≥(1＋1)2＝4.
因此若不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则a≤4.
8．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋24
解析：选D　n＝1时，原式为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.
9．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花(　　)
A．17元 B．19元
C．21元 D．25元
解析：选B　由排序原理可知：花钱最少为1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．故应选B.
10．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　∵logxy＝－2，∴y＝，
∴x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝.
故应选A.
11．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为(　　)
A．(－∞，－1]
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
解析：选C　原不等式可化为①
或②
或③
解不等式组①得x≤－1，不等式组②无解，
解不等式组③得x≥4.
因此，原不等式的解集为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤2，|x2|≤2时，|f(x1)－f(x2)|≤6|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，则g(x)与M的关系是(　　)
A．g(x)?M B．g(x)∈M
C．g(x)?M D．不能确定
解析：选B　因为g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，所以|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|·(|x1|＋|x2|＋2)≤6|x1－x2|，所以g(x)∈M.
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
13．用数学归纳法证明：已知n是正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，则当n>1时，f(2n)>.其第一步是________________．
答案：验证当n＝2时，f(22)>成立
14．对一切正数m，不等式n<＋2m2恒成立，则常数n的取值范围是________．
解析：要使不等式恒成立，只要n小于＋2m2的最小值．因为＋2m2＝＋＋2m2≥3＝6，因此n<6.
答案：(－∞，6)
15．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|，则：
(1)当x<－2时，f(x)＝－2x＋1－x－2＝－3x－1>5；
(2)当－2≤x≤时，f(x)＝－2x＋1＋x＋2＝－x＋3，
故≤f(x)≤5；
(3)当x>时，f(x)＝2x－1＋x＋2＝3x＋1>.
综合(1)(2)(3)可知f(x)≥，
所以要使不等式恒成立，则需a2＋a＋2≤，
解得－1≤a≤.
答案：
16．下列四个命题中：
①a＋b≥2；②sin2x＋≥4；③设x，y都是正数，若＋＝1，则x＋y的最小值是12；④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε.
其中所有真命题的序号是________．
解析：①不正确．a，b符号不定；②不正确，sin2x∈(0,1]，利用函数y＝x＋的单调性可求得sin2x＋≥5；③不正确．(x＋y)＝10＋＋≥10＋6＝16；④正确．|x－y|＝|x－2＋2－y|≤|x－2|＋|2－y|＜ε＋ε＝2ε.
答案：④
三、解答题(本大题共有6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|解：(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，得1≤x≤2，
所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.
(2)证明：若|x－a|<1，
则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.
18．(本小题满分12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．
解：由柯西不等式得，
(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，
由条件可得，5－a2≥(3－a)2，
解得1≤a≤2，当且仅当＝＝时等号成立，即b＝，c＝，d＝时，amax＝2；
b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.
19．(本小题满分12分)设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．
解：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；
当－1当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4.
故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2.
(2)a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝
2(ab＋bc)，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
此时，ab＋bc取得最大值1.
20．(本小题满分12分)设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，且f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值；
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．
解：(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝
f(n1)f(n2)，取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)f(1)，
即f2(1)＝4.
因为f(n)>0(n∈N＋)，
所以f(1)＝2，
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23＝8.
(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立；
②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．
当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)f(1)＝2k·2＝2k＋1，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②得，对一切n∈N＋，f(n)＝2n都成立．
21．(本小题满分12分)若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值．
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6，并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，
且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，
且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)不存在，由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．
解：(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；
②当－1③当x≥－时，原不等式可化为x＋1<2x，
解得x>1.
综上，M＝{x|x<－1或x>1}．
(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以，要证f(ab)>f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|>|a＋b|，
即证|ab＋1|2>|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1>0，
即证(a2－1)(b2－1)>0.
因为a，b∈M，
所以a2>1，b2>1，
所以(a2－1)(b2－1)>0成立，
所以原不等式成立．