第1课时 椭圆的参数方程
[核心必知]
椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．
[问题思考]
1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1的参数方程是什么？
提示：由得
即参数方程为(φ为参数)．
2．圆的参数方程中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？
提示：圆的参数方程：(θ为参数)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
考点1
利用椭圆的参数方程求最值
已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B、C、D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．
∵椭圆方程为＋＝1，
∴可设A点的坐标为(10cos α，8sin α)．
则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|，
∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|.
∵|sin 2α|≤1，
∴矩形ABCD的最大面积为160.
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：
(1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；
(3)借助三角函数的知识求最值．
1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
解：椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)．
代入目标函数得z＝5cos φ－8sin φ
＝cos (φ＋φ0)
＝cos (φ＋φ0).
所以目标函数zmin＝－，zmax＝.
考点2
利用椭圆的参数方程求轨迹方程
已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即C点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心G的坐标即可求得轨迹．
由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
即
消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.
利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
2．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，
即a＝2.又点A在椭圆上，因此＋＝1，
得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则
x＝，y＝，
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
消去θ，得2＋＝1.
考点3
利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题
已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1、B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可．
设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．
则MB1的方程：y＋1＝·x，
令y＝0，则x＝，
即|OP|＝.
MB2的方程：y－1＝·x，
∴|OQ|＝.
∴|OP|·|OQ|
＝×
＝4.
即|OP|·|OQ|＝4为定值．
(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．
(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．
3．求证：椭圆(a>b>0)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其中c2＝a2－b2)．
证明：M、F的坐标分别为(acos θ，bsin θ)、(－c,0)，
|MF|2＝(acos θ＋c)2＋(bsin θ)2
＝a2cos 2θ＋2accos θ＋c2＋b2－b2cos 2θ
＝c2cos 2θ＋2accos θ＋a2
＝(a＋ccos θ)2.
∴当cos θ＝1时，|MF|2最大，|MF|也最大，最大值为a＋c.
[本节热点命题关注]
椭圆的参数方程的应用，是高考命题的重点考查对象，江苏高考以解答题的形式考查了椭圆参数方程在求线段长度的应用，是高考命题的一个新动向．
[考题印证]
(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
[命题立意] 本小题主要考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等．
[解] 椭圆C的普通方程为x2＋＝1.
将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－.
所以AB＝|t1－t2|＝.
一、选择题
1．椭圆(φ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝.
2．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )
A．π B.
C．2π D.π
解析：选A ∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ.
∴cos θ＝－1.∴θ＝π.
3．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C.＋ D．2
解析：选D 椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，
x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.
4．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A．(3,4) B.
C．(－3，－4) D.
解析：选D 因为＝tan θ＝tan ＝1，所以tan θ＝.所以cos θ＝，sin θ＝，代入得P点坐标为.
二、填空题
5．曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．
解析：原方程消去参数θ，得普通方程为＋＝1.它是焦点在x轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，c＝4.所以左焦点坐标是(－4,0)．
答案：(－4,0)
6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．
解析：当t＝时，即M(1,2)，同理N(，2)．kMN＝＝－2.
答案：－2
7．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：4sin θ＝2cos θ＋b，∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ－φ).∴－2≤f(θ)≤2.∴－2≤b≤2.
答案：[－2，2 ]
8．直线x＋y＝2被椭圆(φ为参数)截得的弦长为________．
解析：把代入x＋y＝2得cos φ＋sin φ＝.即sin＝，于是φ＝0或φ＝，得两交点M(2，0)，N(，)，|MN|＝＝.
答案：
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
10．椭圆＋＝1上一动点P(x，y)与定点A(a,0)(0＜a＜3)之间的距离的最小值为1，求a的值．
解：设动点P(3cos θ，2sin θ)，则
|PA|2＝(3cos θ－a)2＋4sin 2θ
＝5(cos θ－a)2－a2＋4.
∵0＜a＜3，∴0＜a＜.
若0＜a≤1，则当cos θ＝a时，
|PA|min＝ ＝1，得a＝(舍去)；
若1＜a＜，则当cos θ＝1时，
由|PA|min＝＝1，
得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的a值为2.
11．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
解： 设椭圆的参数方程是其中a>b>0,0≤θ<2π.
由e2＝＝＝1－2，可得＝＝，即a＝2b.
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，
即d2＝x2＋2＝a2cos2θ＋2
＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋
＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋
＝－3b22＋4b2＋3.
如果>1，即b<， 即当sin θ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝2，
由此得b＝－>，与b<矛盾．
因此必有≤1成立，于是当sin θ＝－时，d2有最大值，
由题设得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2.
所求椭圆的参数方程是
由sin θ＝－，cos θ＝±可得，
椭圆上的点，点到点P的距离都是.
课件24张PPT。利用椭圆的参数方程求最值 考点1 利用椭圆的参数方程求轨迹方程 考点2 利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题 考点3 谢谢！一、选择题
1．椭圆(φ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝.
2．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )
A．π B.
C．2π D.π
解析：选A ∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ.
∴cos θ＝－1.∴θ＝π.
3．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C.＋ D．2
解析：选D 椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，
x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.
4．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A．(3,4) B.
C．(－3，－4) D.
解析：选D 因为＝tan θ＝tan ＝1，所以tan θ＝.所以cos θ＝，sin θ＝，代入得P点坐标为.
二、填空题
5．曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．
解析：原方程消去参数θ，得普通方程为＋＝1.它是焦点在x轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，c＝4.所以左焦点坐标是(－4,0)．
答案：(－4,0)
6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．
解析：当t＝时，即M(1,2)，同理N(，2)．kMN＝＝－2.
答案：－2
7．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：4sin θ＝2cos θ＋b，∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ－φ).∴－2≤f(θ)≤2.∴－2≤b≤2.
答案：[－2，2 ]
8．直线x＋y＝2被椭圆(φ为参数)截得的弦长为________．
解析：把代入x＋y＝2得cos φ＋sin φ＝.即sin＝，于是φ＝0或φ＝，得两交点M(2，0)，N(，)，|MN|＝＝.
答案：
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
10．椭圆＋＝1上一动点P(x，y)与定点A(a,0)(0＜a＜3)之间的距离的最小值为1，求a的值．
解：设动点P(3cos θ，2sin θ)，则
|PA|2＝(3cos θ－a)2＋4sin 2θ
＝5(cos θ－a)2－a2＋4.
∵0＜a＜3，∴0＜a＜.
若0＜a≤1，则当cos θ＝a时，
|PA|min＝ ＝1，得a＝(舍去)；
若1＜a＜，则当cos θ＝1时，
由|PA|min＝＝1，
得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的a值为2.
11．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
解： 设椭圆的参数方程是其中a>b>0,0≤θ<2π.
由e2＝＝＝1－2，可得＝＝，即a＝2b.
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，
即d2＝x2＋2＝a2cos2θ＋2
＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋
＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋
＝－3b22＋4b2＋3.
如果>1，即b<， 即当sin θ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝2，
由此得b＝－>，与b<矛盾．
因此必有≤1成立，于是当sin θ＝－时，d2有最大值，
由题设得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2.
所求椭圆的参数方程是
由sin θ＝－，cos θ＝±可得，
椭圆上的点，点到点P的距离都是.
