第1课时 排列与排列数公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P14～P20的内容，回答下列问题．
(1)在教材P14－问题1中选出参加活动的2名同学与顺序有关吗？如果将问题改为“从甲、乙、丙3名同学中选出2名一起参加某项活动”，这与原问题还相同吗？
提示：问题1中选出参加活动的2名同学，一名参加上午的活动，一名参加下午的活动，与顺序有关；而改编后的问题中的2名同学与顺序无关．
(2)教材P15－问题2中选出的3个不同数字，排成一个三位数，与数字的顺序有关吗？
提示：有关．
2．归纳总结，核心必记
(1)排列
①一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
②两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
(2)排列数
①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示；
②排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
特别地，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，(m，n∈N*，且m≤n)，0！＝1.
[问题思考]
(1)北京—上海，上海—北京的车票是同一个排列吗？
提示：由于北京—上海、上海—北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列．
(2)你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？
提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．
[课前反思]
(1)排列的定义是什么？
；
(2)排列数公式是什么？
；
(3)“排列”与“排列数”有什么区别？
.
[思考] 如何判断一个问题是否为排列问题？
名师指津：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
?讲一讲
1．判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．
(1)从1,2,3，…，10这10个正整数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？
(2)从1,2,3，…，10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同的集合？
(3)从1,2,3，…，10这10个正整数中任取两个数组成一个数列，可以得到多少个不同的数列？
[尝试解答] (1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
对于(1)，取出的两个数组成直角坐标平面内的点的坐标与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题．
对于(2)，取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素与顺序无关，所以这不是排列问题．
对于(3)，取出的两个数组成一个数列与以哪一个数为这个数列的第一项，哪一个数为第二项的顺序有关，所以这是排列问题．
——————————————————————————————
判断一个事件是否与顺序有关的方法：通过“变换元素的位置”进行判断，若变换后结果有变化，则表明该事件与顺序有关；若结果无变化，则表明该事件与顺序无关．
?练一练
1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．
(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；
(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；
(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；
(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；
(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四个空位中的三个．
解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．
(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．
(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．
(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序不同而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数不同而商的结果相同的可能，故是排列．
(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生.
知识点2
利用排列数公式进行计算或证明
?讲一讲
2．(1)不等式A<6A的解集为( )
A．[2,8] B．[2,6]
C．(7,12) D．{8}
(2)计算：A＝________.
(3)化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！＝________.
[尝试解答] (1)由A<6A，得<6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7∴7∵x∈N*，∴x＝8.
(2)A＝15×14×13＝2 730.
(3)∵n×n！＝[(n＋1)－1]×n！＝(n＋1)！－n！，
∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.
答案：(1)D (2)2 730 (3)(n＋1)！－1
———————————————————————————————
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点；
(2)排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的运用．
?练一练
2．若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是( )
A．3 B．8
C．0 D．5
解析：选A ∵当n≥5时，
A＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，
∴当n≥5时A的个位数字为0，
又∵A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，
∴M的个位数字为3.
3．求证：A＋mA＝A.
证明：A＋mA＝＋
＝＝
＝＝A.
知识点3
简单的排列问题
?讲一讲
3．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
[思路点拨] 可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式．
[尝试解答] (1)法一：把1,2,3,4中任意一个数字排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置排好后，第二个位置上的数字就有3种排法．
由题意作树形图，如下．
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．
法二：从4个数字中任取2个，其排列个数为A＝4×3＝12.
(2)法一：由题意作树形图，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.共有24种排法．
法二：从4个元素a，b，c，d中任取3个元素，共有A＝4×3×2＝24种排法．
———————————————————————————
对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用字典排序法或树形图或框图法，树形图是把同一元素为首的若干排列按一定的顺序一一写出来，为了省略前面与上一行相同的元素而画出的像树枝一样的图形，利用树形图具体地列出各种情形，可避免排列的重复或遗漏．
?练一练
4．某博物馆计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方法有________种．
解析：4幅油画有A＝24种不同的排法，5幅国画有A＝120种不同的排法，水彩画放在油画和国画之间，则有24×120×2＝5 760种不同的陈列方法．
答案：5 760
5．有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有________种不同的送法．
解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同的元素中，没有重复地取出3个元素，按甲、乙、丙(3名同学)的顺序排成一列，所以共有A＝7×6×5＝210种不同的送法．
答案：210
——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————
1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)对排列概念的理解，见讲1；
(2)利用排列数公式进行计算或证明，见讲2；
(3)简单排列问题的解决方法，见讲3.
3．本节课的易错点是利用排列数公式A解决问题时，易忽视条件m≤n，且m∈N*，n∈N*.
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 排列概念的理解
1．下列问题是排列问题的是( )
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
解析：选B 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.
2．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B 排列与顺序有关，故②④⑤是排列．
题组2 利用排列数公式进行计算或证明
3．已知A＝132，则n等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：选B A＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，
解得n＝12或n＝－11(舍去)．
4．A－A的值是( )
A．480 B．520
C．600 D．1 320
解析：选C A＝12×11×10＝1 320，
A＝10×9×8＝720，
故A－A＝1 320－720＝600.
5．下列等式中不成立的是( )
A．A＝(n－2)A B.A＝A
C．nA＝A D.A＝A
解析：选B A中，右边＝(n－2)(n－1)n＝A成立；C中，左边＝n×(n－1)×…×2＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝A成立；D中，左边＝×＝＝A成立；经验证只有B不正确．
6．解不等式3A＜4A.
