考点一
参数方程的求法
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；
(2)选取适当的参数；
(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；
(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．
过点P(－2,0)作直线l与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，设A、B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．
[解] 设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝ty－2.
由消去x得(1＋t2)y2－4ty＋3＝0.
∴y1＋y2＝，则y＝.
x＝ty－2＝－2＝，
由Δ＝(4t)2－12(1＋t2)>0得t2>3.
∴M的轨迹的参数方程为(t为参数且t2>3).
考点二
曲线的参数方程与普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
已知曲线的参数方程为(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？
[解] 由曲线的参数方程得
∵cos 2t＋sin 2t＝1，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4.
由于0≤t≤π，∴0≤sin t≤1.
从而0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0.
∴所求的曲线的参数方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)．
这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为2.
已知参数方程(t≠0)．
(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？
(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？
[解] (1)当t≠±1时，由①得sin θ＝，
由②得cos θ＝.
∴＋＝1.
它表示中心在原点，长轴长为2，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆．
当t＝±1时，y＝0，x＝±2sin θ，x∈[－2,2]，
它表示在x轴上[－2,2]的一段线段．
(2)当θ≠(k∈Z)时，由①得＝t＋.
由②得＝t－.
平方相减得－＝4，即－＝1，
它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|，焦点在x轴上的双曲线．
当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示y轴；
当θ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝0，x＝±.
∵t＋≥2(t＞0时)或t＋≤－2(t＜0时)，
∴|x|≥2.∴方程为y＝0(|x|≥2)，它表示x轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线.
考点三
直线与圆的参数方程
求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 曲线C的标准方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
它表示以(2，－1)为圆心，半径为3的圆，
因为圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝＝，且3－<，故过圆心且与l平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．
[答案] B
直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
[解析] 直线的普通方程为x＋y－1＝0，圆的普通方程为x2＋y2＝32，圆心到直线的距离d＝＜3，故直线与圆的交点个数是2.
[答案] 2
求直线被曲线截得的弦长．
[解] 直线的普通方程为x＋y＋1＝0，
曲线为圆心为(1，－1)，半径为4的圆，
则圆心(1，－1)到直线x＋y＋1＝0的距离
d＝＝.
设直线被曲线截得的弦长为t，则t＝2＝，
∴直线被曲线截得的弦长为.
直线(t为参数)与圆x2＋y2＝a(a>0)相交于A、B两点，设P(－1,0)，且|PA|∶|PB|＝1∶2，求实数a的值．
[解] 法一：直线参数方程可化为y＝(x＋1)，
联立方程
消去y，得：4x2＋6x＋3－a＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)(不妨设x1
Δ＝36－16(3－a)>0，①
x1＋x2＝－，②
x1·x2＝，③
＝＝，④
由①②③④解得a＝3.
法二：将直线参数方程代入圆方程得
t2－t＋1－a＝0，
设方程两根为t1、t2，则
Δ＝1－4(1－a)>0?a>.
t1＋t2＝1，t1·t2＝1－a.(*)
由参数t的几何意义知
＝－＝或＝－＝.
由＝－，解得a＝3.
考点四
圆锥曲线的参数方程
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．
已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．
[解] 设弦AB所在的直线方程为
(t为参数)，
代入方程y2＝4x整理得
t2sin 2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1、t2满足关系t1＋t2＝0，
sin α－cos α＝0，
∴0≤α＜π，∴α＝.
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8.
过点B(0，－a)作双曲线x2－y2＝a2右支的割线BCD，又过右焦点F作平行于BD的直线，交双曲线于G、H两点．
求证：·＝2.
[证明] 当a＞0时，设割线的倾斜角为α，则它的参数方程为(t为参数)．①
则过焦点F平行于BD的直线GH的参数方程为
(t为参数)．②
将①代入双曲线方程，得
t2cos 2α＋2atsin α－2a2＝0.
设方程的解为t1，t2，
则有|BC|·|BD|＝|t1t2|＝，
同理，|GF|·|FH|＝.
∴·＝2，
当a＜0时，同理可得上述结果．
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
解析：选A 由ρ＝cos θ，得x2＋y2＝x，∴ρ＝cos θ表示一个圆．由得到3x＋y＝－1，表示一条直线．
2．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r(θ是常数)与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：选B 圆心到直线的距离d＝＝|r|＝r，故相切．
3．双曲线(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C 由?y2－＝1，两条渐近线的方程是y＝±x，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
4．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D．2b
解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsin θ＝－2＋4＋，
当0当b≥4时，(x2＋2y)max＝－2＋4＋＝2b.
