一、选择题
1．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn＜xn＋1，或者对任意的正整数n都满足xn＞xn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：选B “xn＜xn＋1或xn＞xn＋1”的对立面是“xn＝xn＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．
2．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由正弦定理知＝＝2R，
又A，B是三角形的内角，
∴sin A>0，sin B>0，
∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
3．若a>0，b>0，则p＝aabb，q＝abba的大小关系是( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．p
解析：选A ＝＝a－b.当a>b>0时，>1，a－b>0，则a－b>1，p>q.当01，p>q.当a＝b>0时，a－b＝1，p＝q，综上可知p≥q.
4．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>> B.>>a
C.>>a D.>a>
解析：选C 本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较，，1的大小，再比较，，a的大小．又因为a<0，所以又可认为是在比较－，－，－1的大小．因为b<－1，所以1>>.也可以令a＝－1，b＝－2，分别代入A、B、C、D中，知A、B、D均错．
二、填空题
5．当x>1时，x3与x2－x＋1的大小关系是________．
解析：x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，
又x>1，∴x－1>0，x2＋1>0，
即 x3－(x2－x＋1)>0，
∴x3>x2－x＋1.
答案：x3>x2－x＋1
6．设a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．
解析：∵a>0，b>0，∴N＝＋＞＋＝＝M.∴M＜N.
答案：M＜N
7．若c＞a>b>0，比较大小：________.(填“＞”“＝”或“＜”)
解析：∵c>a>b>0，∴c－b>c－a>0，
∴>>0，
又∵a>b>0，∴>.
答案：>
8．lg 9·lg11与1的大小关系是________．
解析：∵lg 9>0，lg11>0，∴≤＝<＝1.∴lg 9·lg 11<1.
答案：lg 9·lg11<1
三、解答题
9．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，
所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
从而(3a2－2b2)(a－b)≥0.
故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立．
10．已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
求证：|ac＋bd|≤1.
证明：法一(综合法)：因为a，b，c，d都是实数，
所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋
＝.
又因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
所以|ac＋bd|≤1.
法二(比较法)：显然有
|ac＋bd|≤1?－1≤ac＋bd≤1.
先证明ac＋bd≥－1.
∵ac＋bd－(－1)＝ac＋bd＋＋
＝ac＋bd＋＋＝≥0.
∴ac＋bd≥－1.再证明ac＋bd≤1.
∵1－(ac＋bd)＝＋－(ac＋bd)
＝＋－ac－bd＝≥0，
∴ac＋bd≤1.综上得|ac＋bd|≤1.
法三(分析法)：要证|ac＋bd|≤1，
只需证明(ac＋bd)2≤1.
即只需证明a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.①
由于a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
因此①式等价于
a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，②
将②式展开、化简，得(ad－bc)2≥0.③
因为a，b，c，d都是实数，所以③式成立，即①式成立．
原命题得证．
11．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N＋.
(1)求a1 的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：(1)令n＝1，得S－(－1)S1－3×2＝0，
即S＋S1－6＝0，
所以(S1＋3)(S1－2)＝0，
因为S1>0，所以S1＝2，即a1＝2.
(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，
得(Sn＋3)[Sn－(n2＋n)]＝0，
因为an>0(n∈N＋)，Sn>0，从而Sn＋3>0，
所以Sn＝n2＋n，所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
又a1＝2＝2×1，所以an＝2n(n∈N＋)．
(3)证明：设k≥2，则＝<＝，
∴＋＋＋…＋<＋－＋－＋…＋－＝＋－<.
∴＋＋…＋<.
考点一
比较法的应用
比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
设a，b为实数，0求证：＋≥(a＋b)2.
[证明] ＋－(a＋b)2
＝－
＝
＝＝≥0，
∴＋≥(a＋b)2.
考点二
综合法证明不等式
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．
综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．
设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)f(1)＞0，求证：
(1)方程f(x)＝0有实根；
(2)－2＜＜－1；
(3)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，
则≤|x1－x2|＜.
