第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P2～P10的内容，回答下列问题．
(1)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
①在该问题中，给教室里的座位编号有几类不同的方案？每类方案各有多少种不同的方法？
提示：共有两类不同的方案，其中用一个大写的英文字母编号有26种方法；用一个阿拉伯数字编号有10种方法．
②给教室里的座位编号的方法总数，如何计算？
提示：26＋10＝36种．
③在该问题中，两类不同方案中的方法相同吗？
提示：互不相同．
(2)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
①该问题与问题(1)有什么不同？
提示：在问题(1)中，用26个英文字母中的任何一个或10个阿拉伯数字中的任何一个，都可以给出一个座位号码．而在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，得到一个号码必须经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．
②你能列出所有可能的号码吗？共有多少个？
提示：以字母A开头的编号有A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9.同理，以B，C，D，E，F开头的编号也分别有9种，故共有6×9＝54个不同的编号．
2．归纳总结，核心必记
(1)分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
(3)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
①分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；
②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
[问题思考]
(1)如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法．那么完成这件事共有多少种不同的方法？
提示：共有m1＋m2＋m3种不同的方法．
(2)在分步乘法计数原理中，第1步采用的方法与第2步采用的方法之间有影响吗？
提示：无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取．
(3)如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
提示：完成这件事共有m1×m2×m3种不同的方法．
[课前反思]
(1)分类加法计数原理的内容是什么？
；
(2)分步乘法计数原理的内容是什么？
；
(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别是什么？
.
知识点1
分类加法计数原理的应用
[思考] 若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？
名师指津：共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法．
?讲一讲
1．某校高三共有三个班，其各班人数如下表
班级
男生数
女生数
总数
高三1班
30
20
50
高三2班
30
30
60
高三3班
35
20
55
(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[尝试解答] (1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第一类，从1班任选一名学生，有50种不同选法；
第二类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；
第三类，从3班任选一名学生，有55种不同选法．
由分类加法计数原理知，不同的选法种数为
N＝50＋60＋55＝165.
(2)由题设知共有三类方案：
第一类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第二类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第三类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法．
由分类加法计数原理知，不同的选法种数为
N＝30＋30＋20＝80.
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(1)能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点：
①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；
②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；
③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
(2)用分类加法计数原理解题应注意以下问题：
①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事；
②分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉；
③若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空集，n类的并集为全集．
?练一练
1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
解析：选B 当a＝0时， 方程化为2x＋b＝0，解得x＝－，有序数对(0，b)有4个；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，得ab≤1，有序数对(－1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个．综上共有4＋4＋3＋2＝13(个)．
2．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有7位同学只会用综合法证明，有5位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为________．
解析：由分类加法计数原理可得，有7＋5＝12种不同的选法．
答案：12
3．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．
解析：任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：
第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；
第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法．
由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．
答案：8
知识点2
分步乘法计数原理的应用
[思考] 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
名师指津：共有m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．
?讲一讲
2．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点．问：
(1)点P可表示平面上多少个不同的点？
(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？
[尝试解答] (1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果；第2步确定b的值，也有6种不同的结果．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36.
(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同的结果；第2步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同的结果．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6.
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(1)能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：
①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
②完成每一步都有若干种方法；
③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
(2)利用分步乘法计数原理应注意：
①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
②“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉；
③若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．
?练一练
4．在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值，则不同的点P有________个．
解析：确定点P的坐标分两步，即分布确定点P的横坐标与纵坐标．
第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；
第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法．
根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.
答案：16
5．人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有________个．
解析：第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法．故共有8×8×7＝448个不同的“吉祥数”．
答案：448
6．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共________个，其中不同的偶函数有________个．(用数字作答)
解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3×3×2＝18.其中不同的偶函数(b＝0)的个数为1×3×2＝6.
答案：18 6
知识点3
两个计数原理的综合应用
[思考] 如何区分一个问题是“分类”还是 “分步”？
名师指津：如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．
?讲一讲
3．(链接教材P5－例3)王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．
(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？
[思路点拨] 解决两个计数原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法完成后，是否完成整件事，从而区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
[尝试解答] (1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种不同的带法．
(2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种不同的带法．
(3)选1本外语书和1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种不同的带法．
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对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．
?练一练
7．集合A＝{1,2－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标．
(1)可以得到多少个不同的点？
(2)这些点中，位于第一象限的有几个？
解：(1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点．
(2)第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8个不同的点．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————
1．本节课的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，难点是两个计数原理的灵活应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)用分类加法计数原理解决有关问题，见讲1；
(2)用分步乘法计数原理解决有关问题，见讲2；
(3)灵活运用两个计数原理解决与之有关的综合问题，见讲3.
