一、选择题
1．下列关系中对任意a＜b＜0的实数都成立的是( )
A．a2＜b2 B．lg b2
C.>1 D.a2＞b2
解析：选B ∵a＜b＜0，∴－a>－b>0.(－a)2>(－b)2>0.即a2>b2>0.∴＜1.又lg b2－lg a2＝lg＜lg 1＝0.∴lg b2＜lg a2.
2．已知a>0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．PC．P＝Q D．大小不确定
解析：选A P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当0∴loga>0，即P－Q>0.∴P>Q.
当a>1时，a3＋1>a2＋1>0，>1，
∴loga>0，即P－Q>0.∴P>Q.
综上可知，P>Q.
3．已知a>b>0且ab＝1，设c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，则( )
A．PC．N解析：选A 令a＝2，b＝，则c＝＝，则M＝logc(ab)＝0，P＝log2<0，
N＝log>0，∴P4．设m>n，n∈N＋，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x＞1，则a与b的大小关系为( )
A．a≥b B．a≤b
C．与x值有关，大小不定 D．以上都不正确
解析：选A a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)
＝(lgmx－lgnx).
∵x＞1，∴lgx＞0.
当0＜lgx＜1时，a>b；
当lgx＝1时，a＝b；
当lgx>1时，a>b.
∴应选A.
二、填空题
5．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．
解析：M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x∴xy＞0，x－y<0，
∴－2xy(x－y)>0，
∴M－N>0，即M>N.
答案：M>N
6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．
解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2，
∵P＞Q，∴P－Q＞0，
即(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.
答案：ab≠1或a≠－2
7．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系为________．
解析：∵a>b>c>0，∴x>0，y>0，z>0.
而x2－y2＝a2＋b2＋2bc＋c2－(b2＋c2＋2ac＋a2)＝2bc－2ac＝2c(b－a)<0，
∴x2又y2－z2＝b2＋(c＋a)2－[c2＋(a＋b)2]
＝2ac－2ab＝2a(c－b)<0，
∴y答案：x8．一个个体户有一种商品，其成本低于 元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a元．
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L2＝120－2%a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045，
∵a<，∴L1答案：月末
三、解答题
9．设a，b为非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．
证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．当a≥b时，≥，从而()5≥()5，则(－)[()5－()5]≥0；当a0，所以a3＋b3≥(a2＋b2)．
10．已知b，m1，m2都是正数，a求证：<.
证明：－＝
＝＝.
因为b>0，m1>0，m2>0，所以(b＋m1)(b＋m2)>0.
又a0，
从而(a－b)(m2－m1)<0.
于是<0，所以<.
11．已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差数列．
(1)求f(30)的值；
(2)若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
解：(1)由f(0)、f(2)、f(6)成等差数列，得
2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，
即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0)．
∴m＝2，∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.
(2)f(a)＋f(c)＞2f(b)．
证明如下：2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，
f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，
又b2＝ac，
∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2
＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b.
∵a＋c＞2＝2b(a≠c)，
∴2(a＋c)－4b>0，
∴log2[(a＋2)(c＋2)]＞log2(b＋2)2，即f(a)＋f(c)>2f(b)．
一 比 较 法
[核心必知]
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
作差比较法
作商比较法
定义
要证明a>b，只要证明a－b>0
要证明a要证明a>b>0，只要证明＞1
要证明b＞a＞0，只要证明>1
步骤
作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论
作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论
[问题思考]
1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？
提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.
2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？
提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系．
考点1
作差法比较大小
求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；
(2)若a>b>c，则bc2＋ca2＋ab2[精讲详析] 本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论．
(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)
＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)
＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)
＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)
＝(b－a)(c－a)(c－b)，
∵a>b>c，
∴b－a<0，c－a<0，c－b<0.
∴(b－a)(c－a)(c－b)<0.
∴bc2＋ca2＋ab2——————————————————
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．
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1．已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.
证明：因为正数a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac，b＝，
又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2
＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc
＝2ab－4b2＋2bc
＝2b(a－2b＋c)
＝2b(－)2≥0，
所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.
考点2
作商法比较大小
已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
[精讲详析] 本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小．
∵a＞2，∴a－1>1.
∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a＞0，loga(a＋1)>0，
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)
<2
＝2.
∵a＞2，∴0∴2<2＝1，
即＜1.
∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
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(1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法．
(2)在作商比较法中>1?a>b是不正确的，这与a、b的符号有关，比如若b>0，由>1，可得a>b，但若b<0，
则由>1得出的反而是a————————————————————————
2．设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab).
证明：∵aabb>0，(ab)>0，
∴＝a·b＝.
当a＝b时，显然有＝1.
当a>b>0时，>1，>0.
当b>a>0时，0<<1，<0.
由指数函数的单调性，有>0.
即>1.
综上可知，对任意实数a、b，都有aabb≥(ab).
考点3
比较法的实际应用
甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[精讲详析] 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可．
设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：
m＋n＝s，＋＝t2.
∴t1＝，t2＝.
∴t1－t2＝－＝＝－.
其中s，m，n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2.
从而知甲比乙先到达指定地点．
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应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论．
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3．证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同)的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
证明：设截面的周长为L.依题意，截面是圆的水管的截面面积为π2，截面是正方形的水管的截面面积为2.
∵π2－2＝－＝>0，
∴π2＞2，
∴原结论得证．
本节热点命题关注
作差比较法在高考中单独考查的可能性不大，一般是在比较数与式的大小时作为解决问题的工具使用．
[考题印证]
(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1[命题立意] 本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证的能力．
[证明] (1)由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋≤＋＋xy ?? xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋≤＋＋xy，
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．
一、选择题
1．下列关系中对任意a＜b＜0的实数都成立的是( )
A．a2＜b2 B．lg b2C.>1 D.a2＞b2
解析：选B ∵a＜b＜0，∴－a>－b>0.(－a)2>(－b)2>0.即a2>b2>0.∴＜1.又lg b2－lg a2＝lg＜lg 1＝0.∴lg b2＜lg a2.
2．已知a>0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．PC．P＝Q D．大小不确定
解析：选A P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当0∴loga>0，即P－Q>0.∴P>Q.
当a>1时，a3＋1>a2＋1>0，>1，
∴loga>0，即P－Q>0.∴P>Q.
综上可知，P>Q.
3．已知a>b>0且ab＝1，设c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，则( )
A．PC．N解析：选A 令a＝2，b＝，则c＝＝，则M＝logc(ab)＝0，P＝log2<0，
N＝log>0，∴P4．设m>n，n∈N＋，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x＞1，则a与b的大小关系为( )
A．a≥b B．a≤b
C．与x值有关，大小不定 D．以上都不正确
解析：选A a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)
＝(lgmx－lgnx).
∵x＞1，∴lgx＞0.
当0＜lgx＜1时，a>b；
当lgx＝1时，a＝b；
当lgx>1时，a>b.
∴应选A.
二、填空题
5．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．
解析：M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x∴xy＞0，x－y<0，
∴－2xy(x－y)>0，
∴M－N>0，即M>N.
答案：M>N
6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．
解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2，
∵P＞Q，∴P－Q＞0，
即(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.
答案：ab≠1或a≠－2
7．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系为________．
解析：∵a>b>c>0，∴x>0，y>0，z>0.
而x2－y2＝a2＋b2＋2bc＋c2－(b2＋c2＋2ac＋a2)＝2bc－2ac＝2c(b－a)<0，
∴x2又y2－z2＝b2＋(c＋a)2－[c2＋(a＋b)2]
＝2ac－2ab＝2a(c－b)<0，
∴y答案：x8．一个个体户有一种商品，其成本低于 元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a元．
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L2＝120－2%a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045，
∵a<，∴L1答案：月末
三、解答题
9．设a，b为非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．
证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．当a≥b时，≥，从而()5≥()5，则(－)[()5－()5]≥0；当a0，所以a3＋b3≥(a2＋b2)．
10．已知b，m1，m2都是正数，a求证：<.
证明：－＝
＝＝.
因为b>0，m1>0，m2>0，所以(b＋m1)(b＋m2)>0.
又a0，
从而(a－b)(m2－m1)<0.
于是<0，所以<.
11．已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差数列．
(1)求f(30)的值；
(2)若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
解：(1)由f(0)、f(2)、f(6)成等差数列，得
2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，
即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0)．
∴m＝2，∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.
(2)f(a)＋f(c)＞2f(b)．
证明如下：2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，
f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，
又b2＝ac，
∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2
＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b.
∵a＋c＞2＝2b(a≠c)，
∴2(a＋c)－4b>0，
∴log2[(a＋2)(c＋2)]＞log2(b＋2)2，即f(a)＋f(c)>2f(b)．
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