第2课时 排列的应用(习题课)
知识点1
数字排列问题
?讲一讲
1．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？
(1)六位数且是奇数；
(2)个位上的数字不是5的六位数；
(3)不大于4 310的四位数且是偶数．
[尝试解答] (1)法一：从特殊位置入手(直接法)：
第一步，排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A种排法；
第二步，排十万位，有A种排法；
第三步，排其他位，有A种排法．
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288个数．
法二：从特殊元素入手(直接法)：
0不在两端有A种排法；
从1,3,5中任选一个排在个位上，有A种排法；
其他数字全排列有A种排法．
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288个数．
法三：①从整体上排除：6个数字的全排列数为A，0,2,4在个位上的排列数为3A，而1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数为3A，故符合题意的六位奇数共有A－3A－3A＝288个数．
②从局部上排除：1在个位上的排列有A个，其中0在十万位上的排列有A个，故1在个位上的六位奇数有(A－A)个，同理，3,5在个位上的六位奇数也各有(A－A)个，因此符合题意的六位奇数共有3(A－A)＝288个数．
(2)法一：(排除法)
6个数字的全排列有A个，
0在十万位上的排列有A个，5在个位上的排列有A个，0在十万位上且5在个位上的排列有A个，
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个数．
法二：(直接法)
个位上不排5，有A种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：
第一类，当个位上排0时，有A种排法；
第二类，当个位上不排0时，有A·A·A种排法．
故符合题意的六位数共有A＋A·A·A＝504个．
(3)法一：(直接法)
①当千位上排1,3时，有A·A·A种排法．
②当千位上排2时，有A·A种排法．
③当千位上排4时，形如40□□，42□□的各有A种排法，形如41□□的有A·A种排法，形如43□□的只有4 310和4 302这2个数．
故共有A·A·A＋A·A＋2A＋A·A＋2＝110个符合条件的四位偶数．
法二：(排除法)
四位偶数中：①0在个位的有A个．
②0在十位和百位的有A·A·A个．
③不含0的有A·A个．
故四位偶数有A＋A·A·A＋A·A＝156个．
其中形如5□□□的有A·A个，形如45□□的有A·A个，形如435□的有A个，形如432□的有1个，形如431□而大于4310的只有4312这1个数，故大于4 310的四位偶数共有A·A＋A·A＋A＋1＋1＝46个数，因此符合题意的四位偶数共有156－46＝110个数．
(1)数字的排列是一类典型的排列问题，往往涉及排列特殊数，如奇数，被5整除的数等．需要注意以下几个问题：
①首位数字不为0；
②若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；
③若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；
④此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．
(2)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法为直接分步法；也可以按特殊元素当选情况(或特殊位置元素的情况)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法为直接分类法；还可以先不考虑特殊元素(或位置)，而求出所有元素的全排列数，再从中减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数．即先全体后排除，此方法为间接法(排除法)．
?练一练
1．用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：
(1)五位奇数；
(2)大于30 000的五位偶数．
解：(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理得共有5×8×A＝13 440个没有重复数字的五位奇数．
(2)要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A种取法．所以共有2×7×A种不同情况．
②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A种取法，所以共有3×6×A种不同的情况．
由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A＋3×6×A＝10 752(个).
