第3课时 参数方程和普通方程的互化
[核心必知]
参数方程和普通方程的互化
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
[问题思考]
1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？
提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．
2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？
提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个．
考点1
把曲线的普通方程化为参数方程
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．
(1)＋＝1，x＝cos θ＋1.(θ为参数)
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)
[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量x代入方程，求出y即可．
(1)将x＝cos θ＋1代入＋＝1得：
y＝2＋sin θ.
∴(θ为参数)
这就是所求的参数方程．
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：
y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1
＝t2＋3t＋1.
∴(t为参数)
这就是所求的参数方程．
(1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x，y的相互关系比较明显，容易引出方程．
(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．
1．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由xy＝1得x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，而A中x∈[0，＋∞)，B中x∈[－1,1]，C中x∈[－1,1]，只有D选项中x、y的取值范围与方程xy＝1中x、y的取值范围相对应．
考点2
将参数方程化为普通方程
分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
(1)θ为参数，t为常数；
(2)t为参数，θ为常数．
[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，然后想办法消掉参数．
(1)当t＝0时，y＝0，x＝cos θ，
即|x|≤1，且y＝0；
当t≠0时，cos θ＝，sin θ＝，
而sin 2θ＋cos 2θ＝1，
即＋＝1.
(2)当θ＝kπ，k∈Z时，y＝0，x＝±(et＋e－t)，
即|x|≥1，且y＝0；
当θ＝kπ＋，k∈Z时，x＝0，y＝±(et－e－t)，
即x＝0；
当θ≠，k∈Z时，
得即
得2et·2e－t＝＋－，
即－＝1.
(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：
①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么可以利用2－2＝4消参．
(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
2．将下列参数方程化成普通方程．
(1) (2) (3)
解： (1)由x＝，得t＝.代入y＝化简得y＝(x≠1)．
(2)由x－2y＝t－1得t＝x－2y＋1，代入y＝t2－t－1化简得x2－4xy＋4y2＋x－3y－1＝0.
(3)将y＝－pt的两边平方得y2＝＋p2t2－2p2＝p－2p2，以x＝＋pt2代入上式，得y2＝p(x－2p)．
考点3
参数方程的应用
已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线l：x－2y－7＝0距离的最小值．
[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法．解答本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．
(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．M到直线l的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|
＝|5sin (φ－θ)－13|.
从而当sin (φ－θ)＝1时，d取得最小值.
(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键．
(2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．
3．已知方程y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解：(1)证明：将方程y2－6ysin θ－2x－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)，
∴图象为抛物线．
设其顶点为(x，y)，则有
消去θ得顶点轨迹是椭圆＋＝1.
(2)联立
消去x，得
y2－6ysin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0.
弦长|AB|＝|y1－y2|＝4，
当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.
[本节热点命题关注]
曲线的参数方程化为普通方程是解决参数方程问题的根本方法，也是高考命题的重点内容，它体现了转化与化归的数学思想．以射线(极坐标方程)与曲线(参数方程)相交为背景设置问题，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
(全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[命题立意] 本题主要考查参数方程与普通方程的互化．
[解] (1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 化为普通方程：y＝x－2，但是x∈[2,3]，y∈[0,1]．
2．下列在曲线(θ为参数)上的点是( )
A. B.
C．(2，) D．(1，)
解析：选B 化为普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)，
当x＝－时，y＝±.
3．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 选B 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为 参数)，
则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin，
故x＋y的最大值为2，故选B.
4．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为( )
A. B．2
C．3 D．4
解析： 选D 圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
二、填空题
5．曲线的参数方程是(t为参数，t≠0)，则它的普通方程为________________．
解析：1－x＝，t＝，而y＝1－t2，
即y＝1－2＝(x≠1)．
答案：y＝(x≠1)
6．参数方程(t为参数)的普通方程为________．
解析：??＝4.
答案：－＝1(x≥2)
7．若点(x，y)在圆(θ为参数)上，则x2＋y2的最小值是________．
解析：法一：由题可知，x2＋y2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos (θ＋φ)，当cos (θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.
法二：将原式转化为普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圆．令t＝x2＋y2，则t可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin＝2＝9，所以x2＋y2的最小值为9.
答案：9
8．点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是________．
解析：曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设＝k，∴y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，k取得最小值与最大值．
∴＝1，k2＝.∴的范围为.
答案：
三、解答题
9．在方程(a，b为正常数)中，
(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线；
(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线．
解：
(1)①×sin θ－②×cos θ得
xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.
∵cos θ，sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．
(2)(ⅰ)当t为非零常数时，
③2＋④2得＋＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．
10．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程．
解： (1)由题意，可知故所以a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程，得t＝，代入第二个方程，得y＝2，即(x－1)2＝4y为所求．
11．已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，直线l的方程是4x＋3y－8＝0.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．
解：(1)曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)在方程4x＋3y－8＝0中，令y＝0，得x＝2，
即M点的坐标为(2,0)．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r＝1，则|MC|＝.
所以|MN|≤|MC|＋r＝＋1.
即|MN|的最大值为＋1.
课件28张PPT。把曲线的普通方程化为参数方程 考点1 将参数方程化为普通方程 考点2 参数方程的应用 考点3 谢谢！一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 化为普通方程：y＝x－2，但是x∈[2,3]，y∈[0,1]．
2．下列在曲线(θ为参数)上的点是( )
A. B.
C．(2，) D．(1，)
解析：选B 化为普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)，
当x＝－时，y＝±.
3．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 选B 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为 参数)，
则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin，
故x＋y的最大值为2，故选B.
4．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为( )
A. B．2
C．3 D．4
解析： 选D 圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
二、填空题
5．曲线的参数方程是(t为参数，t≠0)，则它的普通方程为________________．
解析：1－x＝，t＝，而y＝1－t2，
即y＝1－2＝(x≠1)．
答案：y＝(x≠1)
6．参数方程(t为参数)的普通方程为________．
解析：??＝4.
答案：－＝1(x≥2)
7．若点(x，y)在圆(θ为参数)上，则x2＋y2的最小值是________．
解析：法一：由题可知，x2＋y2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos (θ＋φ)，当cos (θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.
法二：将原式转化为普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圆．令t＝x2＋y2，则t可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin＝2＝9，所以x2＋y2的最小值为9.
答案：9
8．点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是________．
解析：曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设＝k，∴y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，k取得最小值与最大值．
∴＝1，k2＝.∴的范围为.
答案：
三、解答题
9．在方程(a，b为正常数)中，
(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线；
(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线．
解：
(1)①×sin θ－②×cos θ得
xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.
∵cos θ，sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．
(2)(ⅰ)当t为非零常数时，
③2＋④2得＋＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．
10．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程．
解： (1)由题意，可知故所以a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程，得t＝，代入第二个方程，得y＝2，即(x－1)2＝4y为所求．
11．已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，直线l的方程是4x＋3y－8＝0.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．
解：(1)曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)在方程4x＋3y－8＝0中，令y＝0，得x＝2，
即M点的坐标为(2,0)．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r＝1，则|MC|＝.
所以|MN|≤|MC|＋r＝＋1.
即|MN|的最大值为＋1.