二、填空题
5．直线(t为参数)的倾斜角的大小为________．
解析：原参数方程变为(t为参数)，故直线的倾斜角为20°.
答案：20°
6．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，又点A(1,2)，则|AB|＝________.
解析：将代入2x－4y＝5得t＝，
则B，而A(1,2)，得|AB|＝.
答案：
7．圆的渐开线参数方程为：(φ为参数)．则基圆的面积为________．
解析：易知，基圆半径为.∴面积为π·2＝π3.
答案：π3
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x＝4，①
化为普通方程为y2＝x3，②
①、②联立得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.
答案：16
三、解答题
9．经过P(－2,3)作直线交抛物线y2＝－8x于A、B两点．
(1)若线AB被P平分，求AB所在直线方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求|AB|.
解：设AB的参数方程是(t为参数)
代入抛物线方程，整理得
t2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t－7＝0.
于是t1＋t2＝－，
t1t2＝－.
(1)若p为AB的中点，则t1＋t2＝0.
即6sin α＋8cos α＝0?tan α＝－.
故AB所在的直线方程为y－3＝－(x＋2)．
即4x＋3y－1＝0.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝
＝
＝，
又α＝，
∴|AB|＝
＝8.
10．已知对于圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，求实数m的取值范围．
解：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程可写为
∵x＋y＋m≥0恒成立，
∴cos θ＋1＋sin θ＋m≥0恒成立．
∵sin θ＋1＋cos θ＝sin＋1≥1－，
∴m≥－(1－)．
即m的取值范围为[－1，＋∞)．
11．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解： (1)将消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
阶段质量检测（二）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7) B．(1,0)
C. D.
解析：选C 由y＝cos 2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
2．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ?
把直线代入x2＋y2＝9得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0.
|t1－t2|＝＝＝，弦长为|t1－t2|＝.
3．直线(t为参数)的斜率是( )
A．2 B. C．－2 D．－
解析：选C
①×2＋②得2x＋y－1＝0，∴k＝－2.
4．若圆的参数方程为(θ为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选B 直线与圆的普通方程分别为3x－y＋2＝0与(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心(－1,3)到直线的距离d＝＝＝，而d<2且d≠0，故直线与圆相交而不过圆心．
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：选A x＋y2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cos 2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，∴为抛物线的一部分．
6．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋ B．5＋
C．5 D．6
解析：选A 椭圆的参数方程为(θ为参数)，x＋y＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋φ)，∴(x＋y)max＝3＋.
7．过点(3，－2)且与曲线(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 化为普通方程是＋＝1.
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
8．已知过曲线上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设P(3cos θ，5sin θ)，
则|OP|2＝9cos 2θ＋25sin 2θ＝9＋16sin 2θ＝13，
得sin 2θ＝.又0≤θ≤，∴sin θ＝，cos θ＝.∴x＝3cos θ＝.y＝5sin θ＝.∴P坐标为.
9．设曲线与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 令y＝0得sin θ＝0，∴cos θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cos θ，sin θ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
10．曲线(θ为参数)的图形是( )
A．第一、三象限的平分线
B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
C．以(－a，－a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、(a，a)为端点的线段
D．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
解析：选D 显然y＝x，而x＝asin θ＋acos θ＝asinθ＋，
－|a|≤x≤|a|.故图形是以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，令即(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
12．设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x－4，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为________．
解析：将直线l1的方程化为普通方程得3x－y＋a－3＝0，直线l2方程即3x－y－4＝0，由两平行线的距离公式得＝?|a＋1|＝10?a＝9或a＝－11.
答案：9或－11
13．直线y＝2x－与曲线(φ为参数)的交点坐标为________．
解析：?
将①代入②中，得y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
∴2x2＋y＝1.
由解之得或(舍去)．
答案：
14.
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
解析：由题意得圆的方程为2＋y2＝，圆心在x轴上，半径为，则其圆的参数方程为(α为参数)，注意α为圆心角，θ为同弧所对的圆周角，则有α＝2θ，有即(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(a为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解： (1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆心为(1,0)，半径r＝1，
以为圆心到直线的距离d＝<1，所以直线与圆相交．
16．(12分)在直角坐标系xOy中，已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解： (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)设点P到直线l的距离为d，
则|PA|＝2d.故要求|PA|的最大值与最小值转化为求d的最大值与最小值．
设P(2cos θ，3sin θ)，点P到直线2x＋y－6＝0的距离d＝＝.
