一、选择题
1．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为( )
A．4 B．4
C．6 D．6
解析：选C ∵a，b，c为正数，
∴ ＝≥a＋b.
同理 ≥b＋c， ≥c＋a，
相加得(＋＋)≥2(b＋c＋a)＝6，
即＋＋≥6，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
2．已知x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵(2x2＋3y2＋z2)·≥(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋3y2＋z2≥，
当且仅当＝＝时，等号成立．
3．设x、y、z，满足x2＋2y2＋3z2＝3，则x＋2y＋3z的最大值是( )
A．3 B．4
C. D．6
解析：选A 构造两组数：x，y，z和1，，，由柯西不等式得[x2＋(y)2＋(z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋2y＋3z)2，∴(x＋2y＋3z)2≤18，∴－3≤S≤3.
二、填空题
4．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值为________．
解析：由柯西不等式知，
≥(1＋1＋1)2＝9，
因为＋＋＝1，
所以x＋＋≥9，
即x＋＋的最小值为9.
答案：9
5．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________．
解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2，故(x－2y＋2z)2≤4×9＝36.
当且仅当＝＝＝k，k＝±时，上式取得等号，当k＝－时，x－2y＋2z取得最小值－6.
答案：－6
6．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y，z，则x，y，z所满足的关系式为________，x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：利用三角形面积相等，得×2(x＋y＋z)＝×(2)2，即x＋y＋z＝3.
由(1＋1＋1)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝9，得x2＋y2＋z2≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时取等号．
答案：x＋y＋z＝3 3
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋by)·(bx＋ay)的最小值为________．
解析：[()2＋()2]·[()2＋()2]
≥(·＋·)2＝(·x＋·y)2
＝ab(x＋y)2＝ab＝4.
答案：4
三、解答题
8．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，
即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2，
即5e2－16e≤0，
∴e(5e－16)≤0，故0≤e≤.
9．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．
解：(a＋2b＋3c)
≥2
＝(＋＋)2.
∴(＋＋)2≤.
∴＋＋≤.
当且仅当＝＝时取等号．
又a＋2b＋3c＝13，
∴a＝9，b＝，c＝.
∴＋＋有最大值.
10．求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得
(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，
即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，
当且仅当＝＝，
即x＝，y＝时，上式取等号．
故所求x＝，y＝.
柯西不等式与排序不等式柯西不等式排序不等式
考点一
利用柯西不等式证明不等式
(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零．
(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．
(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．
若n是不小于2的正整数，求证：
＜1－＋－＋…＋－＜.
[证明] 1－＋－＋…＋－
＝－2＝＋＋…＋，
所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2，
于是＋＋…＋
≥
＝＝≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋…＋＜
＜ ＝.
设a，b，c，d为不全相等的正数．
求证：＋＋＋>.
[证明] 记s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于
＋＋＋>.
构造两组数，，，；，，，，
由柯西不等式得
[()2＋()2＋()2＋()2]·＋＋＋≥(1＋1＋1＋1)2.
即[4s－(a＋b＋c＋d)]·＋＋＋≥16，
于是＋＋＋≥，
等号成立?s－d＝s－a＝s－b＝s－c?a＝b＝c＝d.
因题设a，b，c，d不全相等，故取不到等号，
即＋＋＋>.
考点二
利用柯西不等式求最值
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．
已知正实数u，v，w满足u2＋v2＋w2＝8，求＋＋的最小值．
[解] ∵u2＋v2＋w2＝8.
∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝2
≤(9＋16＋25)，
∴＋＋≥＝.
当且仅当÷3＝÷4＝÷5，
即u＝，v＝，w＝2时取到“＝”号，
∴当u＝，v＝，w＝2时＋＋的最小值为.
设ai∈R＋(i＝1,2，…，n)且i＝1，求：
S＝＋＋…＋的最小值．
[解] S＝＋＋…＋关于a1，…，an对称，
不妨设1＞a1≥a2≥…≥an＞0，
则0＜2－a1≤2－a2≤…≤2－an，
且≥≥…≥＞0，
∴S≥(a1＋a2＋…＋an)
＝.
又由柯西不等式，得
[(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]
≥n2，
而(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)＝2n－1，
所以，S≥×＝，
当且仅当a1＝a2＝…＝an＝时，上面几个不等式的等号成立，于是S的最小值为.
已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．
[解] 由柯西不等式：
[x2＋(2y)2＋(3z)2]12＋2＋2
≥2.
因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
所以a≥(x＋y＋z)2，
即－≤x＋y＋z≤.
因为x＋y＋z的最大值是7，
所以＝7，得a＝36，
当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值，
所以a＝36.
考点三
排序不等式的应用
(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
在△ABC中，试证：≤＜.
