一、选择题
1．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为 ( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
2．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R>0”是“P，Q，R同时大于零”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 必要性显然成立，充分性：若P·Q·R>0，则P，Q，R同时大于零或其中有两个负的，不妨设P<0，Q<0，R>0，因为P<0，Q<0，即a＋b
0矛盾，故充分性成立．
3．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＝c2，则an＋bn与cn(n≥3，n∈N＋)的大小关系为( )
A．an＋bn>cn B．an＋bnC．an＋bn≥cn D．an＋bn＝cn
解析：选B ∵a2＋b2＝c2，
∴2＋2＝1，∴0<<1,0<<1，
∴y＝x，y＝x均为减函数．
∴当n≥3时，
有n<2，n<2，
∴n＋n<2＋2＝1，
∴an＋bn4．对“a、b、c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 对①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，这时a＝b＝c，不符合题意，故①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0符合题意，∴①对．
对②，当a>b与a二、填空题
5．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为________．
解析：对“最多”的否定应当是“最少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目最少为n＋1条”．
答案：直径的数目最少为n＋1条
6．M＝＋＋＋…＋与1的大小关系为________．
解析：M＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＜＋＋＋…＋＝1.即M＜1.
答案：M＜1
7．已知a∈R＋，则，，从大到小的顺序为________________．
解析：因为＋>＋＝2，＋<＋＝2，
所以2<＋<2，
所以 > > .
答案： > >
8．已知a>2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”、“＜”或“＝”)．
解析：∵a>2，∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)>0，
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
∴＜，
而＝loga(a2－1)
＜logaa2＝1，
∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.
答案：<
三、解答题
9．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于零．
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
因此假设不成立．
∴a，b，c中至少有一个大于0.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
证明：(1)是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)＋＋…＋<.
证明：(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.
又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．所以an＋＝，
因此{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，＝，
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，
所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.
所以＋＋…＋<.
11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，
(1)求a2，a3并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.
解：(1)∵a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，
∴a2＝22·a1＝16，a3＝22·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，∴为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋<＋＋＋·
＝＋·＜＋·＝＋＝＝＜＝，所以结论成立．
三 反证法与放缩法
[核心必知]
1．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
2．放缩法
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．
[问题思考]
1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
考点1
用反证法证明否定性结论
设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[精讲详析] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．
假设4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有a(1－b)＞，b(1－c)＞，c(1－d)＞，d(1－a)＞.
∴＞，＞，＞，＞.
又∵≤，≤，
≤，≤，
∴＞，＞，
＞，＞.将上面各式相加得2＞2，矛盾．
∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
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(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．
(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．
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1．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，
证明：(1)a＋b≥2;
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1可知，a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0同理0故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
考点2
用反证法证明“至多”、“至少”型命题
实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
[精讲详析] 本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方法．解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾．
假设a、b、c、d都是非负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，
∴a、b、c、d中至少有一个是负数．
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(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、唯一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．
(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则就不是反证法．
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2．已知f(x)＝x2＋px＋q，
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
证明：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾，
∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
考点3
用放缩法证明不等式
求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)．
[精讲详析] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，∴＜＜，
即－＜＜－(k∈N＋且k≥2)．
分别令k＝2,3，…，n，得－＜＜1－，
－＜＜－，…，－＜＜－，
将这些不等式相加得
－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，
即－＜＋＋…＋＜1－，
∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－，
即－＜1＋＋＋…＋＜2－
(n∈N＋且n≥2)成立．
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(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：
舍去或加上一些项：2＋＞2；
将分子或分母放大(缩小)：＜，＞，＜，＞(k∈R，k＞1)等．
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3．已知：an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，求证：＜an＜.
证明：∵＝，∴＞n，
∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…40＋n＝.
∵<，
∴an<＋＋＋…＋
＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.
综上得：＜an＜.
本节热点命题关注
反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大，一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用．
[考题印证]
设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1， 其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
[命题立意] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推理论证的能力．
[证明] (1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2.代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，
此与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，即l1与l2相交．
(2)法一：由方程组
解得交点P的坐标(x，y)为
而2x2＋y2＝22＋2＝＝＝1.
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
法二：l1与l2的交点P的坐标(x，y)满足
故知x≠0，从而
代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0，
整理后，得2x2＋y2＝1，
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
一、选择题
1．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为 ( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
2．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R>0”是“P，Q，R同时大于零”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 必要性显然成立，充分性：若P·Q·R>0，则P，Q，R同时大于零或其中有两个负的，不妨设P<0，Q<0，R>0，因为P<0，Q<0，即a＋b0矛盾，故充分性成立．
3．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＝c2，则an＋bn与cn(n≥3，n∈N＋)的大小关系为( )
A．an＋bn>cn B．an＋bnC．an＋bn≥cn D．an＋bn＝cn
解析：选B ∵a2＋b2＝c2，
∴2＋2＝1，∴0<<1,0<<1，
∴y＝x，y＝x均为减函数．
∴当n≥3时，
有n<2，n<2，
∴n＋n<2＋2＝1，
∴an＋bn4．对“a、b、c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 对①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，这时a＝b＝c，不符合题意，故①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0符合题意，∴①对．
对②，当a>b与a二、填空题
5．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为________．
解析：对“最多”的否定应当是“最少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目最少为n＋1条”．
答案：直径的数目最少为n＋1条
6．M＝＋＋＋…＋与1的大小关系为________．
解析：M＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＜＋＋＋…＋＝1.即M＜1.
答案：M＜1
7．已知a∈R＋，则，，从大到小的顺序为________________．
解析：因为＋>＋＝2，＋<＋＝2，
所以2<＋<2，
所以 > > .
答案： > >
8．已知a>2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”、“＜”或“＝”)．
解析：∵a>2，∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)>0，
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
∴＜，
而＝loga(a2－1)
＜logaa2＝1，
∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.
答案：<
三、解答题
9．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于零．
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
因此假设不成立．
∴a，b，c中至少有一个大于0.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
证明：(1)是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)＋＋…＋<.
证明：(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.
又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．所以an＋＝，
因此{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，＝，
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，
所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.
所以＋＋…＋<.
11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，
(1)求a2，a3并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.
解：(1)∵a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，
∴a2＝22·a1＝16，a3＝22·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，∴为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋<＋＋＋·
＝＋·＜＋·＝＋＝＝＜＝，所以结论成立．
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