解：由排列数的意义得：即n≤8，且n∈N*，
由排列数公式得3·＜4·，
即3·＜4·，
亦即，3＜，所以n2－19n＋78＜0，
解得6＜n＜13，故6＜n≤8，所以n＝7或8，
所以原不等式的解集为{7,8}．
题组3 简单的排列问题
7．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )
A．180种 B．360种 C．15种 D．30种
解析：选B 问题为6选4的排列即A＝360.
8．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数是( )
A．12 B．24 C．36 D．48
解析：选D 从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种，由分步乘法计数原理知组成无重复数字的四位偶数的个数为2×A＝48.
9．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票的种数为( )
A．15 B．30 C．12 D．36
解析：选B 只需分析每两个大站之间需要的火车票的种数即可．对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，所以问题归结为求从6个不同元素中每次抽出2个不同元素的排列数，故不同的火车票有A＝6×5＝30(种)．
10．将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．
解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类．
由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
11．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？
解：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号种数为A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15.
[能力提升综合练]
1．89×90×91×…×100可表示为( )
A．A B．A C．A D．A
解析：选C 最大数为100，共有12个连续整数的乘积，由排列数公式的定义可以得出．
2．与A·A不相等的是( )
A．A B．81A C．10A D．A
解析：选B A·A＝10×9×8×7！＝A＝10A＝A，81A＝9A≠A，故选B.
3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
解析：选B ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种)．
4．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
解析：选C 由题意知可按十位数字的取值进行分类：
第一类，十位数字取9，有A个；
第二类，十位数字取6，有A个；
第三类，十位数字取5，有A个；
第四类，十位数字取4，有A个．
所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40.故选C.
5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．
解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是AA；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是AA.故所求的四位数的个数是A＋AA＋AA＝280.
答案：280
6.有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
解析：将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种)．
答案：60
7．有三张卡片，正面分别写着1,2,3三个数字，反面分别写着0,5,6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？
解：先排列三张卡片，有A×2×2×2种排法，0排在首位的个数为A×2×2，则这三张卡片可以组成A×2×2×2－A×2×2＝40个三位数．
8．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．
(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？
(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？
解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A＝16×15＝240.
(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A×2＋1＝8×7×2＋1＝113.
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[学业水平达标练]
题组1 排列概念的理解
1．下列问题是排列问题的是( )
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
解析：选B 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.
2．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B 排列与顺序有关，故②④⑤是排列．
题组2 利用排列数公式进行计算或证明
3．已知A＝132，则n等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：选B A＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，
解得n＝12或n＝－11(舍去)．
4．A－A的值是( )
A．480 B．520
C．600 D．1 320
解析：选C A＝12×11×10＝1 320，
A＝10×9×8＝720，
故A－A＝1 320－720＝600.
5．下列等式中不成立的是( )
A．A＝(n－2)A B.A＝A
C．nA＝A D.A＝A
解析：选B A中，右边＝(n－2)(n－1)n＝A成立；C中，左边＝n×(n－1)×…×2＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝A成立；D中，左边＝×＝＝A成立；经验证只有B不正确．
6．解不等式3A＜4A.
解：由排列数的意义得：即n≤8，且n∈N*，
由排列数公式得3·＜4·，
即3·＜4·，
亦即，3＜，所以n2－19n＋78＜0，
解得6＜n＜13，故6＜n≤8，所以n＝7或8，
所以原不等式的解集为{7,8}．
题组3 简单的排列问题
7．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )
A．180种 B．360种 C．15种 D．30种
解析：选B 问题为6选4的排列即A＝360.
8．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数是( )
A．12 B．24 C．36 D．48
解析：选D 从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种，由分步乘法计数原理知组成无重复数字的四位偶数的个数为2×A＝48.
9．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票的种数为( )
A．15 B．30 C．12 D．36
解析：选B 只需分析每两个大站之间需要的火车票的种数即可．对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，所以问题归结为求从6个不同元素中每次抽出2个不同元素的排列数，故不同的火车票有A＝6×5＝30(种)．
10．将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．
解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类．
由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
11．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？
解：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号种数为A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15.
[能力提升综合练]
1．89×90×91×…×100可表示为( )
A．A B．A C．A D．A
解析：选C 最大数为100，共有12个连续整数的乘积，由排列数公式的定义可以得出．
2．与A·A不相等的是( )
A．A B．81A C．10A D．A
解析：选B A·A＝10×9×8×7！＝A＝10A＝A，81A＝9A≠A，故选B.
3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
解析：选B ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种)．
4．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
解析：选C 由题意知可按十位数字的取值进行分类：
第一类，十位数字取9，有A个；
第二类，十位数字取6，有A个；
第三类，十位数字取5，有A个；
第四类，十位数字取4，有A个．
所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40.故选C.
5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．
解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是AA；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是AA.故所求的四位数的个数是A＋AA＋AA＝280.
答案：280
6.有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
解析：将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种)．
答案：60
7．有三张卡片，正面分别写着1,2,3三个数字，反面分别写着0,5,6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？
解：先排列三张卡片，有A×2×2×2种排法，0排在首位的个数为A×2×2，则这三张卡片可以组成A×2×2×2－A×2×2＝40个三位数．
8．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．
(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？
(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？
解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A＝16×15＝240.
(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A×2＋1＝8×7×2＋1＝113.