[证明] 不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．
得≥，①
又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有
0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
得＜.②
由①、②得原不等式成立．
课件19张PPT。谢谢！一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．设M＝a2＋b2＋c2＋d2，N＝ab＋bc＋cd＋da，则M与N的大小关系是( )
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
解析：选A 取两组数a，b，c，d；b，c，d，a，则由柯西不等式有
(a2＋b2＋c2＋d2)(b2＋c2＋d2＋a2)≥(ab＋bc＋cd＋da)2，
即(a2＋b2＋c2＋d2)2≥(ab＋bc＋cd＋da)2，
∵a2＋b2＋c2＋d2≥0，
∴a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.
∴M≥N.
2．若a，b，c均为正数且a＋b＋c＝6，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．5
C．6 D．12
解析：选C 不妨设a
3．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是( )
A. B. C．3 D.
解析：选B ∵[3x＋2x＋5(－x3)2＋x]≥(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，
即3x＋2x＋5x＋x≥.
4．设x1，x2，x3取不同的正整数，则m＝x1＋＋的最小值是( )
A．1 B．2 C. D.
解析：选C 设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足
a1＜a2＜a3.
∴a1≥1，a2≥2，a3≥3，
又∵1＞＞，
∴x1＋＋≥1＋＋＝.
5．设a，b，c均为实数，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由(a2＋2b2＋3c2)
≥2，
即(a2＋2b2＋3c2)·≥(a＋b＋c)2，
∴≤.
∴≤.
6．已知α，β为锐角，且＋＝1，则α＋β等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵(sin2β＋cos2β)≥sin2α＋cos2α＝1，当且仅当sin α＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，即α＝β＝，∴α＋β＝.
7．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)与4的大小关系是( )
A．M>4 B．M<4
C．M≥4 D．M≤4
解析：选C (ax1＋bx2)(bx1＋ax2)
＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥[(x1＋x2)]2＝(x1＋x2)2＝4.
8．若x，y，z是非负实数，且9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值为( )
A．9 B．10
C．14 D．15
解析：选A u2＝(3x＋6y＋5z)2＝[1×(3x)＋·(2y)＋·(z)]2≤[12＋()2＋()2]·(9x2＋12y2＋5z2)＝9×9＝81.∴u≤9.
当且仅当＝＝时，取等号．
9．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.
10．已知a，b，c∈R＋，设P＝2(a3＋b3＋c3)，Q＝a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)，则( )
A．P≤Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P＞Q
解析：选C 取两组数a，b，c；a2，b2，c2.
不管a，b，c的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和；a2b＋b2c＋c2a及a2c＋b2a＋c2b都是乱序和，故有
a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，
a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b，
∴2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
∴P≥Q.
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝5＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式，得y＝5＋·
≤·＝×2＝6，
当且仅当5＝，即x＝时，等号成立．
答案：6
12．若x＋y＋z＋t＝4，则x2＋y2＋z2＋t2的最小值为________．
解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x2＋y2＋z2＋t2)(12＋12＋12＋12)≥(x＋y＋z＋t)2，当且仅当x＝y＝z＝t＝1时，取最小值4.
答案：4
13．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.
解析：根据柯西不等式的向量形成，有|a·b|≤|a| |b|，
∴|a·b|≤×6＝18.
当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．
∴－18≤a·b≤18.
∴a·b的最小值为－18，
此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．
答案：－18 (4，－2，－4)
14．已知0解析：由三角不等式，得＋
≥＝.当且仅当x＝1－x，y＝1－y，即x＝，y＝时，等号成立．故f(x)的最小值为.
答案：
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．
解：∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·
≥2
＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．
∴＋＋≥2，
∴＋＋的最小值为2.
16．(本小题满分12分)设a，b，c为正数．求证：
2≥＋＋.
证明：由对称性，不妨设a≥b≥c>0.
于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2.
故≥≥.由排序原理知：
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
将上面两个同向不等式相加，得
2≥＋＋.
17．(本小题满分12分)求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程：
2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82.
解：将两个方程相加，得
(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2＝108，①
又2x＋(3y＋3)＋(z＋2)＝18，②
由①②及柯西不等式，得(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2≥[2x＋(3y＋3)＋(z＋2)]2，
即108≥×182＝108，
即柯西不等式中的等号成立．
所以2x＝3y＋3＝z＋2＝6，
故x＝3，y＝1，z＝4.
18．(本小题满分14分)设a，b，c为正数，a＋b＋4c2＝1，求＋＋ c的最大值．
解：因为a，b，c为正数，
所以a＋b＋4c2＝()2＋()2＋(2c)2，
于是(a＋b＋4c2)
＝[()2＋()2＋(2c)2]
≥(＋＋c)2，
故(＋＋c)2≤1×＝，
∴＋＋c≤.
等号成立?＝＝2c.
解方程组
解得
∴＋＋c的最大值为.
