一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”时，在验证当n＝1成立时，左边计算所得的结果是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析：选C 由于等式左边当n＝1时，幂指数的最大值为1＋1＝2，∴左边计算结果为1＋a＋a2或在等式中左边共有n＋2项，∴n＝1时，共有3项．
2．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·… ·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B.
C．2(2k＋1) D.
解析：选C 当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·… ·(k＋1＋k＋1)
＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．
3．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析：选C 与“如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N＋)时，命题也不成立”．故知当n＝5时，该命题不成立，可推得当n＝4时该命题不成立，故选C.
4．用数学归纳法证明“A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
解析：选D ∵在上面的证明中，当n＝k＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n＝k时的结论，这样就失去假设当n＝k时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法．∴A、B、C都不对，选D.
二、填空题
5．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于________．
解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋.所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：＋＋
6．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立．
解析：两个奇数之间相差2.
答案：k＋2
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
解析：∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.
答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n>1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．
解析：∵所证明的等式为
22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n>1)，
又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，
∴n应为2.
又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，
即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
答案：2 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝＋＋…＋.
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
＋＋…＋
＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立．
10．用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．
证明：(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．
(2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除．
当n＝k＋1时，Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1
＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1
＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1.
∴n＝k＋1时，命题也成立．
根据(1)、(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.
(1)写出a1，a2，a3；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)由题意Sn＋an＝2，∴a1＝1，a2＝，a3＝.
(2)猜想an＝n－1，
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，n－1＝0＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝k－1，
∵Sk＋1＝2－ak＋1，Sk＋1－Sk＝ak＋1，Sk＝2－ak，
∴ak＋1＝ak＝k，即当n＝k＋1时，等式成立．
根据①②可知，对一切n∈N＋，等式成立.
[核心必知]
1．数学归纳法的概念
当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n＝n0时命题成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的基本过程
奠基 假设与递推
______________________
?
[问题思考]
1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？
提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，
有时是n0＝1或n0＝2.
有时n0值也比较大，而不一定是从1开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．
3．数学归纳法中的两步的作用是什么？
提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．
第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立．
考点1
用数学归纳法证明恒等式
用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由k到k＋1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”时，要注意项的合并．
(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时命题成立，
即有1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋，
从而可知，当n＝k＋1时，命题亦成立．
由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立．
——————————————————
(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．
(2)应用数学归纳法时的常见问题①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.
②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．
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1．证明：当n≥2，n∈N＋时，
…＝.
证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴当n＝2时，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即
…＝.
当n＝k＋1时，
…
＝＝·
＝＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋ 等式成立．
数学选修4－5
一 数学归纳法
第四讲 用数学归纳法证明不等式
数学选修4－5
考点2
用数学归纳法证明整除问题
求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，
∴能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
—————————————————— 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．
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2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．
证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立．
(2)假设n＝k时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)．由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除．故n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋命题成立．
考点3
用数学归纳法证明几何问题
平面上有n(n≥2，且n∈N＋)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线共有f(n)＝个交点．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明．
(1)当n＝2时，∵两相交直线只有1个交点，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1.∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，则当n＝k＋1时，如图，
任取其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k)＝.
由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个．
∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝
＝＝.
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2成立．
——————————————————
对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
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3．有几个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，
求证：这几个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的应用，天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解答题的形式进行了考查，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
(天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N＋，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N＋)．
[命题立意] 本题考查数学归纳法在证明数列问题中的应用．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，
得方程组解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N＋.
(2)法一：由(1)得
Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.②
由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2
＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.
而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12
＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N＋.
法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，
即Tk＋12＝－2ak＋10bk，
则当n＝k＋1时有Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1
＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)
＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)
＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24
＝－2ak＋1＋10bk＋1－12.
即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.因此n＝k＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，可知对任意n∈N＋，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”时，在验证当n＝1成立时，左边计算所得的结果是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析：选C 由于等式左边当n＝1时，幂指数的最大值为1＋1＝2，∴左边计算结果为1＋a＋a2或在等式中左边共有n＋2项，∴n＝1时，共有3项．
2．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·… ·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B.
C．2(2k＋1) D.
解析：选C 当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·… ·(k＋1＋k＋1)
＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．
3．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析：选C 与“如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N＋)时，命题也不成立”．故知当n＝5时，该命题不成立，可推得当n＝4时该命题不成立，故选C.
4．用数学归纳法证明“A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
解析：选D ∵在上面的证明中，当n＝k＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n＝k时的结论，这样就失去假设当n＝k时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法．∴A、B、C都不对，选D.
二、填空题
5．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于________．
解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋.所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：＋＋
6．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立．
解析：两个奇数之间相差2.
答案：k＋2
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
解析：∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.
答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n>1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．
解析：∵所证明的等式为
22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n>1)，
又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，
∴n应为2.
又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，
即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
答案：2 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝＋＋…＋.
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
＋＋…＋
＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立．
10．用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．
证明：(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．
(2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除．
当n＝k＋1时，Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1
＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1
＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1.
∴n＝k＋1时，命题也成立．
根据(1)、(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.
(1)写出a1，a2，a3；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)由题意Sn＋an＝2，∴a1＝1，a2＝，a3＝.
(2)猜想an＝n－1，
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，n－1＝0＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝k－1，
∵Sk＋1＝2－ak＋1，Sk＋1－Sk＝ak＋1，Sk＝2－ak，
∴ak＋1＝ak＝k，即当n＝k＋1时，等式成立．
根据①②可知，对一切n∈N＋，等式成立.
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