一、选择题
1．已知a，b，∈R＋，且a＋2b＝10，则a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．10
C．20 D．30
解析：选C 根据柯西不等式有(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100.
∴a2＋b2≥20，当且仅当a＝＝2时取等号．
2．已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为( )
A．3 B．3
C．18 D．9
解析：选B 由柯西不等式，得(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)
＝3[3(a＋b＋c)＋3]．
∵a＋b＋c＝1，
∴(＋＋)2≤3×6＝18，
∴＋＋≤3，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
3．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是( )
A. B.
C．6 D．3
解析：选B ∵(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1，
∴x2＋y2＋(1－x－y)2≥，当且仅当x＝y＝时等号成立．
4．若2a>b>0，则a＋ 的最小值为( )
A．1 B．3
C．8 D．12
解析：选B ∵2a>b>0，∴2a－b>0.
∴a＋＝
≥·3 ＝3.
当且仅当2a－b＝b＝，
即a＝b＝2时等号成立．
∴当a＝b＝2时，a＋ 有最小值3.
二、填空题
5．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．
解析：(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥2
＝(2＋3＋6)2＝121.
当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．
答案：121
6．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式，得(＋＋)2
＝(1×＋1×＋1×)2
≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)
＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当＝＝，
即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，
∴当a＝，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值4.
答案：4
7．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．
解析：(22＋22＋12)[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2]
≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2
＝(2x＋2y＋z－1)2＝81，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥9.
当且仅当＝＝时，取等号．
答案：9
8．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
三、解答题
9．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，求的值．
解：由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，
当且仅当＝＝＝k时取“＝”．
所以k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝.
所以＝k＝.
10．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得小值．
解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x＋3y＋1)2＝9.
∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥.
当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3)
即5x－4y＋7＝0时取等号．
解方程组得
故所求点的坐标为.
11．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．
解：＋＋≤＋＋
＝
≤
＝，
故λ的取值范围是.
[核心必知]
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则
(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．
2．一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则
(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋
anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
[问题思考]
1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？
提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．
2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？
提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．
考点1
利用柯西不等式证明不等式
设a，b，c为正数，且不全相等．
求证：＋＋>.
[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．
构造两组数，，；，，，
则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)＋＋≥(1＋1＋1)2，①
即2(a＋b＋c)≥9，
于是＋＋≥.
由柯西不等式知，①中有等号成立?＝＝?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，
于是＋＋>.
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柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．
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1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵
＝·[()2＋()2＋()2]
≥2
＝(a＋b＋c)2，
即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
又a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c>0，∴＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
考点2
利用柯西不等式求最值
设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝＋＋ 的最大值．
[精讲详析] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．
根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]
≥(1×＋1×＋1×)2，
故＋＋≤2.
当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，
即x＝，y＝，z＝时，等号成立，此时umax＝2.
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利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
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2．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋ 的最大值．
解：由柯西不等式，得(＋＋)2
＝(1×＋1×＋1×)2
≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)
＝3[4(a＋b＋c)＋3]
＝21.
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
故＋＋的最大值为.
考点3
利用柯西不等式处理综合问题
设f(x)＝lg，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x)．
[精讲详析] 本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用，解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．
∵f(2x)＝lg，
∴要证f(2x)≥2f(x)，
只要证lg≥
2lg，
即证
≥2(*)
也即证n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
∵ 0≤a≤1，∴a≥a2，根据柯西不等式得
n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
≥(12＋12＋…＋12){(1x)2＋(2x)2＋…＋[(n－1)x]2＋(a·nx)2}≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
即(*)式显然成立，故原不等式成立．
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对于较复杂的证明问题，可采用“分析法”进行“抽丝剥茧”，从而找到柯西不等式的结构特征．
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3．已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1.
求证：＋＋…＋＋≥.
证明：根据柯西不等式，得
左边＝＋＋…＋＋
＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]×＋
×
＝[()2＋()2＋…＋()2
＋( )2]×2＋2＋…＋2＋2×
≥
2×＝(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝右边．
∴原不等式成立．
本节热点命题关注
本课时经常考查柯西不等式在证明不等式中的应用．本题以解答题的形式考查了柯西不等式在证明不等式中的应用，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
[命题立意] 本题考查一般形式的柯西不等式在证明中的应用．
[解] (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，
所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·≥·＋·＋·2＝9.
一、选择题
1．已知a，b，∈R＋，且a＋2b＝10，则a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．10
C．20 D．30
解析：选C 根据柯西不等式有(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100.
∴a2＋b2≥20，当且仅当a＝＝2时取等号．
2．已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为( )
A．3 B．3
C．18 D．9
解析：选B 由柯西不等式，得(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)
＝3[3(a＋b＋c)＋3]．
∵a＋b＋c＝1，
∴(＋＋)2≤3×6＝18，
∴＋＋≤3，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
3．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是( )
A. B.
C．6 D．3
解析：选B ∵(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1，
∴x2＋y2＋(1－x－y)2≥，当且仅当x＝y＝时等号成立．
4．若2a>b>0，则a＋ 的最小值为( )
A．1 B．3
C．8 D．12
解析：选B ∵2a>b>0，∴2a－b>0.
∴a＋＝
≥·3 ＝3.
当且仅当2a－b＝b＝，
即a＝b＝2时等号成立．
∴当a＝b＝2时，a＋ 有最小值3.
二、填空题
5．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．
解析：(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥2
＝(2＋3＋6)2＝121.
当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．
答案：121
6．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式，得(＋＋)2
＝(1×＋1×＋1×)2
≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)
＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当＝＝，
即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，
∴当a＝，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值4.
答案：4
7．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．
解析：(22＋22＋12)[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2]
≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2
＝(2x＋2y＋z－1)2＝81，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥9.
当且仅当＝＝时，取等号．
答案：9
8．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
三、解答题
9．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，求的值．
解：由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，
当且仅当＝＝＝k时取“＝”．
所以k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝.
所以＝k＝.
10．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得小值．
解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x＋3y＋1)2＝9.
∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥.
当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3)
即5x－4y＋7＝0时取等号．
解方程组得
故所求点的坐标为.
11．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．
解：＋＋≤＋＋
＝
≤
＝，
故λ的取值范围是.
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