第4课时 组合的应用(习题课)
知识点1
有限制条件的组合问题
?讲一讲
1．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[尝试解答] (1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有
C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．
法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：
C－C·C－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．
——————————————————————————
(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”、“至多”、“含”、“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步；
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
?练一练
1．有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出比赛，按下列要求求各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)至少有1名队长参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
解：(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法．
第二步：选2名女运动员，有C种选法．
所以共有C·C＝120种选法．
(2)法一(直接法)：至少有1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得共有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选法．
法二(间接法)：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C(种)．
所以“至少有1名女运动员”的选法为C－C＝246(种)．
(3)法一(直接法)：可分类求解．
“只有男队长”的选法为C；
“只有女队长”的选法为C；
“男、女队长都入选”的选法为C.
所以共有2C＋C＝196(种)选法．
法二(间接法)：从10人中任选5人有C种选法，
其中不选队长的方法有C种，所以“至少有1名队长”的选法为C－C＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C－C(种)．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种).
知识点2
分组(分配)问题
?讲一讲
2．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分为三份，每份2本；
(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本．
[尝试解答] (1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；
所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90种分法．
(2)可以分两步完成：
第1步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；
第2步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．
根据(1)的结论和分步乘法计数原理得到CCC＝xA，所以x＝＝15.
因此分为三份，每份2本，一共有15种分法．
(3)这是“不均匀分组”问题，按照(1)的方法得到一共有CCC＝6×(5×2)×1＝60种分法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种分法．
—————————————————————————————————
(1)组合应用题中分配问题的常见形式及处理方法如下表所示：
常见形式
处理方法
非均匀不
编号分组
n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)
均匀不编
号分组
将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为(其中A为非均匀不编号分组中的分法数)．如果再有k组均匀组应再除以A
非均匀编
号分组
n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A·A
均匀编
号分组
n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为·A
(2)分配问题的处理途径．
将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题．分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则．
?练一练
2．将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)每盒至多一球，有多少种放法？
(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
解：(1)这是全排列问题，共有A＝24种放法．
(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C·2＝8种放法．
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12种放法．
(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286种放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球．
知识点3
排列、组合的综合问题
?讲一讲
3．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
[尝试解答] (1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·A＝A(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680(种)．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现．所以共有不同测试方法C·(C·C)A＝576(种)．
——————————————————————————————
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．
?练一练
3．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共(CC＋CC)·A＝5 400种选法．
(2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840种选法．
(3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3 360种选法．
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种选法．
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是有限制条件的组合问题、分组(分配)问题以及排列、组合的综合问题，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有限制条件的组合问题的解法，见讲1；
(2)分组(分配)问题的求法，见讲2；
(3)排列、组合的综合问题的解法，见讲3.
3．本节课的易错点是平均分组问题．
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 有限制条件的组合问题
1．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )
A．15 B．45
C．60 D．75
解析：选C 从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目共有CC＝90种不同的选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有CC＝30(种)，所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是90－30＝60.
2．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有( )
A．1 050种 B．700种
C．350种 D．200种
解析：选C 分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．
所以有CC＋CC＝350种不同的选购方法．
3．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选2种荤菜、2种素菜和白米饭；(2)任选1种荤菜、2种素菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数为( )
A．210 B．420
C．56 D．22
解析：选A 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法总数为CC＋CC＝210(种)．
4．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)
解析：分两类，一类是选A，B，C中的一门，则有CC种选法；另一类是不选A，B，C，则有C种选法，故共有C＋CC＝75种不同的选修方案．
答案：75
5．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．
解：(1)C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C种选法，共有CC＝378种不同的选法．
(5)法一(直接法)可分为三类：
第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种不同的选法；
第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种不同的选法；
第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有CC种不同的选法；
共有CC＋CC＋CC＝666种不同的选法．
法二：(间接法)12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人不能参加的有C种，所以共有C－C＝666种不同的选法．
题组2 分组(分配)问题
6．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有( )
A．CC B．AA
C. D．AAA
解析：选C 此题为平均分组问题，有种分法．
7．为调查某商品当前的市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案有( )
A．90种 B．180种
C．30种 D．15种
解析：选A 将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，有种不同的分法，再将其分到三个不同地区，有A种不同的分法，所以不同的分配方案的种数为·A＝90，故选A.
