第2课时 球坐标系
[核心必知]
1．球坐标系
建立空间直角坐标系O-xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ称为高低角．
2．空间直角坐标与球坐标的转化
空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
[问题思考]
1．在球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示什么图形？
提示：在空间的球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面．
2．在球坐标系中，方程θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示什么图形？
提示：在球坐标系中，方程θ＝θ0(0≤θ<2π)表示过z轴的半平面，它与zOx坐标面的夹角为θ0.
3．在球坐标系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示什么图形？
提示：在球坐标系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点，半顶角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z轴，φ0＜时它在上半空间，φ0＞时它在下半空间，φ0＝时它是xOy平面(如图所示)．
考点1
将球坐标化为直角坐标
已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．
[精讲详析] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系，解答本题需要先搞清球坐标5，，中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．∵M的球坐标为5，，，∴r＝5，φ＝，θ＝.由变换公式得
故它的直角坐标为.
已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.
1．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解：由变换公式得：
x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2.
y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2.
z＝rcos φ＝4cos ＝－2.
∴它的直角坐标为(2,2，－2).
考点2
将直角坐标化为球坐标
设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．
[精讲详析] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系，解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．
由坐标变换公式，可得
r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝，
得cos φ＝＝，φ＝.
又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，
从而知M点的球坐标为.
由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r、θ、φ，
代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．
2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．
解：由变换公式得
r＝
＝ ＝1，
由rcos φ＝z＝－得cos φ＝－，φ＝.
又tan θ＝＝(x>0，y>0)，
得θ＝.
∴M的球坐标为.
考点3
球坐标系的应用
在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A、B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．
[精讲详析] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离问题．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．
如图所示，因为AR，，，B，
可知∠AOO1＝∠O1OB＝，
∴∠O1AO＝∠O1BO＝.
又∠EOC＝，∠EOD＝，
∴∠COD＝－＝.
∴∠AO1B＝∠COD＝.
在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，
∴O1B＝O1A＝R.
∵∠AO1B＝，∴AB＝R.
在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，
∴∠AOB＝.
故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为R.
我们根据A、B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A、B两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离．
3.
用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B，求出这两个截面间的距离．
解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝，
∴在△AOO1中，OO1＝4.
在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，
∴OO2＝4，
则O1O2＝OO1＋OO2＝8.
即两个截面间的距离O1O2为8.
[本节热点命题关注]
本课时考点在近几年的高考中未出现过．本考题以空间两点间的距离为载体考查了空间直角坐标与球坐标的转化．
[考题印证]
在球坐标系中A和B2，，的距离为________．
[命题立意] 本题考查空间球坐标与直角坐标的转化及空间两点间的距离公式．
[解析] A、B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)、B(－1,1，－)．
∴|AB|＝
＝2.
[答案] 2
一、选择题
1．已知一个点的球坐标为，则它的高低角为( )
A．－ B. C. D.
解析：选A ∵φ＝，∴它的高低角为－φ＝－.
2．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为( )
A. B. C. D.
解析：选A θ＝，即它的方位角为.
3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(1,0,0) B．(－1，－1,0)
C．(0，－1,0) D．(－1,0,0)
解析：选D x＝rsin φcos θ＝1·sin ·cos π＝－1，
y＝rsin φsin θ＝1·sin sin π＝0，
z＝rcos φ＝1·cos ＝0，
∴它的直角坐标为(－1,0,0)．
4．在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选B r＝＝＝cos φ＝＝＝.∴φ＝.tan θ＝＝.
又y＞0，x＞0，∴θ＝.∴球坐标为.
二、填空题
5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.
答案：
6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
解析：由坐标变换公式得x＝rsin φcos θ＝4sincos＝－2，y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2，
z＝rcos φ＝4cos＝2.
∴它的直角坐标为(－2,2,2)．
由公式得
∴ρ2＝(－2)2＋22＝8，∴ρ＝2.
∴cos θ＝－，sin θ＝，
又∵θ∈[0,2π]，∴θ＝.
即它的柱坐标是.
答案：(－2,2,2)
7．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________．
解析：由坐标变换公式，得r＝＝＝2，cos φ＝＝，∴φ＝.∵tan θ＝＝＝1，又∵x<0，y<0，∴θ＝.∴M的球坐标为.