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每一类办法都能独立地完成这件事
只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏”
各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”
联系
两个原理都可用来计算完成某件事的方法种数，最终目的都是完成某件事
课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 分类加法计数原理的应用
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )
A．13 B．16 C．24 D．48
解析：选A 由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8＋2＋3＝13.
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16 C．13 D．10
解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．
3．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车，每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．
解析：利用分类加法计数原理，共有2＋4＋10＝16种方法．
答案：16
4．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．
解析：因为焦点在y轴上，所以0＜m＜n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20.
答案：20
5．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.
法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.
题组2 分步乘法计数原理的应用
6．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为( )
A．8 B．6 C．5 D．3
解析：选B 从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.
7．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A．8本 B．9本 C．12本 D．18本
解析：选D 完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.
8．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( )
A．9 B．1 C．24 D．3
解析：选C 完成从A地到B地这件事情共分三步．第一步，从A地到C地；第二步，从C地到D地；第三步，从D地到B地；符合分步乘法计数原理，共有3×2×4＝24种不同的走法．
9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．
解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．
答案：42
10．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？
解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：
第一步，配一个荤菜有6种选择；
第二步，配一个素菜有5种选择；
第三步，配一个汤有3种选择．
根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90种不同的套餐．
题组3 两个计数原理的综合应用
11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．
有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．
有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
12．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．
(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)
第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
[能力提升综合练]
1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种 B．36种
C．54种 D．81种
解析：选C 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，故选C.
2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A．96种 B．24种
C．120种 D．12种
解析：选A 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．
3．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为( )
A．7 B．12
C．81 D．64
解析：选D 第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.
4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
解析：选D 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．
5．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )
A．34 B．43
C．12 D．以上都不对
解析：选C 由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．
6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多1张，则所有分法的种数是________．
解析：第一步，分第1张电影票，有10种分法；第二步，分第2张电影票，有9种分法；第三步，分第3张电影票，有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
答案：720
7．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：
(1)有多少个不同的数对？
(2)其中m>n的数对有多少个？
解：(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．
(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3，有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．
8．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．
(3)分为三类：第一类，一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；
第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；
第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．
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[学业水平达标练]
题组1 分类加法计数原理的应用
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )
A．13 B．16 C．24 D．48
解析：选A 由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8＋2＋3＝13.
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16 C．13 D．10
解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．
3．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车，每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．
解析：利用分类加法计数原理，共有2＋4＋10＝16种方法．
答案：16
4．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．
解析：因为焦点在y轴上，所以0＜m＜n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20.
答案：20
5．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.
法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.
题组2 分步乘法计数原理的应用
6．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为( )
A．8 B．6 C．5 D．3
解析：选B 从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.
7．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A．8本 B．9本 C．12本 D．18本
解析：选D 完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.
8．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( )
A．9 B．1 C．24 D．3
解析：选C 完成从A地到B地这件事情共分三步．第一步，从A地到C地；第二步，从C地到D地；第三步，从D地到B地；符合分步乘法计数原理，共有3×2×4＝24种不同的走法．
9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．
解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．
答案：42
10．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？
解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：
第一步，配一个荤菜有6种选择；
第二步，配一个素菜有5种选择；
第三步，配一个汤有3种选择．
根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90种不同的套餐．
题组3 两个计数原理的综合应用
11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．
有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．
有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
12．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．
(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)
第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
[能力提升综合练]
1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种 B．36种
C．54种 D．81种
解析：选C 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，故选C.
2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A．96种 B．24种
C．120种 D．12种
解析：选A 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．
3．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为( )
A．7 B．12
C．81 D．64
解析：选D 第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.
4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
解析：选D 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．
5．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )
A．34 B．43
C．12 D．以上都不对
解析：选C 由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．
6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多1张，则所有分法的种数是________．
解析：第一步，分第1张电影票，有10种分法；第二步，分第2张电影票，有9种分法；第三步，分第3张电影票，有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
答案：720
7．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：
(1)有多少个不同的数对？
(2)其中m>n的数对有多少个？
解：(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．
(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3，有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．
8．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．
(3)分为三类：第一类，一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；
第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；
第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．
