第1课时 二项式定理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P29～P31的内容，回答下列问题．
在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.
(1)如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示：从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．
(2)在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式为a×a＋a×b＋b×a＋b×b，每项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式，你能从组合的观点解释合并同类项后a2－k×bk的系数特点吗？
提示：当k＝0时，a2－k×bk＝a2，是由2个(a＋b)中都不选b得到的，相当于从2个(a＋b)中取0个b(即都取a)的组合数C，因此a2只有1个；
当k＝1时，a2－k×bk＝ab，是由一个(a＋b)中选a，另一个(a＋b)中选b得到的．由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个(a＋b)中取1个b的组合数，即ab共有C个；
当k＝2时，a2－k×bk＝b2，是由2个(a＋b)中都选b得到的，相当于从2个(a＋b)中取2个b的组合数C，因此b2只有1个．
由上述分析可以得到：(a＋b)2＝Ca2＋Cab＋Cb2.
(3)仿照上述过程，你认为(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)n的展开式是什么？
提示：(a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3；
(a＋b)4＝Ca4＋Ca3b＋Ca2b2＋Cab3＋Cb4；
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cabn－1＋Cbn.
2．归纳总结，核心必记
(1)二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．
(2)相关概念
①公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式；
②各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数；
③展开式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1，它表示展开式的第k＋1项；
④在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
[问题思考]
(1)你能写出(b＋a)n的二项展开式吗？二项展开式中的字母a，b能交换位置吗？
提示：①(b＋a)n＝Cbn＋Cbn－1a＋Cbn－2a2＋…＋Can.
②二项展开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(a＋b)n与(b＋a)n结果相同，但(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如(a＋b)3的展开式中第2项是3a2b，而(b＋a)3的展开式中第2项是3ab2，两者是不同的．
(2)(1＋2x)n的二项展开式是什么？其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么？
提示：(1＋2x)n＝C＋C2x＋C(2x)2＋C(2x)3＋…＋C(2x)n.其第5项的二项式系数为C，第5项的系数为C·24＝16C.
(3)二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？
提示：二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．
[课前反思]
(1)二项式定理的内容： ；
(2)二项式系数： ；
(3)二项展开式的通项： ；
(4)二项式系数与项的系数的区别： .
知识点1
二项式定理
?讲一讲
1．(1)已知(1＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1－2a2＋3a3－4a4＝________.
(2)5的展开式为_____________________．
(3)若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
[尝试解答] (1)∵Tr＋1＝2rCxr，∴a1＝21×C＝8，a2＝22×C＝24，a3＝23×C＝32，a4＝24×C＝16，∴a1－2a2＋3a3－4a4＝－8.
(2)5＝C(x2)5＋C(x2)41＋C(x2)3·2＋C(x2)2·3＋Cx24＋C5＝x10－5x7＋10x4－10x＋－.
(3)∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
答案：(1)－8 (2)x10－5x7＋10x4－10x＋－ (3)44
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(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：
①各项的次数都等于n；
②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢．
?练一练
1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝( )
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
解析：选C 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2．用二项式定理展开6.
解：6＝6＝＝[Cx6(－1)0
＋Cx5(－1)1＋Cx4(－1)2＋Cx3(－1)3＋Cx2(－1)4＋Cx1(－1)5＋Cx0(－1)6]＝(x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1)＝x3－6x2＋15x－20＋－＋.
知识点2
用二项式定理求特定项及系数
[思考1] 在(a＋b)n的二项展开式中，其第k项是什么？
名师指津：Tk＝T(k－1)＋1＝Can－k＋1bk－1 .
[思考2] 在(a＋b)n的二项展开式中，Tk＋1＝Can－kbk是二项展开式的第几项？其二项式系数是什么？
名师指津：Tk＋1＝Can－kbk是第k＋1项，其二项式系数为C.
?讲一讲
2．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n的值；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数；
(4)求展开式中所有的有理项．
[尝试解答] (1)通项为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝C(－3)rx.
因为第6项为常数项，
所以r＝5时，有＝0.即n＝10.
(2)令＝2，得r＝2.
所以所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)∵10的展开式的通项是
Tr＋1＝C(－3)rx，
∴第4项的二项式系数为C＝120，第4项的系数为C(－3)3＝－120×27＝－3 240.
(4)根据通项，由题意得所以r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
即405x2，－61 236,295 245x－2.
