[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P70～P74的内容，回答下列问题．
(1)教材P71－图2.4－3中的曲线对应的函数解析式是什么？
提示：φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数．
(2)如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标，则X是一个随机变量．X落在区间(a，b]的概率是多少？其几何意义是什么？
提示：P(a
2．归纳总结，核心必记
(1)正态曲线
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则
①P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ②在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
[问题思考]
(1)设随机变量X的正态分布密度函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ各为何值？
提示：μ＝－3，σ＝.
(2)如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是什么？
提示：0<σ1<σ2<σ3.
(3)若随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0提示：∵X～N(2，σ2)，∴μ＝2，即正态曲线的对称轴为x＝2.∵P(X<4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，∴P(0[课前反思]
(1)正态曲线： ；
(2)正态分布： ；
(3)正态曲线的特点： ；
(4)3σ原则： .
知识点1
正态曲线
?讲一讲
1．(1)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝______，方差σ2＝______.
(2)某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0,2)内的概率为________．
[尝试解答] (1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，
因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
(2)正态分布密度函数是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，
∵f(x)的最大值为f(μ)＝＝，∴σ＝1，
∴P(0答案：(1)20 2 (2)0.477 2
—————————————————————————
利用正态曲线的性质求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象求σ.
?练一练
1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝e，则( )
A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝
解析：选C 由φ(x)＝e，得μ＝2，σ＝.
2．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ>C)，则C等于( )
A．0 B．σ C．－μ D．μ
解析：选D 正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.
知识点2
正态分布下的概率计算
?讲一讲
2．设ξ～N(1,22)，试求：
(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．
[尝试解答] 因为ξ～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1<ξ≤3)＝P(1－2<ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)
＝0.682 6.
(2)因为P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)，
所以P(3<ξ≤5)＝[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)]
＝[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]
＝(0.954 4－0.682 6)
＝0.135 9.
(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3<ξ≤5)]
＝[1－P(1－4<ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]
＝(1－0.954 4)
＝0.022 8.
——————————————————————————————
(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．
(2)常用结论有
①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
②P(X③P(a?练一练
3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于( )
A．0.158 8 B．0.158 7
C．0.158 6 D．0.158 5
解析：选B 因为P(X<2或X>4)＝1－P(2≤X≤4)＝1－0.682 6＝0.317 4，
所以P(X>4)＝P(X<2或X>4)＝0.158 7.故选B.
知识点3
正态分布的应用
?讲一讲
3．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比．
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
[尝试解答] (1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.74%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.44%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约5 000×2.15%≈108(个)．
∴这批零件中不合格的零件大约有108个．
———————————————————————————
解此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求问题向P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应概率．同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．
?练一练
4．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90的学生占多少？
解：(1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，
则μ＝70，σ＝10.
分析成绩在60～80的学生的比为P(70－10所以成绩不及格的学生的比为(1－0.682 6)＝0.158 7，
即成绩不及格的学生占15.87%.
(2)成绩在80～90的学生比为
[P(70－2×10即成绩在80～90的学生占13.59%.
———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————
1．本节课的重点是正态曲线及正态分布下的概率计算问题，难点是正态分布的应用．
2．要掌握正态分布的以下三个问题
(1)利用正态曲线的特征研究μ和σ，见讲1；
(2)正态分布下的概率求值问题，见讲2；
(3)正态分布的应用，见讲3.
3．利用正态曲线的对称性解题，应注意以下知识的应用：
(1)曲线与x轴之间的面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上的概率相等；
(3)P(x课下能力提升(十六)
[学业水平达标练]
题组1 正态曲线
1．以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的个数是( )
①曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交；
②曲线关于直线x＝μ对称；
③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状；
④曲线与x轴之间的面积为1.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 由正态分布密度曲线的特点，易知②③④说法正确，对于①，曲线与x轴不相交，①错误．
2．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C2.下列说法中不正确的是( )
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
解析：选C 正态密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝，所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.
3．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．三科总体的标准差相同
B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同
C．丙科总体的平均数最小
D．甲科总体的标准差最小
解析：选D 由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选D.
题组2 正态分布下的概率计算
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝( )
A．0.976 B．0.024
C．0.488 D．0.048
解析：选C 因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，故其正态曲线关于直线x＝1对称．又P(ξ>3)＝0.012，故P(ξ<－1)＝0.012，因此P(－1≤ξ≤1)＝－P(ξ<－1)＝0.5－0.012＝0.488.
5．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间[－3，＋∞)内取值的概率等于( )
A．0.887 4 B．0.002 6
C．0.001 3 D．0.998 7
解析：选D P(X≥－3)＝P(－3≤X≤3)＋＝0.998 7.