知识点2
排队问题
?讲一讲
2．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队拍照，求不同的排队方案的方法种数．
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男、女生各站在一起；
(5)全体站成一排，男生必须站在一起；
(6)全体站成一排，男生不能站在一起；
(7)全体站成一排，男、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人．
[尝试解答] (1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A种方法，再考虑其余6人的位置，有A种方法．
故有A·A＝2 160种方法．
(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置，有A种方法，再安排其余5人的位置，有A种方法．
故有A·A＝240种方法．
(3)法一：(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类：
第一类，甲在最右端，有A种方法；
第二类，甲不在最右端，甲有A个位置可选，乙也有A个位置可选，其余5人有A种排法，即A·A·A种方法．故有A＋A·A·A＝3 720种方法．
法二：(间接法)无限制条件的排列方法共有A种，
而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有A种，
甲在最左端且乙在最右端的排法有A种．
故有A－2A＋A＝3 720种方法．
法三：(特殊元素优先法)按最左端先安排分步．
对于最左端、除甲外有A种排法，余下六个位置全排列有A种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有A·A种．
故有A·A－A·A＝3 720种方法．
(4)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看成一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知共有A·A·A＝288种排法．
(5)(捆绑法)把所有男生看成一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720种不同的排法．
(6)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，
把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，
故有A·A＝1 440种不同的排法．
(7)对比(6)，让女生插空，有A·A＝144种不同的排法．
(8)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，
故有A·A·A＝960种不同的排法．
(9)直接分步完成，共有A·A＝5 040种不同的排法．
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排队问题的解答策略
(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法；
(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；
(3)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”；
(4)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．
?练一练
2．(1)7名同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(2)7名同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)7名同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解：(1)第一步，安排除了甲之外没有特殊要求的6名同学，其为全排列，其排法数为A＝720；
第二步，安排甲，甲只能在已经排好的6名同学的正中间，其排法只有1种．
根据分步乘法计数原理知，共有720×1＝720种不同的排法．
(2)第一步，先排甲、乙，这2名同学只能排在两端，其排法有A种；
第二步，将余下的5名同学进行全排列，有A种排法．
根据分步乘法计数原理知，共有A·A＝240种排法．
(3)法一(直接法)：第一步，从除去甲、乙外的其余5名同学中选2名同学站在排头和排尾，有A种排法；
第二步，余下的5名同学进行全排列，有A种排法．
所以一共有A·A＝2 400种排法．
法二(间接法)：若甲站在排头或排尾，有2A种方法，若乙站在排头或排尾，有2A种排法，若甲站在排头且乙站在排尾，有A种排法，若甲站在排尾且乙站在排头，有A种排法，所以甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有A－2A－2A＋A＋A＝2 400(种)．
法三(直接法)：第一步，对除去甲、乙以外的5名同学进行全排列，有A种排法；
第二步，把甲安排到已排好的5人队伍中，但不能安排到排头和排尾，有A种排法；
第三步，把乙安排到已排好的6人队伍中，但不能安排到排头和排尾，有A种排法．
根据分步乘法计数原理，总的排法有A·A·A＝2 400(种)．
知识点3
排列中的定序问题
?讲一讲
3．五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种．
(1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)；
(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻)．
[尝试解答] (1)首先五个人站成一排，共有A种排法，其中A，B，C三人的全排列有A种排法，而A，B，C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共＝20(种)．
(2)同(1)，不过此题中A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共＝30(种)．
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在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
?练一练
3．7人排成一列，甲必须在乙的后面(可以不相邻)，有________种不同的排法．
解析：7人排队，2人顺序固定，∴共有＝＝2 520种不同的排法．
答案：2 520
4．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
解析：若1,3,5,7的顺序不定，有A＝24种排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的，
故有A＝210个七位数符合条件．
答案：210
———————————————[课堂归纳·感悟提升]———————
1．本节课的重点是排列中的数字问题、排队问题以及定序问题，其中数字问题是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法：
(1)数字排列问题的解决方法，见讲1；
(2)排队问题的解决方法，见讲2；
(3)排列中的定序问题，见讲3.
3．“排队”问题与“排数”问题类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况较复杂时，可以用间接法．
注意分类时不重不漏，分步要连续独立；间接法要注意不符合条件的情形．
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 数字排列问题
1．用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( )
A．48个 B．64个
C．72个 D．90个
解析：选C 有AA＝72个无重复数字的五位偶数．
2．用0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数为________．
解析：因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其个数为A＝6.
答案：6
3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？
解：(1)法一(直接法)：A·A＝300(个)．
法二(间接法)：A－A＝300(个)．
(2)法一(直接法)：因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有A·A·A，故有A＋A·A·A＝156个不同的四位偶数．
法二：(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A·A个，其中第一位是0的有A·A个．
故适合题意的有A·A－AA＝156个不同的四位偶数．
(3)1在首位的数的个数为A＝60.
2在首位且0在第二位的数的个数为A＝12.
2在首位且1在第二位的数的个数为A＝12.
以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.