[证明] (1)当a＝0时，b＝－c，
f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与已知矛盾，
所以a≠0.
方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4(b2－3ac)，
由a＋b＋c＝0，消去b，得Δ＝4(a2＋c2－ac)
＝42＋c2＞0.
故方程f(x)＝0有实根．
(2)由f(0)·f(1)>0，得c(3a＋2b＋c)>0.
由a＋b＋c＝0，消去c得(a＋b)(2a＋b)<0.
因为a2＞0，所以＜0.
故－2<<－1.
(3)由已知得，x1＋x2＝－，x1x2＝＝－，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2＋.
因为－2<<－1，
所以≤(x1－x2)2<.
故≤|x1－x2|<.
考点三
分析法证明不等式
分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．
由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证： ＋≤2.
[证明] 要证 ＋ ≤2，
只要证2≤4，
即证a＋b＋1＋2 ≤4.
只要证：≤1.
也就是要证：ab＋(a＋b)＋≤1，即证ab≤.
∵a＞0，b>0，a＋b＝1.
∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，即上式成立．
故 ＋ ≤2.
考点四
反证法与放缩法证明不等式
(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．
(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．
若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边．求证：a3＋b3＜c3.
[证明] 假设a3＋b3≥c3，则3＋3≥1.①
∵a，b，c为直角三角形的三边且c为斜边，
∴a2＋b2＝c2，∈(0,1)，∈(0,1)，
∴2＋2＝1，
∴3＋3＜1.②
①与②矛盾．∴假设不成立．∴a3＋b3＜c3.
已知n∈N＋，求证：2(－1)<1＋＋＋…＋<2.
[证明] ∵对k∈N＋，1≤k≤n，有＝>＝2(－)，∴>2(－)．
∴1＋＋＋…＋>2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1)．
又∵对于k∈N＋，2≤k≤n，
有＝<＝2(－)，
∴1＋＋＋…＋<1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2－1<2.
∴原不等式成立．
课件17张PPT。谢谢！一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系是 ( )
A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．a≤b
解析：选B ∵a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex(x＜0)，故b＜1，∴a＞b.
2．若a>b>0，下列各式中恒成立的是( )
A.> B.>
C．a＋>b＋ D．aa>bb
解析：选B 利用不等式的性质，得当a>b>0时，<，由此可知，C不恒成立；选取适当的特殊值，若a＝，b＝，则aa＝bb，D不能恒成立；若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知A不恒成立，综上可知排除A，C，D，故选B.
3．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是( )
A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|
B．a2＋≥a＋
C．|a－b|＋≥2
D.－≤－
解析：选C 对于C，当a>b时，成立；当a4．要使－<成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab<0，且a>b
B．ab>0，且a>b
C．ab<0，且aD．ab>0，且a>b或ab<0，且a解析：选D 要使－<成立，
只需(－)3<()3，
即a－3 ＋3 －b只需< ，
只需ab20，
只需ab>0，且a>b或ab<0，且a5．使不等式＋>1＋成立的正整数a的最大值为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选C 用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．
6．设a，b，m都是正数，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是( )
A.<<1 B.≥
C.≤≤1 D．1<<
解析：选A ∵00，∴－＝＝<0，又－1＝＝<0，∴<<1.
7．已知a>b>－1，则与的大小关系是( )
A.> B.＜
C.≥ D.≤
解析：选B －＝
＝.
∵a>b>－1，∴b－a<0，a＋1>0，b＋1>0.
∴＜0，∴－＜0.
即＜.
8．设a，b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P解析：选A P－Q＝＋－(a＋b)
＝
＝
＝.
∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴＞0.
∴P>Q.
9．已知a，b，c，d∈R＋且S＝＋＋＋，则下列判断中正确的是( )
A．0C．2解析：选B 用放缩法，<<；<<；
<<；<<.