8．某中学实习的5名大学毕业生需到A，B，C，D 4个班级当辅导员，每班至少一名辅导员，且A班必须有两名辅导员，则不同的分配方法有多少种？
解：第一步，把5名大学毕业生分成人数为2,1,1,1的四份，有＝C种分法；
第二步，把分好的四份分配给A，B，C，D 4个班级，有A种分法．
根据分步乘法计数原理，可得总共的分配方法种数为CA＝60种．
题组3 排列、组合的综合问题
9．从甲、乙等5人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：选D ①若不选甲，则排法种数为A＝24；②若选甲，则先从后两个位置中选一个给甲，再从其余的4人中选2人排列．排法种数为CA＝24.由分类加法计数原理，可得不同的排法种数为24＋24＝48.故选D.
10．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果这8个不同的数中的A，B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为( )
A．CA B．CA
C．CA D．无法确定
解析：选C 自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A，B两个数不能是x＝5对应的函数值，所以先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C种方法，再从其他7个数中选出4个数排列即可，故不同的选法共有CA种，故选C.
11．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解：(1)44＝256(种)．
(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有CA＋CC＝84种放法．
[能力提升综合练]
1．把编号为1,2,3,4,5的五个球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子中，每盒至少放入一个球，且放入同一盒子的多个球必须连号，那么不同的放法种数为( )
A．96 B．240
C．48 D．40
解析：选A 由题意，知一定有两个球放入同一盒中，又连号球有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)四种可能，因此总的放法种数为4A＝96，选A.
2．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为( )
A．24 B．30
C．36 D．81
解析：选B 根据题意，总的分法种数为CA＝36.若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为A＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30，故选B.
3．四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的方法有( )
A．288种 B．144种
C．96种 D．24种
解析：选B 先从四个球中取两个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个球看成一个球与另外两个球看作三个元素，分别放入四个盒子的三个盒子中，有A种不同方法，据分步乘法计数原理，可得共有C·A＝144种不同的方法．故选B.
4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C＝12种情形．所有可能出现的情形种数为2＋6＋12＝20.
5．将10个运动员名额分给7个班，每班至少1个，则不同的分配方案的种数为________．
解析：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙．
在9个空隙中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班．
每一种插板方法对应一种分配方案，则共有C＝C＝＝84种分配方案．
答案：84
6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．
解析：根据2号盒子里放球的个数分类．第一类，2号盒子里放2个球，有C种放法．第二类，2号盒子里放3个球，有C种放法，所以不同的放球方法的种数为C＋C＝10.
答案：10
7．某市工商局对35种商品进行抽样检查，结果有15种假货，先从35种商品中选取3种．
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
解：(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100种取法．
所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．
(2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有CC＋C＝2 555种取法．
所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种．
(3)选取3件的种数有C，因此有C－C＝6 090种取法．
所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种．
8．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数．
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
解：(1)分步完成：
第一步，在4个偶数中取3个，可有C种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；
第三步，把3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，
所以符合题意的七位数的个数为CCA＝100 800.
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400个数．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的共有CCAAA＝5 760个数．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再把3个偶数插入5个空中，共有CCAA＝28 800个数．
课件26张PPT。第4课时 组合的应用(习题课) 谢谢！课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 有限制条件的组合问题
1．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )
A．15 B．45
C．60 D．75
解析：选C 从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目共有CC＝90种不同的选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有CC＝30(种)，所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是90－30＝60.
