第2课时 “杨辉三角”与二项式系数的性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P32～P35的内容，回答下列问题．
(1)完成教材P32“探究”中表格的内容，你发现表格中，各行的数字有什么关系？
提示：每一行中的系数具有对称性．
(2)将上述表格中的数字整理成如下形式
①第一、二、三、四、五、六行的数字之和各是多少？由此你能猜出第n行的数字之和吗？
提示：第一、二、三、四、五、六行的数字之和分别是21,22,23,24,25,26，故第n行的数字之和应为2n.
②观察第2行的数字2与第1行的各个数字之间有什么关系？
第3行的数字3与第2行的数字之间有什么关系？
第4行的数字4,6与第3行的数字之间有什么关系？
第5行的数字5,10与第4行的数字之间有什么关系？
第6行的数字6,15,20与第5行的数字之间有什么关系？
由此你能得出什么结论？
提示：2＝1＋1,3＝1＋2,4＝1＋3,6＝3＋3,5＝1＋4,10＝4＋6,6＝1＋5,15＝5＋10,20＝10＋10，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
③试写出第n－1行、第n行的数字，并探讨C与C、C之间有什么关系？
提示：第n－1行__1__C__C…C…C____1
第n行__1__C__C__C…C__C__1
且C＝C＋C.
2．归纳总结，核心必记
(1)杨辉三角的特点
①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
(2)二项式系数的性质
①对称性：
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
②增减性与最大值：
当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
①C＋C＋C＋…＋C＝2n.
②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[问题思考]
(1)(1＋2x)2 016的展开式中，二项式系数的最大项是第几项？最大值是多少？(1＋x)2 016的展开式中，二项式系数的最大值是多少？
提示：在(1＋2x)2_016和(1＋x)2_016的二项展开式中，都含有2_017项，中间一项的二项式系数最大，即第1_009项的二项式系数C最大．
(2)若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n为何值？
提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n＝8.
(3)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的取值有关系吗？
提示：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的值无关，其和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
[课前反思]
(1)杨辉三角的特点： ；
(2)二项式系数的性质： ；
(3)各二项式系数的和： .
知识点1
求二项展开式中系数或二项式系数的最大项
?讲一讲
1．(1)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．第5项 B．第6项或第7项
C．第6项 D．第7项
(2)10的展开式中，系数最大的项为( )
A．第6项
B．第3项
C．第3项和第6项
D．第5项和第7项
(3)(1－x)13的展开式中系数最小的项为( )
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
[尝试解答] (1)T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C×25＝C×26?n＝8.
所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1 120x4.故选A.
(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．
由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝Cx55＝－C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．
而T5＝Cx64＝Cx2，
T7＝Cx46＝Cx－2，且C＝C.
所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D.
(3)展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．
由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.
答案：(1)A (2)D (3)C
————————————————————————————————
(1)根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项，第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N*来确定r的值，即可求出最大项．
?练一练
1．(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是( )
A．第n－1项
B．第n项
C．第n－1项与第n＋1项
D．第n项与第n＋1项
解析：选D 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n－1＝C，C2n－1＝C，分别为第n，n＋1项．
2.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为( )
A．120 B．252
C．210 D．45
解析：选C 由题意，C＝C，易知n＝5，
由Tr＋1＝C()10－rr＝Cx，
令30－5r＝0，得r＝6，故其常数项为C＝210.
知识点2
展开式的系数和
?讲一讲
2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
[尝试解答] (1)令x＝0，则a0＝－1，
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①
所以a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，
则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由得：a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256.
(3)由得：a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128.
(4)法一：∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8 256－(－8 128)＝16 384.
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.
——————————————————————————
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
?练一练
3．在(1－3x)12的展开式中．求：
(1)各二项式系数之和；
(2)奇数项二项式系数和；
(3)偶数项二项式系数和．
解：(1)各二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝212＝4 096.
(2)奇数项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝211＝2 048.
(3)偶数项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝211＝2 048.
知识点3
二项式系数性质的应用
?讲一讲
3．已知二项式n.
(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
[思路点拨] (1)展开式中二项式系数最大的项应是中间项，并要根据n的奇偶性来确定是中间两项还是一项．(2)系数最大的系数，应满足不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，即设第r＋1项的系数为Ar＋1，则满足不等式组由不等式组解出r的值．
[尝试解答] (1)由题意，得C＋C＝2C，
∴n2－21n＋98＝0，
∴n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C×4×23＝，T5的系数为C×3×24＝70.
