[核心必知]
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用
通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”
第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
[问题思考]
1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？
提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．
2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？
提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．
考点1
求轨迹方程
已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．
[精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．
以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a，0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．
法一：由△ABC是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.
故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，则·＝－1(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
法三：由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点C与点B不重合，所以＝a(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．
(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．
(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．
1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．
解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系， 则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)．
设M(x，y)为轨迹上任一点，则
|MA|＝，|MB|＝，
|MC|＝，|MD|＝，
∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得
＝.
化简，得y2－x2＋6＝0.
∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.
考点2
用坐标法解决几何问题
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.
[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．
如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
则直线AC的方程为y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0.
直线AB的方程为y＝x＋h，
即：hx－ay＋ah＝0.
由点到直线的距离公式：
|BD|＝，|CE|＝，
∴|BD|＝|CE|，
即BD＝CE.
(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．
(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．
2.已知△ABC中，BD＝CD，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：
如图所示，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则D，
∴AD2＋BD2＝＋＋＋
＝(a2＋b2＋c2)，
AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2.
∴AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
考点3
直角坐标系中的伸缩变换
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
由伸缩变换可知
(1)将代入y2＝2x，可得4y′2＝6x′，
即y′2＝x′.
即伸缩变换之后的图形还是抛物线．
(2)将代入x2＋y2＝1，
得(3x′)2＋(2y′)2＝1，
即＋＝1，
即伸缩变换之后的图形为焦点在y轴上的椭圆．
利用坐标伸缩变换φ：求变换后的曲线方程，其实质是从中求出然后将其代入已知的曲线方程求得关于x′，y′的曲线方程．
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并画出图形．
解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．
由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，得＋＝1，∴x2＋y2＝4.
因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示)
．
[本节热点命题关注]
本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法，本题将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个新热点．
[考题印证]
设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．
[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法．
[解]
如图，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝|y|. ①
因为A点在单位圆上运动，所以x＋y＝1.②
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋＝1(m＞0，且m≠1)．
因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以
当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；
当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．
一、选择题
1．将直线x＋y＝1变换为直线2x＋3y＝6的一个伸缩变换为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设伸缩变换为
由(x′，y′)在直线2x＋3y＝6上，
∴2x′＋3y′＝6，则2λx＋3μy＝6.
因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较，
∴＝1，且＝1，故λ＝3，且μ＝2.
所求的变换为
2．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为( )
A．y＝cos x B．y＝3cosx
C．y＝2cosx D．y＝cos 3x
解析：选A 由得
代入y＝cos 2x，得＝cos x′.
∴y′＝cos x′，即曲线y＝cos x.
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
它的面积为4π.
4．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C，D的定圆所围成的区域(含边界)，A，B，C，D是该圆的四等分点．若点P(x，y)，点P′(x′，y′)满足x≤x′，且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q的集合为.
二、填空题
5．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为________．
解析：由得代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.∴变换后的曲线方程为＋＝1.
答案： ＋＝1
6．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________．
解析：设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.
∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求．
答案：(0,0)
7．把圆x2＋y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x′2＋＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设φ：
则代入x2＋y2＝16得＋＝1.
∴16λ2＝1,16μ2＝16.∴故
答案：
8．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．
解析：设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)＝(2m－n，n－m)，∴
又2m2－n2＝2，消去m，n得－y2＝1.
答案：－y2＝1
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；
(2)＋＝1.
解：由伸缩变换得①
(1)将①代入x2－y2＝1，得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x2－4y2＝1，如图(1)所示．
(2)将①代入＋＝1，得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x2＋＝1，
如图(2)所示．
10．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．
解：
以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设点P(x，y)，B(－a,0)，C(a,0)，A(0，a)，(y>0，a>0)用点的坐标表示等式
|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，
有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，
化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，
即点P的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y>0)．
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．
(1)求a与b；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．
解：(1)∵e＝，∴e2＝＝＝，
∴＝.
又圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，
∴b＝＝.
∴b2＝2，a2＝3.
因此，a＝，b＝.
(2)由(1)知F1，F2两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，由题意可设P(1，t)．
那么线段PF1的中点为N.
设M(x，y)，由于＝(－x，－y)，
＝(－2，－t)，则，
消去t得所求轨迹方程为y2＝－4x，曲线类型为抛物线．
课件26张PPT。求轨迹方程 考点1 用坐标法解决几何问题 考点2 直角坐标系中的伸缩变换 考点3 谢谢！一、选择题
1．将直线x＋y＝1变换为直线2x＋3y＝6的一个伸缩变换为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设伸缩变换为
由(x′，y′)在直线2x＋3y＝6上，
∴2x′＋3y′＝6，则2λx＋3μy＝6.
因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较，
∴＝1，且＝1，故λ＝3，且μ＝2.
所求的变换为
2．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为( )
A．y＝cos x B．y＝3cosx
C．y＝2cosx D．y＝cos 3x
解析：选A 由得
代入y＝cos 2x，得＝cos x′.
∴y′＝cos x′，即曲线y＝cos x.
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
它的面积为4π.
4．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C，D的定圆所围成的区域(含边界)，A，B，C，D是该圆的四等分点．若点P(x，y)，点P′(x′，y′)满足x≤x′，且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q的集合为.
二、填空题
5．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为________．
解析：由得代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.∴变换后的曲线方程为＋＝1.
答案： ＋＝1
6．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________．
解析：设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.
∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求．
答案：(0,0)
7．把圆x2＋y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x′2＋＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设φ：
则代入x2＋y2＝16得＋＝1.
∴16λ2＝1,16μ2＝16.∴故
答案：
8．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．
解析：设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)＝(2m－n，n－m)，∴
又2m2－n2＝2，消去m，n得－y2＝1.
答案：－y2＝1
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；
(2)＋＝1.
解：由伸缩变换得①
(1)将①代入x2－y2＝1，得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x2－4y2＝1，如图(1)所示．
(2)将①代入＋＝1，得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x2＋＝1，
如图(2)所示．
10．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．
解：
以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设点P(x，y)，B(－a,0)，C(a,0)，A(0，a)，(y>0，a>0)用点的坐标表示等式
|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，
有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，
化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，
即点P的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y>0)．
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．
(1)求a与b；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．
解：(1)∵e＝，∴e2＝＝＝，
∴＝.
又圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，
∴b＝＝.
∴b2＝2，a2＝3.
因此，a＝，b＝.
(2)由(1)知F1，F2两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，由题意可设P(1，t)．
那么线段PF1的中点为N.
设M(x，y)，由于＝(－x，－y)，
＝(－2，－t)，则，
消去t得所求轨迹方程为y2＝－4x，曲线类型为抛物线．