2．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有( )
A．1 050种 B．700种
C．350种 D．200种
解析：选C 分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．
所以有CC＋CC＝350种不同的选购方法．
3．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选2种荤菜、2种素菜和白米饭；(2)任选1种荤菜、2种素菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数为( )
A．210 B．420
C．56 D．22
解析：选A 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法总数为CC＋CC＝210(种)．
4．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)
解析：分两类，一类是选A，B，C中的一门，则有CC种选法；另一类是不选A，B，C，则有C种选法，故共有C＋CC＝75种不同的选修方案．
答案：75
5．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．
解：(1)C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C种选法，共有CC＝378种不同的选法．
(5)法一(直接法)可分为三类：
第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种不同的选法；
第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种不同的选法；
第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有CC种不同的选法；
共有CC＋CC＋CC＝666种不同的选法．
法二：(间接法)12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人不能参加的有C种，所以共有C－C＝666种不同的选法．
题组2 分组(分配)问题
6．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有( )
A．CC B．AA
C. D．AAA
解析：选C 此题为平均分组问题，有种分法．
7．为调查某商品当前的市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案有( )
A．90种 B．180种
C．30种 D．15种
解析：选A 将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，有种不同的分法，再将其分到三个不同地区，有A种不同的分法，所以不同的分配方案的种数为·A＝90，故选A.
8．某中学实习的5名大学毕业生需到A，B，C，D 4个班级当辅导员，每班至少一名辅导员，且A班必须有两名辅导员，则不同的分配方法有多少种？
解：第一步，把5名大学毕业生分成人数为2,1,1,1的四份，有＝C种分法；
第二步，把分好的四份分配给A，B，C，D 4个班级，有A种分法．
根据分步乘法计数原理，可得总共的分配方法种数为CA＝60种．
题组3 排列、组合的综合问题
9．从甲、乙等5人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：选D ①若不选甲，则排法种数为A＝24；②若选甲，则先从后两个位置中选一个给甲，再从其余的4人中选2人排列．排法种数为CA＝24.由分类加法计数原理，可得不同的排法种数为24＋24＝48.故选D.
10．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果这8个不同的数中的A，B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为( )
A．CA B．CA
C．CA D．无法确定
解析：选C 自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A，B两个数不能是x＝5对应的函数值，所以先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C种方法，再从其他7个数中选出4个数排列即可，故不同的选法共有CA种，故选C.
11．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解：(1)44＝256(种)．
(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有CA＋CC＝84种放法．
[能力提升综合练]
1．把编号为1,2,3,4,5的五个球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子中，每盒至少放入一个球，且放入同一盒子的多个球必须连号，那么不同的放法种数为( )
A．96 B．240
C．48 D．40
解析：选A 由题意，知一定有两个球放入同一盒中，又连号球有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)四种可能，因此总的放法种数为4A＝96，选A.
2．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为( )
A．24 B．30
C．36 D．81
解析：选B 根据题意，总的分法种数为CA＝36.若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为A＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30，故选B.
3．四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的方法有( )
A．288种 B．144种
C．96种 D．24种
解析：选B 先从四个球中取两个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个球看成一个球与另外两个球看作三个元素，分别放入四个盒子的三个盒子中，有A种不同方法，据分步乘法计数原理，可得共有C·A＝144种不同的方法．故选B.
4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C＝12种情形．所有可能出现的情形种数为2＋6＋12＝20.
5．将10个运动员名额分给7个班，每班至少1个，则不同的分配方案的种数为________．
解析：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙．
在9个空隙中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班．
每一种插板方法对应一种分配方案，则共有C＝C＝＝84种分配方案．
答案：84
6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．
解析：根据2号盒子里放球的个数分类．第一类，2号盒子里放2个球，有C种放法．第二类，2号盒子里放3个球，有C种放法，所以不同的放球方法的种数为C＋C＝10.
答案：10
7．某市工商局对35种商品进行抽样检查，结果有15种假货，先从35种商品中选取3种．
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
解：(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100种取法．
所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．
(2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有CC＋C＝2 555种取法．
所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种．
(3)选取3件的种数有C，因此有C－C＝6 090种取法．
所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种．
8．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数．
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
解：(1)分步完成：
第一步，在4个偶数中取3个，可有C种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；
第三步，把3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，
所以符合题意的七位数的个数为CCA＝100 800.
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400个数．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的共有CCAAA＝5 760个数．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再把3个偶数插入5个空中，共有CCAA＝28 800个数．