故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
∴T8的系数为C×7×27＝3 432.
故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432.
(2)由题意知C＋C＋C＝79，
解得n＝12或n＝－13(舍去)．
设展开式中第r＋1项的系数最大，
由于12＝12·(1＋4x)12，
则∴9.4≤r≤10.4.
又r∈{0,1,2，…，12}，∴r＝10，
∴系数最大的项为T11，且T11＝12·C·(4x)10＝16 896x10.
———————————————————————————————
求展开式中系数的最值的方法：
(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．
(2)若展开式的系数为f(r)＝C·mg(r)的形式，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r，即得系数最大项．
(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定．
?练一练
4．已知n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
(1)求该展开式中所有有理项的项数；
(2)求该展开式中系数最大的项．
解：(1)由题意，可知＋1＝6，∴n＝10.
∴Tr＋1＝Cx2rx－2r＝C2rx，
当r＝0,2,4,6,8,10时，∈Z，
∴展开式中所有有理项的项数为6.
(2)设第Tr＋1项的系数最大，
则即
解得≤r≤.
∵r∈N，∴r＝7.
∴展开式中系数最大的项为T8＝C27x－＝15 360x－.
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用．
2．要掌握二项式系数性质的三个应用：
(1)求二项展开式中系数或二项式系数的最大项，见讲1；
(2)求展开式的系数和，见讲2；
(3)二项式系数性质的应用，见讲3；
3．要重点关注以下几个易错点．
(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．
(2)一般地，二项展开式f(x)中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为[f(1)＋f(－1)]，偶数项系数和为[f(1)－f(－1)]．
(3)“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项
1.11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第3项 B．第6项
C．第6、7项 D．第5、7项
解析：选C 11的展开式中第项和＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．
2．在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n＝10.
3．在(1－x)201的展开式中，系数的最大值是( )
A．C B．C C．C D．C
解析：选B 在(1－x)201的展开式中，第r＋1项为Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，所以系数的最大值是C，选B.
4．下列关于(a＋b)10的说法：
①展开式中的各二项式系数之和为1 024；
②展开式中第6项的二项式系数最大；
③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；
④展开式中第6项的系数最小．
其中正确说法的个数为________．
解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．
答案：2
题组2 展开式的系数和
5．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选B 由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B.
6．(Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4)2的展开式中所有项的系数和为( )
A．64 B．224
C．225 D．256
解析：选C 令x＝1，原式＝(C＋C＋C＋C)2＝(24－1)2＝225，故选C.
7．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选D 由题意可得C＝C，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256.
8．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解：(1)令x＝0，可得a0＝2100.
(2)令x＝1，可得
a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100，
(3)令x＝－1.
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
与(*)式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
(5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，
∴a2r－1＜0(r∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
题组3 二项式系数性质的应用
9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
A．6 B．7
C．8 D．5
解析：选A 由二项式定理，知ak＝C(k＝1,2,3，…，11)．又(1＋x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6.
10．已知n的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求：
(1)n展开式的二项式系数和；
(2)n展开式中a－1项的二项式系数．
解：依题意，令a＝1，得n展开式中各项系数和为(3－1)n＝2n，5展开式中的通项为Tr＋1＝C(4)5－rr＝(－1)rC45－r·5－b.
若Tr＋1为常数项，则＝0，即r＝2，
故常数项为T3＝(－1)2C·43·5－1＝27，
于是有2n＝27，得n＝7.
(1)n展开式的二项式系数和为2n＝27＝128.
(2)7的通项为Tr＋1＝C7－r·(－)r＝C(－1)r·37－r·a，
令＝－1，得r＝3，
∴所求a－1项的二项式系数为C＝35.
[能力提升综合练]
1．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )
A．－35x4
B．35x3
C．－35x4和35x3
D．－35x3和35x4
解析：选C 由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C.
2．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
解析：选B 设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.
3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( )
A．32 B．1
C．－243 D．1或－243
解析：选B (a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·Ca5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
4．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.
解析：令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，
令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，
故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(－1)1010＝1.
答案：1
5．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.
第0行
1
第1行
1 1
第2行
1 2 1
第3行
1 3 3 1
第4行
1 4 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
……
……
解析：由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34.