当sin(θ＋φ)＝－1时，d有最大值，
当sin(θ＋φ)＝1时，d有最小值，
故|PA|＝2d∈.
17．(12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．
(1)求BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
解：(1)直线参数方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2－t＋9＝0.
∴tM＝＝，
则xM＝，yM＝，中点坐标为M.
(2)设切线方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0.
Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，cos α＝0或tan α＝.
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－＝3sin α－5cos α，t1＝3，t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，.
18．(14分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，
故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.
当a≥－4时，d的最大值为，
由题设得＝，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为，
由题设得＝，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
模块综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．极坐标方程ρ＝－4cos θ化为直角坐标方程是( )
A．x－4＝0 B．x＋4＝0
C．(x＋2)2＋y2＝4 D．x2＋(y＋2)2＝4
解析： 选C 极坐标方程ρ＝－4cos θ即ρ2＝－4ρcos θ，所以化为直角坐标方程是x2＋y2＝－4x，即(x＋2)2＋y2＝4.
2．极坐标方程ρ2＋2ρsin＝1表示曲线的中心在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析： 选D 极坐标方程ρ2＋2ρsin＝1，
即ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为
x2＋y2－2x＋2y＝1，标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心坐标为(1，－1)，在第四象限．
3．极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)表示的曲线是( )
A．圆 B．直线
C．圆和直线 D．圆和射线
解析： 选D 由极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)，可得ρ＝1或θ＝0.ρ＝1表示到极点的距离为1的点的轨迹，是圆．θ＝0表示极角为0的点的集合，是射线．故选D.
4．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是(2，θ)，圆C的参数方程是(t为参数)，点M与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．在圆上或圆外
解析： 选D 圆C的参数方程是(t为参数)，化作普通方程为 (x－1)2＋y2＝1.点M的极坐标是(2，θ)，其直角坐标为(2cos θ，2sin θ)，则点M到圆心C(1，0)的距离d＝＝ ∈[1,3]．因此点M在圆C的外部或圆上，故选D.
5．已知点P所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q所在曲线的参数方程为(t为参数)，则|PQ|的最小值是( )
A．2 B.＋1
C．1 D.－1
解析： 选D 易知点P在圆x2＋y2－2x＝0上，圆心为(1,0)，半径为1，点Q在直线2x－y＋2＝0上，故|PQ|的最小值是－1＝－1.
6．已知参数方程是(a，b，λ均不为零，0≤θ<2π)，分别取①t为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )
A．①，②，③均是直线
B．只有②是直线
C．①②是直线，③是圆
D．②是直线，①③是圆
解析： 选C ①t为参数，原方程可化为y－λsin θ＝(x－λcos θ)，表示直线；②λ为参数，原方程可化为y－bt＝(x－at)·tan θ，表示直线；③θ为参数，原方程可化为(x－at)2＋(y－bt)2＝λ2，表示圆．故选C.
7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2 B．4C.5 D．10
解析： 选D 不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝4，|CD|＝|AB|＝2，|PC|＝|PD|＝|CD|＝，|PA|＝|PB|＝＝＝，所以＝＝10.故选D.
8．直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截得的弦长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 选B 直线方程可化为x＋y－＝0，曲线方程可化为x2＋＝1.由得x2－x＝0，∴x＝0或x＝1.可得交点为A(0，)，B(1,0)∴|AB|＝＝2.故选B.
9．若P(2，－1)为圆(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析： 选C 圆消去θ，得(x－1)2＋y2＝25，所以圆心C(1,0)，所以kCP＝－1.所以弦所在的直线的斜率为1，所以弦所在的直线方程为y－(－1)＝1·(x－2)，即为x－y－3＝0. 故选C.
10．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
解析： 选C 根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得 ·|t|＝，解得t＝±，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．故选C.
11．已知抛物线C1：(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析： 选C 抛物线C1的普通方程为y2＝8x，焦点为(2,0)，故直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，由题意＝r，得r＝.
12．如果曲线C：(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，0) B．(0,2)
C．(－2，0)∪(0,2) D．(1,2)
解析： 选C 曲线C的参数方程(θ为参数)转化为普通方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，问题可转化为以原点为圆心，2为半径的圆与圆C总相交，根据两圆相交的充要条件，得0<<4，∴0二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
13．已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A4，到圆心的距离为________．
解析： 将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x2＋y2＝4y，则该圆的圆心为(0,2)，而点A的直角坐标为(2，2)，由两点间距离公式可得d＝＝2.
