[核心必知]
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立
在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)点的极坐标
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？
提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有
无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．
2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？
提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
考点1
极坐标系的概念
已知最内层的圆的半径为1，且各圆间等距离，距离为1.写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
[精讲详析] 本题考查极坐标的表示，解答本题需要准确理解点的极坐标的概念.
对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为
A，B，C，D，
E(9,0)，F(3，π)，G.
(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
1．在极坐标系中，作出下列各点：
A，B(6，－120°)，C，D，E(4,0)，F(2.5,180°)．
解： 各点描点如图所示．
考点2
点的极坐标和直角坐标的互化
若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
(1)已知点A的极坐标，求它的直角坐标；
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
[精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．
(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos ＝2.
y＝ρsin θ＝4sin ＝－2.
∴A点的直角坐标为(2，－2)．
(2)∵ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝－1.
且点B位于第四象限内，∴θ＝.
∴点B的极坐标为.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
∴点C的极坐标为.
(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ；
(2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．
2．(1)把点M的极坐标化成直角坐标；
(2)把点N的直角坐标(－，－1)化成极坐标．
解：(1)x＝－5cos＝－，
y＝－5sin＝－.
∴点M的直角坐标是.
(2)ρ＝＝2，
tan θ＝＝.
又∵点N在第三象限，ρ>0.
∴最小正角θ＝π.
故点N的极坐标是.
考点3
极坐标系中两点间的距离
在极坐标系中，已知A，B，求A、B两点之间的距离．
[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．
法一：由A、B在过极点O的一条直线上，这时A、B两点的距离为|AB|＝3＋1＝4，所以，A、B两点间的距离为4.
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－，θ2＝，
由两点间的距离公式得
|AB|＝
＝
＝＝
＝＝4.
法三：将A，B由极坐标化为直角坐标，
对于A有x＝3cos＝，
y＝3sin＝－，
∴A.
对于B有x＝1×cos ＝－，
y＝1×sin ＝，
∴B.
∴|AB|＝ ＝＝4.
∴AB两点间的距离为4.
对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d＝求得；也可以把A、B两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d＝求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．
3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A，B，则求第三个顶点C的坐标．
解：由题设知，A、B两点关于极点O对称，又|AB|＝4，由正三角形的性质知，|CO|＝2，∠AOC＝，从而C的极坐标为或.
[本节热点命题关注]
极坐标与直角坐标的互化在高考模拟中经常出现．本考题将极坐标与直角坐标的互化同极坐标系中两点间的距离和简单的三角恒等变换相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证]
已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且|OA|＝|OB|，则点B的直角坐标为________．
[命题立意] 本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标与极坐标的转化．
[解析] 依题意，点B的极坐标为，
∵cos ＝cos＝cos cos －sin ·sin
＝·－·＝，
sin ＝sin＝sin cos ＋cos ·sin
＝·＋·＝，
∴x＝ρcos θ＝4×＝－，
y＝ρsin θ＝＋.
∴点B的直角坐标为(－，＋)．
[答案] (－，＋)
一、选择题
1．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B
如图所示，描点－2，－时，先找到角－的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点.直线θ＝，就是由极角为的点的集合．故M关于直线θ＝的对称点为M′2，，但是选择项没有这样的坐标．又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
2．一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1(－5,109°)，P2(4,49°)，则这个三角形P1OP2的面积为( )
A．5 B．10
C. D．10
解析：选A 点P1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P1OP2＝120°，S△P1OP2＝×4×5sin 120°＝5.
3．在极坐标系中，点A，B，则线段AB中点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析： 选A 由点A， B知，∠AOB＝，于是△AOB为等腰直角三角形，所以|AB|＝×＝1，设线段AB的中点为C，则|OC|＝，极径OC与极轴所成的角为，所以线段AB中点C的极坐标为.