答案：34
6．将n(n≥2，n∈N*)的展开式中x－4的系数记为an，求＋＋…＋的值．
解：n的展开式的通项为Tr＋1＝Cr＝(－1)rCx－2r，
由题意可知r＝2，此时an＝C＝，
所以＝＝2，
所以＋＋…＋＝2＋＋…＋
＝2＝.
7．已知(＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：令x＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n＝4n.又展开式中二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，
由题意有4n－2n＝992.
即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0.
所以2n＝－31(舍去)或2n＝32.所以n＝5.
(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，
它们是T3＝C()3·(3x2)2＝90x6.
T4＝C()2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大，
又Tr＋1＝C()5－r·(3x2)r＝C3rx，得
??≤r≤.
又因为r∈N*，所以r＝4，所以展开式中第5项系数最大．
T5＝C34x＝405x.
课件36张PPT。第2课时 “杨辉三角”与二项式系数的性质 谢谢！课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项
1.11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第3项 B．第6项
C．第6、7项 D．第5、7项
解析：选C 11的展开式中第项和＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．
2．在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n＝10.
3．在(1－x)201的展开式中，系数的最大值是( )
A．C B．C C．C D．C
解析：选B 在(1－x)201的展开式中，第r＋1项为Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，所以系数的最大值是C，选B.
4．下列关于(a＋b)10的说法：
①展开式中的各二项式系数之和为1 024；
②展开式中第6项的二项式系数最大；
③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；
④展开式中第6项的系数最小．
其中正确说法的个数为________．
解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．
答案：2
题组2 展开式的系数和
5．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选B 由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B.
6．(Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4)2的展开式中所有项的系数和为( )
A．64 B．224
C．225 D．256
解析：选C 令x＝1，原式＝(C＋C＋C＋C)2＝(24－1)2＝225，故选C.
7．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选D 由题意可得C＝C，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256.
8．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解：(1)令x＝0，可得a0＝2100.
(2)令x＝1，可得
a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100，
(3)令x＝－1.
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
与(*)式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
(5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，
∴a2r－1＜0(r∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
题组3 二项式系数性质的应用
9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
A．6 B．7
C．8 D．5
解析：选A 由二项式定理，知ak＝C(k＝1,2,3，…，11)．又(1＋x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6.
10．已知n的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求：
(1)n展开式的二项式系数和；
(2)n展开式中a－1项的二项式系数．
解：依题意，令a＝1，得n展开式中各项系数和为(3－1)n＝2n，5展开式中的通项为Tr＋1＝C(4)5－rr＝(－1)rC45－r·5－b.
若Tr＋1为常数项，则＝0，即r＝2，
故常数项为T3＝(－1)2C·43·5－1＝27，
于是有2n＝27，得n＝7.
(1)n展开式的二项式系数和为2n＝27＝128.
(2)7的通项为Tr＋1＝C7－r·(－)r＝C(－1)r·37－r·a，
令＝－1，得r＝3，
∴所求a－1项的二项式系数为C＝35.
[能力提升综合练]
1．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )
A．－35x4
B．35x3
C．－35x4和35x3
D．－35x3和35x4
解析：选C 由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C.
2．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
解析：选B 设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.
3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( )
A．32 B．1
C．－243 D．1或－243
解析：选B (a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·Ca5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
4．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.
解析：令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，
令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，
故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(－1)1010＝1.
答案：1
5．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.
第0行
1
第1行
1 1
第2行
1 2 1
第3行
1 3 3 1
第4行
1 4 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
……
……
解析：由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34.
答案：34
6．将n(n≥2，n∈N*)的展开式中x－4的系数记为an，求＋＋…＋的值．
解：n的展开式的通项为Tr＋1＝Cr＝(－1)rCx－2r，
由题意可知r＝2，此时an＝C＝，
所以＝＝2，
所以＋＋…＋＝2＋＋…＋
＝2＝.
7．已知(＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：令x＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n＝4n.又展开式中二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，
由题意有4n－2n＝992.
即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0.
所以2n＝－31(舍去)或2n＝32.所以n＝5.
(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，
它们是T3＝C()3·(3x2)2＝90x6.
T4＝C()2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大，
又Tr＋1＝C()5－r·(3x2)r＝C3rx，得
??≤r≤.
又因为r∈N*，所以r＝4，所以展开式中第5项系数最大．
T5＝C34x＝405x.