6．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
解析：选A 由X～N(2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x＝2，如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故选A.
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．
解析：∵X～N(1，σ2)，且P(0答案：0.8
题组3 正态分布的应用
8．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )
A．(90,110]内 B．(95,125]内
C．(100,120]内 D．(105,115]内
解析：选C ＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．
9．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．
解析：由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，∴P(ξ<2)＝P(ξ≥6)＝0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x＝4，即P(ξ≥4)＝，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为，∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝.
答案：
10．工厂制造的某零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常试验中，取10 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个？
解：不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3所以1－P(3从而10 000×0.002 6＝26，
所以不属于(3,5)这个尺寸的零件大约有26个．
[能力提升综合练]
1．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011Ω和982 Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
解析：选C ∵X～N(1 000,52)，∴μ＝1 000，σ＝5，∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.
∵1 011∈(985,1 015)，982?(985,1 015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．
2．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C. D.
解析：选C 由正态分布密度曲线上的最高点为知＝∴D(X)＝σ2＝.
3．为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )
A．997 B．954
C．819 D．683
解析：选D 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.54．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：选B P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%，则P(3<ξ<6)＝×(95.44%－68.26%)＝13.59%.
5．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________．
解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值为1.
答案：1
6.
某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1 000,502)，则每个元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为，则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1 000小时的概率为1－×＝，故该部件使用寿命超过1 000小时的概率为×＝.
答案：
7．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比．
解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此时农民工年均收入的正态分布密度函数表达式
P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7 500＜ξ≤8 500)＝P(8 000－500<ξ≤8 000＋500)＝0.682 6.
所以P(8 000<ξ≤8 500)＝P(7 500＜ξ≤8 500)＝0.341 3.
即此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.
8．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X～N(90，100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110]内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？
解：∵X～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]内的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．
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[学业水平达标练]
题组1 正态曲线
1．以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的个数是( )
①曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交；
②曲线关于直线x＝μ对称；
③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状；
④曲线与x轴之间的面积为1.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 由正态分布密度曲线的特点，易知②③④说法正确，对于①，曲线与x轴不相交，①错误．
2．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C2.下列说法中不正确的是( )
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
解析：选C 正态密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝，所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.
3．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．三科总体的标准差相同
B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同
C．丙科总体的平均数最小
D．甲科总体的标准差最小
解析：选D 由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选D.
题组2 正态分布下的概率计算
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝( )
A．0.976 B．0.024
C．0.488 D．0.048
解析：选C 因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，故其正态曲线关于直线x＝1对称．又P(ξ>3)＝0.012，故P(ξ<－1)＝0.012，因此P(－1≤ξ≤1)＝－P(ξ<－1)＝0.5－0.012＝0.488.
5．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间[－3，＋∞)内取值的概率等于( )
A．0.887 4 B．0.002 6
C．0.001 3 D．0.998 7
解析：选D P(X≥－3)＝P(－3≤X≤3)＋＝0.998 7.
6．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
解析：选A 由X～N(2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x＝2，如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故选A.
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．
解析：∵X～N(1，σ2)，且P(0答案：0.8
题组3 正态分布的应用
8．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )
A．(90,110]内 B．(95,125]内
C．(100,120]内 D．(105,115]内
解析：选C ＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．
9．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．
解析：由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，∴P(ξ<2)＝P(ξ≥6)＝0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x＝4，即P(ξ≥4)＝，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为，∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝.
答案：
10．工厂制造的某零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常试验中，取10 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个？
解：不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3所以1－P(3从而10 000×0.002 6＝26，
所以不属于(3,5)这个尺寸的零件大约有26个．
[能力提升综合练]
1．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011Ω和982 Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
解析：选C ∵X～N(1 000,52)，∴μ＝1 000，σ＝5，∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.
∵1 011∈(985,1 015)，982?(985,1 015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．
2．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C. D.
解析：选C 由正态分布密度曲线上的最高点为知＝∴D(X)＝σ2＝.
3．为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )
A．997 B．954
C．819 D．683
解析：选D 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.54．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：选B P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%，则P(3<ξ<6)＝×(95.44%－68.26%)＝13.59%.
5．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________．
解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值为1.
答案：1
6.
某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1 000,502)，则每个元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为，则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1 000小时的概率为1－×＝，故该部件使用寿命超过1 000小时的概率为×＝.
答案：
7．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比．
解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此时农民工年均收入的正态分布密度函数表达式
P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7 500＜ξ≤8 500)＝P(8 000－500<ξ≤8 000＋500)＝0.682 6.
所以P(8 000<ξ≤8 500)＝P(7 500＜ξ≤8 500)＝0.341 3.
即此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.
8．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X～N(90，100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110]内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？
解：∵X～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]内的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．
