一、选择题
1．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
解析：选B 根据柯西不等式知，y＝1×＋2×≤×＝(当且仅当x＝时取等号)．
2．已知a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小关系为( )
A．P≤Q B．PC．P≥Q D．P＝Q
解析：选A ∵P＝＋≤
＝·＝Q.
∴P≤Q.
3．若3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是( )
A．[0， ] B．[－，0]
C．[－， ] D．[－5,5]
解析：选C (3x＋2y)2≤(()2＋()2)((x)2＋(y)2)＝5×(3x2＋2y2)≤5，
∴－≤3x＋2y≤.
4．已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为( )
A．2 B．8
C. D．4
解析：选A 设m＝(p，q)，n＝(p，q)，则p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m|·|n|＝· ＝·.又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤.∴(p＋q)4≤8(p＋q)．∴p＋q≤2.
二、填空题
5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小________．
解析：由柯西不等式，得
P＝＋≤×＝× ＝Q.
答案：P≤Q
6．函数f(x)＝＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式得
(＋)2≤(12＋12)·[()2＋()2]＝12，
∴＋≤2(当x＝9时，“＝”成立)．
答案：2
7．设xy>0，则的最小值为________．
解析：原式＝≥2＝9.
答案：9
8．已知函数f(x)＝3＋4，则函数f(x)的最大值为________．
解析：由柯西不等式知，(3＋4)2≤(32＋42)·[()2＋()2]＝25.当且仅当3＝4时，等号成立，因此f(x)≤5.
答案：5
三、解答题
9．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.
求证：－≤c≤1.
证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2,5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
所以－≤c≤1.
10．若x2＋4y2＝5.求x＋y的最大值及最大值点．
解：由柯西不等式得
[x2＋(2y)2]≥(x＋y)2，
即(x＋y)2≤5×＝，x＋y≤.
当且仅当＝，即x＝4y时取等号．
由得或(舍去)．
∴x＋y的最大值为，最大值点为.
11．已知关于x的不等式|x＋a|(1)求实数a，b的值．
(2)求＋的最大值．
解：(1)由|x＋a|则解得a＝－3，b＝1.
(2)＋＝＋
≤
＝2＝4，
当且仅当＝，
即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.
[核心必知]
1．二维形式的柯西不等式
(1)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论：
(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；
·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；
·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．
2．柯西不等式的向量形式
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
3．二维形式的三角不等式
(1)＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．
(2)推论：
＋≥
，
(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．
[问题思考]
1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？
提示：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．
2．不等式＋≥
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？
提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线，
且P1，P2在原点两旁时，等号成立．
考点1
利用柯西不等式证明有关不等式
设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．
由柯西不等式：·≥a＋b，
即·≥a＋b，
同理：·≥b＋c，·≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥·(a＋b＋c)．
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利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2，其中a，b，c，d∈R＋.
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1．已知a1，a2，b1，b2∈R＋，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2.
证明：∵a1，a2，b1，b2∈R＋，∴(a1b1＋a2b2)
＝·
≥2＝(a1＋a2)2.
∴(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.
设a，b，c，d是4个不全为零的实数，求证：
≤ .
[精讲详析] 本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件．
ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)
≤＋
＝·＋
≤·＋
＝(a2＋b2＋c2＋d2)．
∴≤.
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利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．
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2．已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.
证明：∵＋＝(cos2θ＋sin2θ)
≥2
＝(a＋b)2，∴＋≥(a＋b)2.
考点2
利用柯西不等式求最值
若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值．
[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2,25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
当且仅当＝时等号成立，由得
因此，当x＝，y＝时，
x2＋y2取得最小值，最小值为.
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利用柯西不等式求最值的方法
(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．
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3．如何把一条长为m的绳子截成2段，各围成一个正方形，使这2个正方形的面积和最小？
解：设这2段的长度分别为x，y，
则x＋y＝m，且2个正方形的面积和S＝2＋2＝(x2＋y2)．因为(x2＋y2)(12＋12)≥(x＋y)2＝m2，等号当且仅当x＝y＝时成立，
所以x2＋y2有最小值，从而S有最小值.
把绳子两等分后，这2段所围成的2个正方形的面积和最小．
本节热点命题关注
柯西不等式在证明不等式中的应用是考试的热点．江苏高考以解答题的形式考查了柯西不等式在证明不等式中的应用，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
(江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.
[命题立意] 本题考查柯西不等式在证明不等式中的应用．
[证明] 由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.
一、选择题
1．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
解析：选B 根据柯西不等式知，y＝1×＋2×≤×＝(当且仅当x＝时取等号)．
2．已知a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小关系为( )
A．P≤Q B．PC．P≥Q D．P＝Q
解析：选A ∵P＝＋≤
＝·＝Q.
∴P≤Q.
3．若3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是( )
A．[0， ] B．[－，0]
C．[－， ] D．[－5,5]
解析：选C (3x＋2y)2≤(()2＋()2)((x)2＋(y)2)＝5×(3x2＋2y2)≤5，
∴－≤3x＋2y≤.
4．已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为( )
A．2 B．8
C. D．4
解析：选A 设m＝(p，q)，n＝(p，q)，则p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m|·|n|＝· ＝·.又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤.∴(p＋q)4≤8(p＋q)．∴p＋q≤2.
二、填空题
5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小________．
解析：由柯西不等式，得
P＝＋≤×＝× ＝Q.
答案：P≤Q
6．函数f(x)＝＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式得
(＋)2≤(12＋12)·[()2＋()2]＝12，
∴＋≤2(当x＝9时，“＝”成立)．
答案：2
7．设xy>0，则的最小值为________．
解析：原式＝≥2＝9.
答案：9
8．已知函数f(x)＝3＋4，则函数f(x)的最大值为________．
解析：由柯西不等式知，(3＋4)2≤(32＋42)·[()2＋()2]＝25.当且仅当3＝4时，等号成立，因此f(x)≤5.
答案：5
三、解答题
9．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.
求证：－≤c≤1.
证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2,5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
所以－≤c≤1.
10．若x2＋4y2＝5.求x＋y的最大值及最大值点．
解：由柯西不等式得
[x2＋(2y)2]≥(x＋y)2，
即(x＋y)2≤5×＝，x＋y≤.
当且仅当＝，即x＝4y时取等号．
由得或(舍去)．
∴x＋y的最大值为，最大值点为.
11．已知关于x的不等式|x＋a|(1)求实数a，b的值．
(2)求＋的最大值．
解：(1)由|x＋a|则解得a＝－3，b＝1.
(2)＋＝＋
≤
＝2＝4，
当且仅当＝，
即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.
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