以上四个不等式相加，得110．若α∈，M＝|sin α|，N＝|cos α|，P＝|sin α＋cos α|，Q＝，则它们之间的大小关系为( )
A．M>N>P>Q B．M>P>N>Q
C．M>P>Q>N D．N>P>Q>M
解析：选D ∵α∈，∴0>sin α>cos α.
∴|sin α|＜|cos α|，
∴P＝|sin α＋cos α|＝(|sin α|＋|cos α|)
>(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M.
P＝|sin α|＋|cos α|
<(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N.∴N>P>M.
对于Q＝＝＜＝P.
而Q＝>＝|sin α|＝M，∴N>P>Q>M.
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小关系为________．
解析：因为－＝s·＝≤0，所以T1≤T2.
答案：T1≤T2
12．设a>0且a≠1，m＝loga(1＋a)，n＝loga，则m，n的大小关系为________．
解析：当a>1时，1＋a>1＋，
∴loga(1＋a)>loga，即m>n；
当0∴loga(1＋a)>loga，即m>n.
答案：m>n
13．设0解析：∵<<1<<，根据函数的单调性，
知f>f>f>f.
答案：f>f>f>f
14．若a>b>c>0，l1＝ ，l2＝ ，l3＝ ，则l1l2，l2l3，l，l中最小的一个是________．
解析：利用赋值法比较，令a＝3，b＝2，c＝1，
可得l1＝，l2＝，l3＝，
则l1l2＝，l2l3＝，l＝，l＝，
可知l最小．
答案：l
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)比较3(1＋x2＋x4)和(1＋x＋x2)2的大小．
解：∵3(1＋x2＋x4)－(1＋x＋x2)2
＝3(1＋x2＋x4)－(1＋x2＋x4＋2x＋2x2＋2x3)
＝3＋3x2＋3x4－1－x2－x4－2x－2x2－2x3
＝2x4－2x3＋2－2x＝2x3(x－1)＋2(1－x)
＝2(x－1)(x3－1)＝2(x－1)2(x2＋x＋1)
＝2(x－1)2≥0.
故3(1＋x2＋x4)≥(1＋x＋x2)2.
16．(本小题满分12分)已知a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤ab＋bc＋ca≤1.
证明：因为(a＋b＋c)2≥0，
所以a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥0.
又因为a2＋b2＋c2＝1，
所以ab＋bc＋ca≥－.
因为ab≤，bc≤，ac≤，
所以ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2＝1.
所以－≤ab＋bc＋ca≤1.
17．(本小题满分12分)设a，b，c为三角形的三边，求证：＋＋≥3.
证明： 设x＝b＋c－a，y＝a＋c－b，z＝a＋b－c，则a＋b＋c＝x＋y＋z，
a＝(y＋z)，b＝(x＋z)，c＝(x＋y)．
此时，原不等式等价于＋＋≥3.
而＋＋
＝
≥＝3.
∴原不等式成立．
18．(本小题满分14分)已知An(n，an)为函数y1＝的图象上的点，Bn(n，bn)为函数y2＝x的图象上的点，设Cn＝an－bn，其中n∈N＋.
(1)求证：数列{Cn}既不是等差数列，也不是等比数列．
(2)试比较Cn与Cn＋1的大小．
解：(1)证明：根据题意可知：
an＝，bn＝n，Cn＝－n.
假设数列{Cn}为等差数列，则2C2＝C1＋C3，
即有2(－2)＝－1＋－3，有2＝＋，这与事实相矛盾，因而不是等差数列，假设数列{Cn}为等比数列，则应有C＝C1C3，
即(－2)2＝(－1)·(－3)，这与事实相矛盾，所以{Cn}不是等比数列，由以上可知数列{Cn}既不是等差数列，也不是等比数列．
(2)∵Cn＝－n＞0，Cn＋1＝－(n＋1)＞0，
∴＝＝.
∵0<<，0∴＋n<＋n＋1，
∴0<<1，
即＜1，从而有Cn＋1
