考点一
条件概率
在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率．
[典例1] 有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：
(1)第一次抽到次品的概率；
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
解：记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.
(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝＝.
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝÷＝.
[对点训练]
1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？
解：法一：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C＋C＋C＋C＝26，
事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C＝10，P(B|A)＝＝＝＝.
法二：事件A，B同上，则P(A)＝＝，
P(AB)＝P(B)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
考点二
相互独立事件的概率
“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．因此，在事件A与B相互独立的情况下，可用公式P(AB)＝P(A)P(B)求事件A，B同时发生的概率．
[典例2] A，B，C三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A胜B的概率为0.4，B胜C的概率为0.5，C胜A的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：
第一轮：A与B；第二轮：第一轮的胜者与C；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮：第三轮的胜者与第二轮的败者．
求：(1)B连胜四轮的概率；(2)C连胜三轮的概率．
解：(1)要B连胜四轮，以下这些相互独立事件须发生：第一轮B胜A，第二轮B胜C，第三轮B再胜A，第四轮B再胜C.根据相互独立事件同时发生的概率公式，得所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
故B连胜四轮的概率为0.09.
(2)C连胜三轮应分两种情况：①第一轮A胜B，则第二轮C胜A，第三轮C胜B，第四轮C胜A，得C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072;
②第一轮B胜A，则第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，得C连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.
由于①②两种情况是两个互斥事件，
所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.
故C连胜三轮的概率为0.162.
[对点训练]
2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．
解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.
考点三
离散型随机变量的分布列及均值、方差
均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．
离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；
(3)写出X的分布列；
(4)由分布列和均值的定义求出E(X);
(5)由方差的定义，求D(X)．
[典例3] 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方是2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及均值．
解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是，，.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以
P(A4)＝C22×＝.
由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[对点训练]
3．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列、均值及方差．
解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1.X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．
所以X的分布列为
X
－2
－1
0
1
P
E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×≈0.88.
考点四
二项分布
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.这时称X服从二项分布，记为X～B(n，p)．当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
[典例4] 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是，甲、丙两人都答错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．
(1)求该单位代表队答对此题的概率；
(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．
解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A，B，C，由已知，得P(A)＝，[1－P(A)][1－P(C)]＝，
∴P(C)＝.又P(B)P(C)＝，∴P(B)＝.
∴该单位代表队答对此题的概率
P＝1－××＝.
(2)记X为该单位代表队必答题答对的道数，Y为必答题的得分，则X～B，
∴E(X)＝10×＝.
而Y＝20X－10×(10－X)＝30X－100，
∴E(Y)＝30E(X)－100＝≈184.
[对点训练]
4．某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
解：(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，
即Y～B(5,0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
考点五
正态分布
对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．
[典例5] (1)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(0
4)的值为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.4 D．0.6
(2)2018年1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为( )
A．80 B．100
C．120 D．200
(3)若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>1)＝________.
解析：(1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x＝2，∵P(04)＝×(1－0.8)＝0.1，故选A.
(2)∵X～N(100，σ2)，∴其正态曲线关于直线x＝100对称，又∵数学成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，∴由对称性知，数学成绩不低于120分的学生人数约为总人数的×＝，∴此次考试中数学成绩不低于120分的学生人数约为×1 600＝200.故选D.
(3)∵随机变量ξ～N(2，σ2)，∴正态曲线关于x＝2对称，∵P(ξ>3)＝0.158 7，∴P(ξ>1)＝P(ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3.
答案：(1)A (2)D (3)0.841 3
[对点训练]
5．某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．
解：因为考生成绩X～N(500,502)，
所以μ＝500，σ＝50，
所以P＝(550故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398人．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
p
则p的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为＋＋＋p＝1，所以p＝，故选A.
2．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大
C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大
解析：选D 在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.
3．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设事件A为“无人中奖”，则P(A)＝＝，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－＝.
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为( )
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
解析：选A 由Y＝2X－1<6，得X<3.5，
∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.
