第2课时 双曲线、抛物线的参数方程
[核心必知]
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是，规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠.
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数方程是.
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px的参数方程为t∈R.
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
[问题思考]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？
提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果x对应的参数形式是asec φ，则焦点在x轴上；
如果y对应的参数形式是asec φ，则焦点在y轴上．
3．若抛物线的参数方程表示为则参数α的几何意义是什么？
提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．
考点1
双曲线参数方程的应用
在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为.
[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．
设P的坐标为(sec φ，tan φ)，由P到直线x－y＝0的距离为得＝
得|－|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，
即5sin 2φ－2sin φ－3＝0.
解得sin φ＝1或sin φ＝－.
sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)．
sin φ＝－时，cos φ＝±.
∴P的坐标为或.
参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
1．直线AB过双曲线－＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点．求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值．
证明： 如图所示，设P，
A.∵AB过原点O，
∴A，B的坐标关于原点对称，于是有B，
从而有kPA·kPB＝·
＝＝为定值．
考点2
抛物线参数方程的应用
连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M、P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为由中点坐标公式得变形为y0＝x，
即x2＝4y.表示的为抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
2．已知抛物线C：(t为参数)，设O为坐标原点，点M在抛物线C上，且点M的纵坐标为2，求点M到抛物线焦点的距离．
解：由得y2＝2x，
即抛物线的标准方程为y2＝2x.
又∵M点的纵坐标为2，
∴M点的横坐标也为2.即M(2,2)．
又∵抛物线的准线方程为x＝－.
∴由抛物线的定义知|MF|＝2－＝2＋＝.
即点M到抛物线焦点的距离为.
考点3
圆锥曲线的参数方程的综合应用
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．
∵－＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
∴方程为＋＝1.
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
∴点P到直线的距离d＝
＝.
∴dmax＝.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
3．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝，求线段AB中点M的坐标；
(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．
解： (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是＋y2＝1.
设点M对应的参数为t0.
当α＝时，直线l的方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.
则t0＝＝－，
所以点M的坐标为.
(2)将代入曲线C的普通方程＋y2＝1，
得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sin α＋4cos α)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，
所以＝7，得tan2α＝.
由于Δ＝32cos α(2sin α－cos α)>0，
故tan α＝，
所以直线l的斜率为.
[本节热点命题关注]
本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．
[考题印证]
(天津高考)设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用．
[解析] 由(p＞0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
∴F，|AB|＝|AF|＝p，可得A(p，p)．
易知△AEB∽△FEC，
∴＝＝，
故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×＝p2＝3，∴p2＝6.
∵p＞0，∴p＝.
[答案]
一、选择题
1．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B.而C中y＝＝cot2t＝＝，即x2y＝1，故排除C.
2．下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.－＝1 B.－＝－1
C.－x2＝1 D.－x2＝－1
解析：选B 由x＝sec θ得，x2＝＝＝3tan 2θ＋3，
又∵y＝tan θ，
∴x2＝3y2＋3，即－y2＝1.
经验证可知，选项B合适．
3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
4．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．[0,1)
解析： 选D
将曲线化为普通方程，得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是拋物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
二、填空题
5．圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．
解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y2＝4x，则焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
6．已知抛物线C：(t为参数)，设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹普通方程为____________．
解析：抛物线的普通方程为y2＝2x，设点P(x，y)，点M为(x1，y1)(x1≠0)，则x1＝2x，y1＝2y.
∵点M在抛物线上，且点M与O不重合，
∴4y2＝4x?y2＝x(x≠0)．
答案：y2＝x(x≠0)
7．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是________．
解析：双曲线(α为参数)的标准方程为
－＝1，焦点在y轴上，c2＝a2＋b2＝48.
∴焦点坐标为(0，±4)．
答案：(0，±4)
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，又由
得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
9．设抛物线y2＝4x有内接△OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长．
解： 拋物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，F为△OAB的垂心，所以x轴⊥AB，A、B关于x轴对称．
设A(4t2,4t)(t>0)，则B(4t2，－4t)，
所以kAF＝，kOB＝－＝－.
因为AF⊥OB，所以kAF·kOB＝·＝－1.
所以t2＝，由t>0得t＝，
所以A(5,2)，B(5，－2)，
所以|AB|＝4，
|OA|＝|OB|＝3，
所以这个三角形的周长为10.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点，求直线MB，CN的交点P的轨迹方程．
解： 设点B，则C，
又M(－a,0)，N(a,0)．
∴直线MB的方程为y＝(x＋a)，
直线CN的方程为y＝(x－a)．
将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为＋＝1.
11．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解： (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
课件26张PPT。双曲线参数方程的应用 考点1 抛物线参数方程的应用 考点2 圆锥曲线的参数方程的综合应用 考点3 谢谢！一、选择题
1．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B.而C中y＝＝cot2t＝＝，即x2y＝1，故排除C.
2．下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.－＝1 B.－＝－1
C.－x2＝1 D.－x2＝－1
解析：选B 由x＝sec θ得，x2＝＝＝3tan 2θ＋3，
又∵y＝tan θ，
∴x2＝3y2＋3，即－y2＝1.
经验证可知，选项B合适．
3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
4．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．[0,1)
解析： 选D
将曲线化为普通方程，得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是拋物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
二、填空题
5．圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．
解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y2＝4x，则焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
6．已知抛物线C：(t为参数)，设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹普通方程为____________．
解析：抛物线的普通方程为y2＝2x，设点P(x，y)，点M为(x1，y1)(x1≠0)，则x1＝2x，y1＝2y.
∵点M在抛物线上，且点M与O不重合，
∴4y2＝4x?y2＝x(x≠0)．
答案：y2＝x(x≠0)
7．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是________．
解析：双曲线(α为参数)的标准方程为
－＝1，焦点在y轴上，c2＝a2＋b2＝48.
∴焦点坐标为(0，±4)．
答案：(0，±4)
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，又由
得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
9．设抛物线y2＝4x有内接△OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长．
解： 拋物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，F为△OAB的垂心，所以x轴⊥AB，A、B关于x轴对称．
设A(4t2,4t)(t>0)，则B(4t2，－4t)，
所以kAF＝，kOB＝－＝－.
因为AF⊥OB，所以kAF·kOB＝·＝－1.
所以t2＝，由t>0得t＝，
所以A(5,2)，B(5，－2)，
所以|AB|＝4，
|OA|＝|OB|＝3，
所以这个三角形的周长为10.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点，求直线MB，CN的交点P的轨迹方程．
解： 设点B，则C，
又M(－a,0)，N(a,0)．
∴直线MB的方程为y＝(x＋a)，
直线CN的方程为y＝(x－a)．
将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为＋＝1.
11．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解： (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