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求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
?练一练
3．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．－10 B．10 C．－5 D．5
解析：选B 5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(5－r)·(－1)rx－r＝(－1)rCx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，
∴含x4的项的系数为(－1)2×C＝10.
4．已知二项式10.
(1)求展开式中的第5项；
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)10的展开式的第5项为T5＝C·(x2)6·4＝C·4·x12·4＝x10.
(2)设第k＋1项为常数项，
则Tk＋1＝C·(x2)10－k·k＝C·x20－k·k(k＝0,1,2，…，10)，
令20－k＝0，得k＝8，
所以T9＝C ·8＝，
即第9项为常数项，其值为.
知识点3
整除(余数)问题
?讲一讲
3．用二项式定理证明1110－1能被100整除．
[思路点拨] 由于100是10的整数倍，故可将1110转化为(10＋1)10，用二项式定理展开．
[尝试解答] 1110－1＝(10＋1)10－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋C·10＋C－1
＝C·1010＋C·109＋C·108＋…＋102
＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)
显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除．
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整除性问题或求余数的处理方法：
(1)构造一个与题目条件有关的二项式；
(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了；
(3)要注意余数的范围，若a＝cr＋b，其中b为余数，b∈[0，r)，r是除数．利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化．
?练一练
5．求C＋C＋…＋C除以9的余数．
解：C＋C＋…＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)－C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C·99＋C·98(－1)＋C·97(－1)2＋…＋C·9(－1)8＋C(－1)9－1＝C·99－C·98＋C·97－C·96＋…＋C·9－1－1＝9(C·98－C·97＋C·96＋…＋C)－2＝9(C·98－C·97＋C·96＋…＋C－1)＋(9－2)，
∴C＋C＋…＋C除以9的余数为7.
———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是二项式定理及利用二项式定理求二项展开式的特定项或特定项的系数，难点是利用二项式定理解决整除(余数)问题．
2．要掌握二项式定理的三个应用
(1)会用二项式定理进行化简或求值，见讲1；
(2)会用二项式定理解决二项展开式的特定项或系数问题，见讲2；
(3)会用二项式定理解决整除(余数)问题，见讲3.
3．本节课的易错点是项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析：
(1)二项展开式的二项式系数是指C，C，…，C这些组合数，即二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr中的C(0≤r≤n，r∈N)．求二项展开式中某一项的二项式系数，关键是要确定r的值，要注意通项为展开式的第r＋1项．
(2)系数即该项字母前的数连同符号，求二项展开式的指定项的系数，可直接运用展开式的通项公式，并令该项的次数与指定项的次数相等，求出r的值，则指定项的系数就是把r代入组合数式和常数式的乘积计算后所得的值．
(3)项是指系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置．
(4)二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关．
课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 二项式定理
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
解析：选B 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
2．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________．
解析：(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)·(－1)3＋C(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
答案：x4
3．用二项式定理展开：(2x－1)4＝________.
解析：(2x－1)4＝C(2x)4(－1)0＋C(2x)3(－1)1＋C(2x)2(－1)2＋C(2x)1(－1)3＋C(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
答案：16x4－32x3＋24x2－8x＋1
题组2 用二项式定理求特定项及系数
4．在5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
解析：选D Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，令10－3r＝1，得r＝3.
∴x的系数为(－1)3·25－3·C＝－40.故选D.
5．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
解析：选C 由题意得Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝(－1)r·C2(12－3r)x，令12－3r＝0，得r＝4，则常数项为(－1)4C＝15，故选C.
6．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，可得n＝6，x＝，选B.
7．记n的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
解：(1)n的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，n的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝26－r·C·x6－2r.
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.
8．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中含x的项；
(2)求展开式中所有的有理项．
解：(1)由已知可得C＋C·＝2C·，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．
故Tk＋1＝C()8－k·k＝C·2－k·x4－k，
令4－k＝1，得k＝4，所以含x的项为T5＝C×2－4x＝x.
(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0或k＝4或k＝8，所以展开式中的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.
题组3 整除(余数)问题
9．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1 C．11 D．12
解析：选D 512 018＋a＝(13×4－1)2 018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 018＋a能被13整除．
10．1.003 55精确到0.001的近似值为________．
解析：1.003 55＝(1＋0.003 5)5≈1＋5×0.003 5＝1.017 5≈1.018.
