第2课时 圆的参数方程
[核心必知]
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω，以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
(1)在t时刻，M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
[问题思考]
1．方程(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？
提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝R2，即2＋2＝1，令
则
2．若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程是什么？
提示：圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
考点1
求圆的参数方程
点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．
[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与φ之间的关系，
然后写出参数方程．
如图所示，设圆心为O′，连接O′M
①当M在x轴上方时，∠MO′x＝2φ.
∴
②当M在x轴下方时，∠MO′x＝－2φ，
∴
即
③当M在x轴上时，对应φ＝0或φ＝±.
综上得圆的参数方程为
.
(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．
(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成φ的意义就改变了．
1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0
得x＝，y＝，∴参数方程为
答案： (t为参数)
考点2
圆的参数方程的应用
已知点P(2,0)，点Q是圆(θ为参数)上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ的中点M的坐标为(x，y)，然后利用已知条件中的参数分别表示x，y，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．
设中点为M(x，y)，即
它是圆的参数方程，表示以(1,0)为圆心，以为半径的圆．
解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．
2．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹的参数方程．
解：设M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则(θ为参数)
即为所求的参数方程．
已知点P(x，y)是圆(θ为参数)上的动点．
(1)求x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x2＋y2＝2y的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．
(1)∵P在圆上，
∴x＋y＝cos θ＋sin θ＋1＝2sin＋1.
∴－2＋1≤x＋y≤2＋1.
即x＋y的取值范围为[－1,3]．
(2)∵x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0，
∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1.
又－(cos θ＋sin θ)－1＝－sin－1≤－1，
∴a≥－1，
即a的取值范围为[－1，＋∞)．
(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．
(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．
3．设方程(θ为参数)表示的曲线为C，求在曲线C上到原点O距离最小的点P的坐标．
解：∵OP2＝(1＋cos θ)2＋(＋sin θ)2＝5＋2sin θ＋2cos θ＝5＋4sin.
当θ＝2kπ＋π，k∈Z时，OP最小，此时点P的坐标为.
[本节热点命题关注]
高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系．本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题．
[考题印证]
已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l和圆C的交点的直角坐标为____________．
[命题立意] 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程．
[解析] 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0,1)，半径r＝1，由直线l的极坐标方程可知直线l的方程为y＝1，则根据图象可知直线l和圆C的交点为(－1,1)，(1,1)．
[答案] (－1,1)，(1,1)
一、选择题
1．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
解析： 选D 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
2．直线3x－4y－9＝0与圆(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆的普通方程为x2＋y2＝4，∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线3x－4y－9＝0的距离为d＝＝<2，∴直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上．
3．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6
C．26 D．25
解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝，φ为锐角)．
∴最大值为36.
4．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设x1＝cos θ，y1＝sin θ.则
即
二、填空题
5．参数方程(α为参数)表示的图形是________．
解析：∵且cos 2α＋sin 2α＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.
∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
答案：圆
6．已知圆C：与直线x＋y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：将圆C的方程代入直线方程，得
cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin.
∵－1≤sin≤1，
∴1－≤a≤1＋.
答案：[1－，1＋ ]
7．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________．
解析：由P在曲线上可得P的坐标为(2＋cos α，sin α)．
由点到直线的距离公式得d＝
＝，当cos＝－1时，d最小，
dmin＝＝－1＋3.
答案：－1＋3
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．
解析：设P(x，y)为动圆的圆心，由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0得：(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos 2θ＋
b2sin 2θ.∴
答案：
三、解答题
9．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，
设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
参数方程为(0≤θ＜2π)．
10．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解： (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0得，
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)知，x＋y＝4＋(cos α＋sin α)
＝4＋2sin.
又∵－1≤sin≤1，
∴x＋y的最大值为6，最小值为2.
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)．
(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为
＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
课件25张PPT。求圆的参数方程 考点1 圆的参数方程的应用 考点2 谢谢！一、选择题
1．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
解析： 选D 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
2．直线3x－4y－9＝0与圆(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆的普通方程为x2＋y2＝4，∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线3x－4y－9＝0的距离为d＝＝<2，∴直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上．
3．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6
C．26 D．25
解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝，φ为锐角)．
∴最大值为36.
4．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设x1＝cos θ，y1＝sin θ.则
即
二、填空题
5．参数方程(α为参数)表示的图形是________．
解析：∵且cos 2α＋sin 2α＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.
∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
答案：圆
6．已知圆C：与直线x＋y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：将圆C的方程代入直线方程，得
cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin.
∵－1≤sin≤1，
∴1－≤a≤1＋.
答案：[1－，1＋ ]
7．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________．
解析：由P在曲线上可得P的坐标为(2＋cos α，sin α)．
由点到直线的距离公式得d＝
＝，当cos＝－1时，d最小，
dmin＝＝－1＋3.
答案：－1＋3
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．
解析：设P(x，y)为动圆的圆心，由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0得：(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos 2θ＋
b2sin 2θ.∴
答案：
三、解答题
9．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，
设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
参数方程为(0≤θ＜2π)．
10．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解： (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0得，
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)知，x＋y＝4＋(cos α＋sin α)
＝4＋2sin.
又∵－1≤sin≤1，
∴x＋y的最大值为6，最小值为2.
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)．
(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为
＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