题组2 排队问题
4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：选C 利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A(A)3＝(3！)4.
5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的种数为( )
A．A B．AA
C．AA D．A
解析：选B 因为4名女生要排在一起，所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列，然后再将4名女生排列，共有AA种排法．
6．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有( )
A．120种 B．240种
C．360种 D．480种
解析：选D 由于甲、乙两人不相邻，故应先将剩余4人全排列，然后将甲、乙分别插入4人排列后的5个空中，故共有AA＝4×3×2×1×5×4＝480种排法．
7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有________种．
解析：先将5名志愿者排好，有A种排法，再将2位老人“捆绑”起来插入中间的间隔，有A·A种排法，由分步乘法计数原理知，共有A×AA＝960种排法．
答案：960
8．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起留照合影(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法种数为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．
(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；
第2步，让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．
题组3 排列中的定序问题
9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
解析：选A 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A种安排方法；甲排周二，乙、丙有A种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A＋A＋A＝20种不同的安排方法．
10．A，B，C，D，E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，则不同的排法共有________种．
解析：由于B在A的左边与B在A的右边的机会均等，故B站在A的右边的排法有×A＝×5×4×3×2×1＝60(种)．
答案：60
[能力提升综合练]
1．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有( )
A．240种 B．600种
C．408种 D．480种
解析：选D 将四个排成一排共有A种排法，产生5个空位，将五个空位和一个空位构成的两个元素插入共A种方法．由分步乘法计数原理满足条件的共A·A＝480种坐法．
2．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的a和b，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为( )
A．43 B．72
C．863 D．90
解析：选B 在1,2,3，…，8中任取两个作为a和b，共有A＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有AA＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56＋16＝72.
3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．24种 B．96种
C．120种 D．144种
解析：选B 先安排程序A，从第一步或最后一步选一个，有A种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有A种，最后B，C排序，有A种，故共有AAA＝96种．
4．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名(没有并列名次)．已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有( )
A．27种 B．48种
C．54种 D．72种
解析：选C 由题意，知乙的限制最多，故先排乙，有3种排法；再排甲，也有3种排法；余下3人有A种排法．故共有3×3×A＝54种不同的排法，故选C.
5．5位同学排队演出，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在第一位，则排法种数为________．
解析：若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，有2×3×A＝36种排法；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，有2×A×A＝24种排法．故所有的排法种数为36＋24＝60.
答案：60
6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________．
解析：将3,4两个数全排列，有A种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的数的个数为A(A＋A·A)＝36.
答案：36
7．七名班委中有A，B，C三人，有七种不同的职务，现对七名班委进行职务具体分工．
(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
解：(1)先排正、副班长有A种方案，再安排其余职务有A种方案，依分步乘法计数原理知，共有AA＝720种分工方案．
(2)七人中任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有A－AA＝3 600(种)．
8．5男5女共10名同学排成一行．
(1)女生都排在一起，有几种排法？
(2)女生与男生相间，有几种排法？
(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？
(4)5名男生不排在一起，有几种排法？
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
解：(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A种排法．又5名女生内部有A种排法．
所以共有A·A＝86 400种排法．
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A·A＝28 800种排法．
(3)女生先排，女生之间及首尾共有6个空．任取其中5个安插男生即可，因而任何男生都不相邻共有A·A＝86 400种排法．
(4)直接分类较复杂，可用间接法．即从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为A－AA＝3 542 400.
(5)先安排2个女生排在男生甲、乙之间，有A种方法；又甲、乙之间还有A种排法. 这样就有A·A种排法．然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，再从这一元素及另3名男生中，任选2人排在首尾，有A种排法．最后再将余下的2名“男生”、3名女生排在中间，有A种排法．故总排法数为AAAA＝57 600.
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[学业水平达标练]
题组1 数字排列问题
1．用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( )
A．48个 B．64个
C．72个 D．90个
解析：选C 有AA＝72个无重复数字的五位偶数．
2．用0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数为________．
解析：因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其个数为A＝6.
