第1课时 圆的极坐标方程
[核心必知]
1．曲线的极坐标方程
在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
圆心为C(a,0)(a>0)半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
[问题思考]
1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？
提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一
定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．
2．圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是什么？圆心在点处且过极点的圆的方程又是什么？
提示：圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r；圆心在点处且过极点的圆的方程为ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
考点1
求曲线的极坐标方程
设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程．
[精讲详析] 本题考查极坐标方程的求法，解答此题需要根据题目特点建立恰当的极坐标系，然后再求直角顶点的轨迹方程．
设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示．
设P(ρ，θ)为轨迹上的一点，
则OP＝ρ，∠xOP＝θ.
在直角三角形ODP中，OP＝OD·cos θ，
∵OP＝ρ，OD＝2r，
∴ρ＝2rcos θ(ρ≠0，ρ≠2r)．
这就是所求轨迹的方程．
(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点．
③列出ρ，θ的关系式．
④化简整理．
(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键．
1．设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，过M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程．
解：
以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图．
设定圆O的半径为r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点．
∵MP⊥MA，∴|MA|2＋|MP|2＝
|PA|2.由余弦定理，可知|MA|2＝a2＋r2－2arcos θ，|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ，由此可得a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2.
整理化简，得ρ＝.
考点2
求圆的极坐标方程
求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
[精讲详析]
在圆周上任取一点P(如图)
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知：
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos ∠COP，
∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法．
(2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ；若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
2．在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P是OQ中点，求P的轨迹．
解：
(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ、OQ，
则|OD|＝6，∠DOQ＝－θ，或∠DOQ＝θ－，∠DQO＝.
在Rt△ODQ中，|OQ|＝|OD|cos，
即ρ＝6cos.
(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．∴2ρ＝6cos，∴ρ＝3cos.∴P的轨迹是圆.
考点3
极坐标方程与直角坐标方程的互化
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)ρcos2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝.
[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵ρcos 2＝1，∴ρ·＝1，即ρ＋ρcos θ＝2.
∴＋x＝2.化简，得y2＝－4(x－1)．
(4)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x2－y2＝4.
(5)∵ρ＝，∴2ρ－ρcos θ＝1.
∴2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
3．把极坐标方程ρcos＝1化为直角坐标方程．
解：由ρcos＝1得ρcos θ＋ρsin θ＝1，
将ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，得x＋＝1，
即x＋y－2＝0.
[本节热点命题关注]
利用圆的极坐标方程求圆心、半径，再利用圆心、半径解决问题，是高考命题的重点题型之一．北京高考以填空题的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
(北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．
[命题立意] 本题考查将圆的极坐标方程化为直角坐标方程的方法．
[解析] 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r＝1.因为点P(1,0)到圆心的距离d＝＝2>1，所以点P在圆外，所以|AP|的最小值为d－r＝2－1＝1.
[答案] 1
一、选择题
1．极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )
A．2 B. C．1 D.
解析： 选D ρ＝cos θ表示以为圆心，为半径的圆，ρ＝sin θ表示以为圆心，为半径的圆．所求圆心距为 ＝.
2．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为( )
A．ρ＝2cos θ B．ρ＝－2cos θ
C．ρ＝2sin θ D．ρ＝－2sin θ
解析： 选B 如图所示，已知圆心为P(，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°， 在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM，∴ρ＝2cos(π－θ)，即ρ＝－2cos θ.
3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4 B. C．2 D．2
解析：选C ρ＝4sin θ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.
4．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )．
解析： 选C ∵ρ＝2sin＝2sin θ·cos＋2cos θ·sin＝(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝ρsin θ＋ρcos θ，∴x2＋y2＝x＋y，∴2＋2＝1，∴圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.
二、填空题
5．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ2＝x2＋y2，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ?x2＋y2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
6．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，则圆C的极坐标方程为________．
解析：将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5.化简，得ρ2－4ρcosθ－－1＝0，此即为所求的圆C的极坐标方程．
答案：ρ2－4ρcos－1＝0
7．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，圆心C(2，0)．点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|＝2.
答案：2
8．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径为________．
解析： 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
答案：
三、解答题
9.
如图，在圆心极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．
解：设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，
ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，
所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，
即x2＋y2－4x＝0为轨迹的直角坐标方程．
10．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
解： (1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋2＝1，则Q的直角坐标方程为2＋y－2＝.
11．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0), M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2, ρB＝4cos α，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2sin2α－－≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
课件21张PPT。求曲线的极坐标方程 考点1 求圆的极坐标方程 考点2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 考点3 谢谢！一、选择题
1．极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )
A．2 B. C．1 D.
解析： 选D ρ＝cos θ表示以为圆心，为半径的圆，ρ＝sin θ表示以为圆心，为半径的圆．所求圆心距为 ＝.
2．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为( )
A．ρ＝2cos θ B．ρ＝－2cos θ
C．ρ＝2sin θ D．ρ＝－2sin θ
解析： 选B 如图所示，已知圆心为P(，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°， 在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM，∴ρ＝2cos(π－θ)，即ρ＝－2cos θ.
3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4 B. C．2 D．2
解析：选C ρ＝4sin θ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.
4．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )．
解析： 选C ∵ρ＝2sin＝2sin θ·cos＋2cos θ·sin＝(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝ρsin θ＋ρcos θ，∴x2＋y2＝x＋y，∴2＋2＝1，∴圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.
二、填空题
5．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ2＝x2＋y2，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ?x2＋y2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
6．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，则圆C的极坐标方程为________．
解析：将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5.化简，得ρ2－4ρcosθ－－1＝0，此即为所求的圆C的极坐标方程．
答案：ρ2－4ρcos－1＝0
7．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，圆心C(2，0)．点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|＝2.
答案：2
8．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径为________．
解析： 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
答案：
三、解答题
如图，在圆心极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．
解：设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，
ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，
所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，
即x2＋y2－4x＝0为轨迹的直角坐标方程．
10．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
解： (1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋2＝1，则Q的直角坐标方程为2＋y－2＝.
11．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0), M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2, ρB＝4cos α，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2sin2α－－≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