答案：1.018
[能力提升综合练]
1．二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为( )
A．64 B．32
C．24 D．16
解析：选B 二项式(1＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx，令为整数，可得r＝0,2,4,6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32，故选B.
2．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选D 展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
3．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
解析：选A ∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)，∴x2的系数是－12＋6＝－6.
4．在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则实数a的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A (ax＋1)7的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)7－r，∴x3的系数是Ca3，x2的系数是Ca2，x5的系数是Ca5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项，∴(Ca3)2＝Ca2×Ca5，∴a＝.
5．如果n的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________.
解析：∵Tk＋1＝C()n－kk＝Cx，
由题意知k＝2时，＝2，∴n＝8.
答案：8
6．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
解析：对于Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案：2
7．已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．
证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C·31n－1＋…＋C·31＋1－1＝31·(31n－1＋C·31n－2＋…＋C)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．
8．二项式15的展开式中：
(1)求常数项；
(2)有几个有理项；
(3)有几个整式项．
解：展开式的通项为：
Tr＋1＝(－1)rC()15－rr＝(－1)r2rCx，
(1)设Tr＋1项为常数项，则＝0，
得r＝6，即常数项为T7＝26C＝320 320；
(2)设Tr＋1项为有理项，则＝5－r为整数，
∴r为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r可取0,6,12三个数．
即共有3个有理项．
(3)5－r为非负整数，得r＝0或6，
∴有两个整式项．
课件36张PPT。第1课时 二项式定理谢谢！课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 二项式定理
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
解析：选B 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
2．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________．
解析：(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)·(－1)3＋C(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
答案：x4
3．用二项式定理展开：(2x－1)4＝________.
解析：(2x－1)4＝C(2x)4(－1)0＋C(2x)3(－1)1＋C(2x)2(－1)2＋C(2x)1(－1)3＋C(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
答案：16x4－32x3＋24x2－8x＋1
题组2 用二项式定理求特定项及系数
4．在5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
解析：选D Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，令10－3r＝1，得r＝3.
∴x的系数为(－1)3·25－3·C＝－40.故选D.
5．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
解析：选C 由题意得Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝(－1)r·C2(12－3r)x，令12－3r＝0，得r＝4，则常数项为(－1)4C＝15，故选C.
6．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，可得n＝6，x＝，选B.
7．记n的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
解：(1)n的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，n的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝26－r·C·x6－2r.
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.
8．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中含x的项；
(2)求展开式中所有的有理项．
解：(1)由已知可得C＋C·＝2C·，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．
故Tk＋1＝C()8－k·k＝C·2－k·x4－k，
令4－k＝1，得k＝4，所以含x的项为T5＝C×2－4x＝x.
(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0或k＝4或k＝8，所以展开式中的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.
题组3 整除(余数)问题
9．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1 C．11 D．12
解析：选D 512 018＋a＝(13×4－1)2 018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 018＋a能被13整除．
10．1.003 55精确到0.001的近似值为________．
解析：1.003 55＝(1＋0.003 5)5≈1＋5×0.003 5＝1.017 5≈1.018.
答案：1.018
[能力提升综合练]
1．二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为( )
A．64 B．32
C．24 D．16
解析：选B 二项式(1＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx，令为整数，可得r＝0,2,4,6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32，故选B.
2．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选D 展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
3．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
解析：选A ∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)，∴x2的系数是－12＋6＝－6.
4．在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则实数a的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A (ax＋1)7的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)7－r，∴x3的系数是Ca3，x2的系数是Ca2，x5的系数是Ca5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项，∴(Ca3)2＝Ca2×Ca5，∴a＝.
5．如果n的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________.
解析：∵Tk＋1＝C()n－kk＝Cx，
由题意知k＝2时，＝2，∴n＝8.
答案：8
6．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
解析：对于Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案：2
7．已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．
证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C·31n－1＋…＋C·31＋1－1＝31·(31n－1＋C·31n－2＋…＋C)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．
8．二项式15的展开式中：
(1)求常数项；
(2)有几个有理项；
(3)有几个整式项．
解：展开式的通项为：
Tr＋1＝(－1)rC()15－rr＝(－1)r2rCx，
(1)设Tr＋1项为常数项，则＝0，
得r＝6，即常数项为T7＝26C＝320 320；
(2)设Tr＋1项为有理项，则＝5－r为整数，
∴r为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r可取0,6,12三个数．
即共有3个有理项．
(3)5－r为非负整数，得r＝0或6，
∴有两个整式项．