答案： 2
14．在平面直角坐标系xOy中，如果直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，那么常数a的值为________．
解析： 直线和椭圆的普通方程分别为x－y－a＝0，＋＝1.把椭圆的右顶点(3,0)代入直线方程x－y－a＝0，得a＝3.
答案： 3
15．已知直线l：(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|·|PB|值为________．
解析： 将直线l：(t为参数)代入曲线C：ρ＝2sin θ的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(＋1)t＋1＝0，设直线l与曲线C交于A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝1，即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝1.
答案： 1
16．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
解析： 椭圆、直线、圆化为直角坐标方程分别为＋＝1，x＋y－m＝0，x2＋y2＝b2，
由题意得m＝＝c，＝b，
∴c＝b，∴c2＝2(a2－c2)，
∴＝，∴e＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsinθ＋＝，圆C的参数方程为(θ为参数，r>0).
(1)求圆心C的极坐标；
(2)当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3.
解： (1)由得圆C的圆心为－，－.
∴圆心C的极坐标为.
(2)由ρsin＝，得ρ(cos θ＋sin θ)＝1，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－1＝0.
圆C：的圆心到直线l的距离为d＝＝1＋.
∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，
∴1＋＋r＝3，r＝2－.
∴当r＝2－时，圆C上的点到直线l的最大距离为3.
18．(12分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解： (1)圆C的参数方程(φ为参数)，消去参数可得(x－1)2＋y2＝1.
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入化简，得ρ＝2cos θ，
即为此圆的极坐标方程．
(2)由直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝，化为普通方程为直线l：y＋x＝3，射线OM：y＝x.
联立解得即Q.联立解得或
∴P.∴|PQ|＝ ＝＝2.
19．(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋＝4.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．
解： (1)由曲线C1：可得
两式两边平方相加得2＋y2＝1，
即曲线C1的普通方程为＋y2＝1.
由曲线C2：ρsin＝4，
得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，
即ρsin θ＋ρcos θ＝8，
即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.
(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点，设椭圆上的动点P的坐标为(0≤α<2π)，则P到直线x＋y－8＝0的距离为d＝＝，
∴当sin＝1时，d取得最小值3，此时点P的坐标为.
20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
解： 椭圆C的普通方程为x2＋＝1.将直线l的参数方程代入x2＋＝1得2＋＝1，即7t2＋16t＝0得t1＝0，t2＝－，
∴|AB|＝|t1－t2|＝.
21．(12分)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
解： (1)直线l的参数方程为(t为参数)，
曲线C的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C的极坐标方程可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.
(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入圆的方程得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.
∵曲线C与直线相交于不同的两点M，N，
∴Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，
∴sin αcos α>0，
又α∈[0，π)，∴α∈.
又t1＋t2＝－4(sin α＋cos α)，t1t2＝4.
∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|
＝4|sin α＋cos α|＝4sin，
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈.
∴|PM|＋|PN|的取值范围是.
22．(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0, 其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解： (1)消去参数t得到C1的普通方程：x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，
解得a＝－1(舍去)或a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
解析：选A 由ρ＝cos θ，得x2＋y2＝x，∴ρ＝cos θ表示一个圆．由得到3x＋y＝－1，表示一条直线．
2．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r(θ是常数)与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：选B 圆心到直线的距离d＝＝|r|＝r，故相切．
3．双曲线(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C 由?y2－＝1，两条渐近线的方程是y＝±x，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
4．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D．2b
解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsin θ＝－2＋4＋，
当0当b≥4时，(x2＋2y)max＝－2＋4＋＝2b.
二、填空题
5．直线(t为参数)的倾斜角的大小为________．
解析：原参数方程变为(t为参数)，故直线的倾斜角为20°.
答案：20°
6．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，又点A(1,2)，则|AB|＝________.
解析：将代入2x－4y＝5得t＝，
则B，而A(1,2)，得|AB|＝.
答案：
7．圆的渐开线参数方程为：(φ为参数)．则基圆的面积为________．
解析：易知，基圆半径为.∴面积为π·2＝π3.
答案：π3
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x＝4，①
化为普通方程为y2＝x3，②
①、②联立得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.