答案：
8．在球坐标系中，方程r＝1表示______________________________________________，
方程φ＝表示空间的____________________________________________________．
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面
三、解答题
9．如图，请你写出点M的球坐标．
解：
由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，如图所示，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．
∴M点的球坐标为M(R，φ，θ)．
10．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解：根据坐标变换公式
得
∴点P的直角坐标为.
11.
如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A、B、C、D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)
解：O是△BCD的中心，则OC＝OD＝OB＝，AO＝.∴C，D，B，A.
考点一
利用平面直角坐标系解决几何问题
(1)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．
(2)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA、FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.
(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
[解] (1)以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系(图略)．
则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)．
由于所求圆的圆心在y轴上，
所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2，
∵F(3，0)，M(0,3)都在圆上，
∴
解得b＝－3，r2＝36.
所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.
(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h＋0.5.
将点P的横坐标x＝代入圆的方程，得()2＋(y＋3)2＝36，得y＝2或y＝－8(舍)．
所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．
所以车辆的限制高度为3.5 m.
考点二
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
[解] 将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得
2＋(y＋3)2＝.
该曲线是以为圆心，半径为的圆.
考点三
极坐标的求法
(1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0，
如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
(3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系．
△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
[解]
如图：令A(ρ，θ)，
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，
又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得＝，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.
考点四
极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．
(2)互化公式为
(3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．
(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；
(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；
(3)ρ＝4；
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.
[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.
整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.
是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．
(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，
即x2＋y2＝9x＋9y，
又可化为2＋2＝，
是以为圆心，以为半径的圆．
(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.
是以原点为圆心，以4为半径的圆．
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线.
考点五
柱坐标系与球坐标系
(1)柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点P的柱坐标．
(2)球坐标：建立空间直角坐标系O -xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q.Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所转过的最小正角为θ，则P(r，φ，θ)为P点的球坐标．
如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C，B′，P的柱坐标．
[解] C点的ρ、θ分别为|OC|及∠COA.
B′点的ρ为|OB|＝＝＝3；
θ＝∠BOA，而tan ∠BOA＝＝1.
所以∠BOA＝.
P点的ρ、θ分别为OE、∠AOE，|OE|＝|OB|＝，∠AOE＝∠AOB.
所以C点的柱坐标为；
B′点的柱坐标为；
P点的柱坐标为.
如图，长方体OABC-D′A′B′C′中OA＝OC＝a，BB′＝OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点；OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．
[解] r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，
而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，
tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，
θ＝∠AOB＝.
∴点P的球坐标为.
一、选择题
1．点M的直角坐标是(－1, )，则点M的极坐标为( )
A. B.
C. D.，(k∈Z)
解析：选D ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.
又∴
∴θ＝＋2kπ，k∈Z.
即点M的极坐标为，k∈Z.
2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
解析：选C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1.
3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.
4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R) 和ρcos θ＝1
解析：选B 由ρ＝2cos θ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.
二、填空题
5．点M的柱坐标为，则它的直角坐标为________．
解析：∵x＝2cos ＝1，y＝2sin ＝，z＝8.
∴它的直角坐标为(1，，8)．
答案：(1，，8)
6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．
解析：x＝6·sin ·cos ＝3，y＝6sin sin ＝3，z＝6cos ＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．
答案：(3,3，0)
7．在极坐标系中，点(1,2)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．
解析：直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，
d＝＝.
答案：
8．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．
解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为
(－6,0)，故切线长为＝＝2.
答案：2
三、解答题
9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1的伸缩变换．
解：设变换为将其代入方程x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.
又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1.∴
又∵λ>0，μ>0，∴λ＝，μ＝.
∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1的伸缩变换为
10.
如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
解：
如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)，O2(2,0)．
设P(x，y)，则|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1.
同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1.
∵|PM|＝|PN|，即|PM|2＝2|PN|2.
即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]．即x2－12x＋y2＋3＝0.
即动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．
解：
(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ，化简整理，
得ρ2－6·ρcos＋8＝0为圆C的轨迹方程．
(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0.①
设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3?ρ1＝ρ，
又θ1＝θ，即
代入①得ρ2－6·ρcos＋8＝0，
整理得ρ2－15ρcos＋50＝0为P点的轨迹方程．
阶段质量检测（一）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在极坐标系中有如下三个结论：
①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中正确的是( )
A．①③ B．①
C．②③ D．③
解析： 选D 点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tan θ＝1能表示θ＝和θ＝两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立．
2．已知点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析： 选C 因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴正半轴所成的角为，所以点P的一个极坐标为，故选C.