5．在区间(0,1)内随机取一个数x，若A＝，B＝，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A P(A)＝＝，
∵A∩B＝，
∴P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
6．若离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A. B．2
C. D．3
解析：选A 由数学期望的公式可得：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A．0.9 B．0.2
C．0.7 D．0.5
解析：选D 设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，且A与B互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P(A＋B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝0.5，故选D.
8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则D(X)＝( )
A. B.
C. D．5
解析：选C 每次抛掷两枚硬币，出现不同面的概率为，10次独立重复试验中，X～B(n，p)，∴D(X)＝10××＝.
9．设随机变量x服从正态分布N，集合A＝{x|x>X}，集合B＝，则A?B的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由A?B得X≥.又∵μ＝，
∴P＝.
10．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则D(X3)等于( )
A．2.5 B．1.5
C．0.5 D．3.5
解析：选A 由已知得解得故D(X3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.
11．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X表示取到次品的件数，则E(X)等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 由题意知，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( )
A．p1>p2，E(ξ1)B．p1E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)
D．p1解析：选A 法一：(特值法)取m＝n＝3进行计算，比较即可．
法二：(标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，
则ξ的所有可能取值为0,1，
则P(ξ＝0)＝＝P(ξ1＝1)，
P(ξ＝1)＝＝P(ξ1＝2)，
所以E(ξ1)＝1×P(ξ1＝1)＋2×P(ξ1＝2)＝＋1，
所以p1＝＝；
从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，
则η的所有可能取值为0,1,2，
则P(η＝0)＝＝P(ξ2＝1)，
P(η＝1)＝＝P(ξ2＝2)，
P(η＝2)＝＝P(ξ2＝3)，
所以E(ξ2)＝1×P(ξ2＝1)＋2×P(ξ2＝2)＋3×P(ξ2＝3)＝＋1，
所以p2＝＝，
所以p1>p2，E(ξ1)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．现有两台在两地独立工作的雷达，若每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为________．
解析：设所求的概率为P，则根据题意有P＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.
答案：0.22
14．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．
解析：令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P()P()＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝＝＝0.75.
答案：0.75
15．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
解析：设生产一件该产品可获利X元，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.依题意，得X的分布列为
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37.
答案：37
16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是________．
解析：①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故③错；④每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－3＝，故④正确．
答案：①②④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X表示走出迷宫所需的时间．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
解：(1)X的所有可能取值为1,3,4,6.
P(X＝1)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝6)＝，所以X的分布列为
X
1
3
4
6
P
(2)E(X)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
18．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？
解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.
则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50因此，此次参赛学生的总数约为526人．
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．
19．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为，，.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y的分布列．
解：(1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝，
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)根据题意知得分Y＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，
∵X的可能取值为0,1,2,3.
∴Y的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为
P(Y＝6)＝P(X＝0)＝，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝12)＝P(X＝2)＝，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝.
∴随机变量Y的分布列为
Y
6
9
12
15
P
20．(本小题满分12分)
为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高绘成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
解： (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2(人)，“非高个子”有18×＝3(人)．
用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝.因此，至少有1人是“高个子”的概率是.
(2)由茎叶图知，“女高个子”有4人，“男高个子”有8人．依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
p(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
21．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”．
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1－＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件．
因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P
X2
0
3
6
P
所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
22．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
(1)求该海产品不能销售的概率；
(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E(ξ)．
解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A，
则P(A)＝1－×＝.
所以，该海产品不能销售的概率为.
(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.
P(ξ＝－320)＝4＝，
P(ξ＝－200)＝C×3×＝，
P(ξ＝－80)＝C×2×2＝，
P(ξ＝40)＝C××3＝，
P(ξ＝160)＝4＝.
所以ξ的分布列为
ξ
－320
－200
－80
40
160
P
E(ξ)＝－320×－200×－80×＋40×＋160×＝40.
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
p
则p的值为( )
A. B. C. D.
解析：选A 因为＋＋＋p＝1，所以p＝，故选A.
2．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大
C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大
解析：选D 在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.