答案：6
3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？
解：(1)法一(直接法)：A·A＝300(个)．
法二(间接法)：A－A＝300(个)．
(2)法一(直接法)：因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有A·A·A，故有A＋A·A·A＝156个不同的四位偶数．
法二：(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A·A个，其中第一位是0的有A·A个．
故适合题意的有A·A－AA＝156个不同的四位偶数．
(3)1在首位的数的个数为A＝60.
2在首位且0在第二位的数的个数为A＝12.
2在首位且1在第二位的数的个数为A＝12.
以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.
题组2 排队问题
4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：选C 利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A(A)3＝(3！)4.
5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的种数为( )
A．A B．AA
C．AA D．A
解析：选B 因为4名女生要排在一起，所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列，然后再将4名女生排列，共有AA种排法．
6．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有( )
A．120种 B．240种
C．360种 D．480种
解析：选D 由于甲、乙两人不相邻，故应先将剩余4人全排列，然后将甲、乙分别插入4人排列后的5个空中，故共有AA＝4×3×2×1×5×4＝480种排法．
7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有________种．
解析：先将5名志愿者排好，有A种排法，再将2位老人“捆绑”起来插入中间的间隔，有A·A种排法，由分步乘法计数原理知，共有A×AA＝960种排法．
答案：960
8．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起留照合影(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法种数为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．
(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；
第2步，让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．
题组3 排列中的定序问题
9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
解析：选A 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A种安排方法；甲排周二，乙、丙有A种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A＋A＋A＝20种不同的安排方法．
10．A，B，C，D，E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，则不同的排法共有________种．
解析：由于B在A的左边与B在A的右边的机会均等，故B站在A的右边的排法有×A＝×5×4×3×2×1＝60(种)．
答案：60
[能力提升综合练]
1．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有( )
A．240种 B．600种
C．408种 D．480种
解析：选D 将四个排成一排共有A种排法，产生5个空位，将五个空位和一个空位构成的两个元素插入共A种方法．由分步乘法计数原理满足条件的共A·A＝480种坐法．
2．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的a和b，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为( )
A．43 B．72
C．863 D．90
解析：选B 在1,2,3，…，8中任取两个作为a和b，共有A＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有AA＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56＋16＝72.
3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．24种 B．96种
C．120种 D．144种
解析：选B 先安排程序A，从第一步或最后一步选一个，有A种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有A种，最后B，C排序，有A种，故共有AAA＝96种．
4．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名(没有并列名次)．已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有( )
A．27种 B．48种
C．54种 D．72种
解析：选C 由题意，知乙的限制最多，故先排乙，有3种排法；再排甲，也有3种排法；余下3人有A种排法．故共有3×3×A＝54种不同的排法，故选C.
5．5位同学排队演出，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在第一位，则排法种数为________．
解析：若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，有2×3×A＝36种排法；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，有2×A×A＝24种排法．故所有的排法种数为36＋24＝60.
答案：60
6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________．
解析：将3,4两个数全排列，有A种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的数的个数为A(A＋A·A)＝36.
答案：36
7．七名班委中有A，B，C三人，有七种不同的职务，现对七名班委进行职务具体分工．
(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
解：(1)先排正、副班长有A种方案，再安排其余职务有A种方案，依分步乘法计数原理知，共有AA＝720种分工方案．
(2)七人中任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有A－AA＝3 600(种)．
8．5男5女共10名同学排成一行．
(1)女生都排在一起，有几种排法？
(2)女生与男生相间，有几种排法？
(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？
(4)5名男生不排在一起，有几种排法？
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
解：(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A种排法．又5名女生内部有A种排法．
所以共有A·A＝86 400种排法．
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A·A＝28 800种排法．
(3)女生先排，女生之间及首尾共有6个空．任取其中5个安插男生即可，因而任何男生都不相邻共有A·A＝86 400种排法．
(4)直接分类较复杂，可用间接法．即从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为A－AA＝3 542 400.
(5)先安排2个女生排在男生甲、乙之间，有A种方法；又甲、乙之间还有A种排法. 这样就有A·A种排法．然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，再从这一元素及另3名男生中，任选2人排在首尾，有A种排法．最后再将余下的2名“男生”、3名女生排在中间，有A种排法．故总排法数为AAAA＝57 600.