答案：16
三、解答题
9．经过P(－2,3)作直线交抛物线y2＝－8x于A、B两点．
(1)若线AB被P平分，求AB所在直线方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求|AB|.
解：设AB的参数方程是(t为参数)
代入抛物线方程，整理得
t2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t－7＝0.
于是t1＋t2＝－，
t1t2＝－.
(1)若p为AB的中点，则t1＋t2＝0.
即6sin α＋8cos α＝0?tan α＝－.
故AB所在的直线方程为y－3＝－(x＋2)．
即4x＋3y－1＝0.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝
＝
＝，
又α＝，
∴|AB|＝
＝8.
10．已知对于圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，求实数m的取值范围．
解：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程可写为
∵x＋y＋m≥0恒成立，
∴cos θ＋1＋sin θ＋m≥0恒成立．
∵sin θ＋1＋cos θ＝sin＋1≥1－，
∴m≥－(1－)．
即m的取值范围为[－1，＋∞)．
11．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解： (1)将消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
阶段质量检测（二）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7) B．(1,0)
C. D.
解析：选C 由y＝cos 2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
2．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ?
把直线代入x2＋y2＝9得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0.
|t1－t2|＝＝＝，弦长为|t1－t2|＝.
3．直线(t为参数)的斜率是( )
A．2 B. C．－2 D．－
解析：选C
①×2＋②得2x＋y－1＝0，∴k＝－2.
4．若圆的参数方程为(θ为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选B 直线与圆的普通方程分别为3x－y＋2＝0与(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心(－1,3)到直线的距离d＝＝＝，而d<2且d≠0，故直线与圆相交而不过圆心．
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：选A x＋y2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cos 2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，∴为抛物线的一部分．
6．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋ B．5＋
C．5 D．6
解析：选A 椭圆的参数方程为(θ为参数)，x＋y＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋φ)，∴(x＋y)max＝3＋.
7．过点(3，－2)且与曲线(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 化为普通方程是＋＝1.
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
8．已知过曲线上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设P(3cos θ，5sin θ)，
则|OP|2＝9cos 2θ＋25sin 2θ＝9＋16sin 2θ＝13，
得sin 2θ＝.又0≤θ≤，∴sin θ＝，cos θ＝.∴x＝3cos θ＝.y＝5sin θ＝.∴P坐标为.
9．设曲线与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 令y＝0得sin θ＝0，∴cos θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cos θ，sin θ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
10．曲线(θ为参数)的图形是( )
A．第一、三象限的平分线
B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
C．以(－a，－a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、(a，a)为端点的线段
D．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
解析：选D 显然y＝x，而x＝asin θ＋acos θ＝asinθ＋，
－|a|≤x≤|a|.故图形是以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，令即(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
12．设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x－4，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为________．
解析：将直线l1的方程化为普通方程得3x－y＋a－3＝0，直线l2方程即3x－y－4＝0，由两平行线的距离公式得＝?|a＋1|＝10?a＝9或a＝－11.
答案：9或－11
13．直线y＝2x－与曲线(φ为参数)的交点坐标为________．
解析：?
将①代入②中，得y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
∴2x2＋y＝1.
由解之得或(舍去)．
答案：
14.
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
解析：由题意得圆的方程为2＋y2＝，圆心在x轴上，半径为，则其圆的参数方程为(α为参数)，注意α为圆心角，θ为同弧所对的圆周角，则有α＝2θ，有即(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(a为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解： (1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆心为(1,0)，半径r＝1，
以为圆心到直线的距离d＝<1，所以直线与圆相交．
16．(12分)在直角坐标系xOy中，已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解： (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)设点P到直线l的距离为d，
则|PA|＝2d.故要求|PA|的最大值与最小值转化为求d的最大值与最小值．
设P(2cos θ，3sin θ)，点P到直线2x＋y－6＝0的距离d＝＝.
当sin(θ＋φ)＝－1时，d有最大值，
当sin(θ＋φ)＝1时，d有最小值，
故|PA|＝2d∈.
17．(12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．
(1)求BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
解：(1)直线参数方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2－t＋9＝0.
∴tM＝＝，
则xM＝，yM＝，中点坐标为M.
(2)设切线方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0.
Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，cos α＝0或tan α＝.
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－＝3sin α－5cos α，t1＝3，t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，.
18．(14分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，
故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.
当a≥－4时，d的最大值为，
由题设得＝，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为，
由题设得＝，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