4．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
解析： 选A 将极坐标方程转化为直角坐标方程即可．A中，由ρ＝，得ρcos θ＋ρsin θ＝1，∴x＋y＝1，∴y＝1－x(0≤x≤1)．B中，由ρ＝，得y＝1－x.C中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x2＋y2＝x＋y(0≤x≤1)．D中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得x2＋y2＝x＋y.
二、填空题
5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为________．
解析：点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2.∴y＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．
答案：(ρ，0)
6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为____________．
解析：
如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
答案：或
7．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．
解析：
如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝.
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
8．已知点M的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为________．
解析：∵tan θ＝－，<θ<π，
∴cos θ＝－，sin θ＝.
∴x＝5cos θ＝－3，y＝5sin θ＝4.
∴点M的直角坐标为(－3,4)．
答案：(－3,4)
三、解答题
9．某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))
解：以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m), 建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°， 得|AB|＝300 m，|OA|＝300 m，同样求得|OD|＝2|OF|＝300，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，B，C，D，E(300，π)，F.
10．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
解： (1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
11．已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A，B，C，极点O(0,0)．
(1)判断△OAB的形状；
(2)求△ABC的面积．
解： 所给各点的直角坐标分别为A(0,2)，B(－，1)，C，O(0,0)．
(1)∵|AB|＝＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴△OAB为等边三角形．
(2)∵|AC|＝＝，|BC|＝＝，|AB|＝2，
∴△ABC为等腰三角形．
∵AB的中点为D，
|CD|＝＝2，
∴S△ABC＝|AB||CD|＝×2×2＝2.
课件28张PPT。极坐标系的概念 考点1 点的极坐标和直角坐标的互化 考点2 极坐标系中两点间的距离 考点3 谢谢！一、选择题
1．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B
如图所示，描点－2，－时，先找到角－的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点.直线θ＝，就是由极角为的点的集合．故M关于直线θ＝的对称点为M′2，，但是选择项没有这样的坐标．又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
2．一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1(－5,109°)，P2(4,49°)，则这个三角形P1OP2的面积为( )
A．5 B．10
C. D．10
解析：选A 点P1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P1OP2＝120°，S△P1OP2＝×4×5sin 120°＝5.
3．在极坐标系中，点A，B，则线段AB中点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析： 选A 由点A， B知，∠AOB＝，于是△AOB为等腰直角三角形，所以|AB|＝×＝1，设线段AB的中点为C，则|OC|＝，极径OC与极轴所成的角为，所以线段AB中点C的极坐标为.
4．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
解析： 选A 将极坐标方程转化为直角坐标方程即可．A中，由ρ＝，得ρcos θ＋ρsin θ＝1，∴x＋y＝1，∴y＝1－x(0≤x≤1)．B中，由ρ＝，得y＝1－x.C中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x2＋y2＝x＋y(0≤x≤1)．D中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得x2＋y2＝x＋y.
二、填空题
5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为________．
解析：点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2.∴y＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．
答案：(ρ，0)
6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为____________．
解析：
如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
答案：或
7．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．
解析：
如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝.
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
8．已知点M的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为________．
解析：∵tan θ＝－，<θ<π，
∴cos θ＝－，sin θ＝.
∴x＝5cos θ＝－3，y＝5sin θ＝4.
∴点M的直角坐标为(－3,4)．
答案：(－3,4)
三、解答题
9．某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))
解：以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m), 建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°， 得|AB|＝300 m，|OA|＝300 m，同样求得|OD|＝2|OF|＝300，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，B，C，D，E(300，π)，F.
10．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
解： (1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
11．已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A，B，C，极点O(0,0)．
(1)判断△OAB的形状；
(2)求△ABC的面积．
解： 所给各点的直角坐标分别为A(0,2)，B(－，1)，C，O(0,0)．
(1)∵|AB|＝＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴△OAB为等边三角形．
(2)∵|AC|＝＝，|BC|＝＝，|AB|＝2，
∴△ABC为等腰三角形．
∵AB的中点为D，
|CD|＝＝2，
∴S△ABC＝|AB||CD|＝×2×2＝2.