3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，∴2＋2＝4.令得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.∴伸缩变换为所求．
法二：将x2＋y2＝4改写为x′2＋y′2＝4，
设满足题意的伸缩变换为
代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，即＋＝1.
与椭圆＋＝1比较系数得解得
∴伸缩变换为即
4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )
A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2
C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4
解析： 选B 如图所示，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，l和圆相切，l交极轴于B(2,0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，
则有cos θ＝＝，得ρcos θ＝2.
5．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心坐标是( )
A. B.
C. D.
解析： 选A 化为直角坐标方程后求得圆心的直角坐标为，故极坐标为.
6．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝的图形是( )
解析： 选B ρ＝cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρcos θ＝表示过点与极轴垂直的直线.
7．曲线θ＝与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B.
C．3 D．6
解析：选C
极坐标方程θ＝，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C，∠AOC＝，∴|AO|＝2×3×cos ＝6×＝3.
8．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点为，即.
法二：点M的直角坐标为＝
－，－，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，
点关于直线y＝x的对称点为－，－，再化为极坐标即.
9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( )
A. B.
C．2 D．2
解析：选B
圆ρ＝4cos θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，
在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，∴|CD|＝.
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r
B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
C.ρ(sin θ＋cos θ)＝r
D.ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
解析：选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①
圆ρ＝－2rsin
＝－2r
＝－r(sin θ＋cos θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsin θ＋ρcos θ)，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②
①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－r.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θρ≥0,0≤θ<，则曲线C1与C 2交点的极坐标为________．
解析： 由，解得即两曲线的交点为.
答案：
12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：
将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如右图易得－≤k≤.
答案：
13．已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为____________，球坐标为____________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由得
由得即
∴点M的直角坐标为，
球坐标为.
答案：
14．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
答案：
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.
(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，如图所示，求Q点的轨迹的极坐标方程．
解：
以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1，2θ)．如图所示．
∵S△OQA＋S△OQP＝S△OAP，
∴·3ρsin θ＋ρsin θ
＝sin 2θ.∴ρ＝cos θ.
16．(12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为
x2＋y2＝－x，
即2＋y2＝，它表示圆心为，半径为的圆．
将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0，
∵圆心到直线的距离为＝＞1，
∴直线与圆相离．
17．(12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中令θ＝0，
得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
18．(14分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：
以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，
设P(a，0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，
即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.
设M(x，y)，则由
解得(a为参数)．消去a，
可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．
课件21张PPT。求简单直线的极坐标方程 考点1 求较复杂直线的极坐标方程 考点2 直线与圆的极坐标方程的应用考点3 谢谢！一、选择题
1．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－ D．ρ＝
解析： 选C
如图所示，设M为直线上任一点，设M(ρ，θ)．在△OPM中，OP＝OM·cos∠POM，∴1＝ρ·cos(π－θ), 即ρ＝－.
2．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos θ＝2 B．ρsin θ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
解析：选A ρ＝4sin θ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x＝2，圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．
3．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．重合
解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y＝xtan α，ρsin(θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtan α＋.所以两直线平行．
4．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点对称 D．极点对称
解析：选B 由方程ρ＝4sin，得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，即x2＋y2＝2y－2x.配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4.它表示圆心在(－，1)、半径为2、且过原点的圆．所以在极坐标系中，它关于直线θ＝成轴对称．
二、填空题
5．在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于________．
解析：由题意知，点的直角坐标是(，1)，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程是y＝2，所以所求的点到直线的距离为1.
答案：1
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
解析：∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，
∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
答案：1∶1
7．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
其普通方程为x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1的普通方程为x＝－1，
联立
解得点(－1,1)的极坐标为.
答案：
8．在极坐标系中，定点A，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：
将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，
则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B.
答案：
三、解答题
9．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解： 在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC＝ ＝1，
于是圆C过极点，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解： (1)由ρcos＝1得ρ＝1，从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0);
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为，
所以P点的直角坐标为，
则P点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈R.
11．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解： (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，
所以△C2MN的面积为.