3．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设事件A为“无人中奖”，则P(A)＝＝，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－＝.
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为( )
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
解析：选A 由Y＝2X－1<6，得X<3.5，
∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.
5．在区间(0,1)内随机取一个数x，若A＝，B＝，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A P(A)＝＝，
∵A∩B＝，
∴P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
6．若离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A. B．2
C. D．3
解析：选A 由数学期望的公式可得：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A．0.9 B．0.2
C．0.7 D．0.5
解析：选D 设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，且A与B互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P(A＋B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝0.5，故选D.
8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则D(X)＝( )
A. B.
C. D．5
解析：选C 每次抛掷两枚硬币，出现不同面的概率为，10次独立重复试验中，X～B(n，p)，∴D(X)＝10××＝.
9．设随机变量x服从正态分布N，集合A＝{x|x>X}，集合B＝，则A?B的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由A?B得X≥.又∵μ＝，
∴P＝.
10．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则D(X3)等于( )
A．2.5 B．1.5
C．0.5 D．3.5
解析：选A 由已知得解得故D(X3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.
11．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X表示取到次品的件数，则E(X)等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 由题意知，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( )
A．p1>p2，E(ξ1)B．p1E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)
D．p1解析：选A 法一：(特值法)取m＝n＝3进行计算，比较即可．
法二：(标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，
则ξ的所有可能取值为0,1，
则P(ξ＝0)＝＝P(ξ1＝1)，
P(ξ＝1)＝＝P(ξ1＝2)，
所以E(ξ1)＝1×P(ξ1＝1)＋2×P(ξ1＝2)＝＋1，
所以p1＝＝；
从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，
则η的所有可能取值为0,1,2，
则P(η＝0)＝＝P(ξ2＝1)，
P(η＝1)＝＝P(ξ2＝2)，
P(η＝2)＝＝P(ξ2＝3)，
所以E(ξ2)＝1×P(ξ2＝1)＋2×P(ξ2＝2)＋3×P(ξ2＝3)＝＋1，
所以p2＝＝，
所以p1>p2，E(ξ1)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．现有两台在两地独立工作的雷达，若每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为________．
解析：设所求的概率为P，则根据题意有P＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.
答案：0.22
14．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．
解析：令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P()P()＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝＝＝0.75.
答案：0.75
15．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
解析：设生产一件该产品可获利X元，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.依题意，得X的分布列为
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37.
答案：37
16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是________．
解析：①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故③错；④每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－3＝，故④正确．
答案：①②④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X表示走出迷宫所需的时间．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
解：(1)X的所有可能取值为1,3,4,6.
P(X＝1)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝6)＝，所以X的分布列为
X
1
3
4
6
P
(2)E(X)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
18．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？
解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.
则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50因此，此次参赛学生的总数约为526人．
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．
19．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为，，.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y的分布列．
解：(1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝，
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)根据题意知得分Y＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，
∵X的可能取值为0,1,2,3.
∴Y的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为
P(Y＝6)＝P(X＝0)＝，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝12)＝P(X＝2)＝，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝.
∴随机变量Y的分布列为
Y
6
9
12
15
P
20．(本小题满分12分)
为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高绘成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
解： (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2(人)，“非高个子”有18×＝3(人)．
用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝.因此，至少有1人是“高个子”的概率是.
(2)由茎叶图知，“女高个子”有4人，“男高个子”有8人．依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
p(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
21．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”．
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1－＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件．
因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P
X2
0
3
6
P
所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
22．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
(1)求该海产品不能销售的概率；
(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E(ξ)．
解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A，
则P(A)＝1－×＝.
所以，该海产品不能销售的概率为.
(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.
P(ξ＝－320)＝4＝，
P(ξ＝－200)＝C×3×＝，
P(ξ＝－80)＝C×2×2＝，
P(ξ＝40)＝C××3＝，
P(ξ＝160)＝4＝.
所以ξ的分布列为
ξ
－320
－200
－80
40
160
P
E(ξ)＝－320×－200×－80×＋40×＋160×＝40.
