第2课时 事件的相互独立性
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P54～P55的内容，回答下列问题．
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”．
(1)事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：因为是有放回地抽取奖券，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽到的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响．
(2)事件A与事件B同时发生的概率是多少？
提示：P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(3)若将“有放回”改为“不放回”，则事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：影响．
2．归纳总结，核心必记
(1)相互独立事件的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
[问题思考]
(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B相互独立吗？
提示：甲是否击中目标对乙击中目标没有影响，故事件A与事件B相互独立．
(2)如果A、B相互独立，则有P(AB)＝P(A)P(B)吗？
提示：如果A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，又P(B|A)＝，从而P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)，即P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)“相互独立事件”与“互斥事件”的区别是什么？
提示：
相互独立事件
互斥事件
定义
一个事件的发生与否对另一个事件发生没有影响
两个事件不可能同时发生
概率
公式
A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)P(B)
若A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
[课前反思]
(1)相互独立事件的概念：
；
(2)相互独立事件的性质：
.
知识点1
事件相互独立性的判断
?讲一讲
1．下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；
(2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
[尝试解答] (1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件．
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件．
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件．
(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件．
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(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立；
(2)判定两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
?练一练
1．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A.
解：(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，
事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．
知识点2
相互独立事件同时发生的概率
?讲一讲
2．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能够破译的概率．
[尝试解答] 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A、B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立．
(1)“两人都能破译”为事件AB，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“两人都不能破译”为事件，则
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.
(3)“恰有一人能破译”为事件(A)∪(B)，
又A与B互斥，
所以P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
(4)“至多一人能破译”为事件(A)∪(B)∪()，且A、B、互斥，故P[(A)∪(B)∪()]＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝×＋×＋1－×＝.
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1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件是相互独立的；
(2)再确定各事件会同时发生；
(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．
2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
?练一练
2．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：
(1)其中至少有一件废品的概率；
(2)其中恰有一件废品的概率；
(3)其中至多有一件废品的概率；
(4)其中没有废品的概率；
(5)其中都是废品的概率．
解：这两个机床的生产是相互独立的．设A＝“从甲机床抽得的一件是废品”，B＝“从乙机床抽得的一件是废品”，则P(A)＝0.04，P()＝0.96，P(B)＝0.05，P()＝0.95.
由题意可知A与B，A与，与B，与都是相互独立的．
(1)1－P()＝1－P()P()＝1－0.96×0.95＝0.088.
(2)P[(B)∪(A)]＝P(B)＋P(A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.048＋0.038＝0.086.
(3)法一：P[(A)∪(B)∪()]＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝0.04×0.95＋0.96×0.05＋0.96×0.95＝0.998.
法二：1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.04×0.05＝0.998.
(4)P()＝P()P()＝0.96×0.95＝0.912.
(5)P(AB)＝P(A)P(B)＝0.04×0.05＝0.002.
知识点3
相互独立事件的综合应用
?讲一讲
3．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X的分布列．
[尝试解答] (1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，P(X＝2)＝P(D)＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
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求某些事件的概率时，应首先确定事件之间的关系，即两事件是互斥事件或对立事件，还是相互独立事件，然后再判断事件发生的情况，最后确定是利用和事件概率公式还是积事件概率公式进行概率计算．
?练一练
3．甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．
解：(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得P()P()＝，解得P()＝或P()＝－(舍去)，故p＝1－P()＝，所以乙投球的命中率为.
(2)法一：由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P(·)＝1－P()P()＝.
法二：由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P(A)P()＋P(A)P(A)＝.
——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是事件的相互独立性及其概率的求法，难点是事件相互独立性的判断．
2．要掌握事件相互独立性的两个问题．
(1)事件相互独立性的判断，见讲1；
(2)事件相互独立性概率的求法，见讲2和讲3.
3．求复杂事件概率的步骤：
(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 事件相互独立性的判断
1．下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个灯泡能用1 000小时”，B＝“一个灯泡能用2 000小时”
解析：选A 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．故选A.
2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A．互斥的事件
B．相互独立的事件
C．对立的事件
D．不相互独立的事件
解析：选D P(A1)＝，若A1发生，则P(A2)＝＝；若A1不发生，则P(A2)＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，故A1与A2不是相互独立事件．故选D.
题组2 相互独立事件同时发生的概率
3．从甲袋中模出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：选C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝＝，事件A、B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝，故选A.
5．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：甲、乙两人都未能解决的概率为
＝×＝，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－＝.
答案：
6．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列．
解：(1)令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判．
则A＝A1·A2，P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则
P(X＝0)＝P(B1B23)＝P(B1)P(B2)P(3)＝，
P(X＝2)＝P(1B3)＝P(1)P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
题组3 相互独立事件的综合应用
7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，灯亮的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件，
则P()＝P(A)＋P(B)＋P()＝，则灯亮的概率为P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－＝.
8．已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球．现从两袋中各取2个球，则取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为________．
解析：记“从甲袋中取得2个白球”为事件A，“从乙袋中取得1个黑球和1个白球”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝·＝.记“从甲袋中取得1个黑球和1个白球”为事件C，“从乙袋中取得2个白球”为事件D，则P(CD)＝P(C)P(D)＝·＝.所以取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为＋＝＝.
答案：
9．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值________．
解析：事件A与B同时发生的概率为p(1－p)＝p－p2(p∈[0,1])，当p＝时，最大值为.
答案：
10．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
[能力提升综合练]
1.
如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：选B 法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
因为K，A1，A2相互独立，
所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为
P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，
所以系统正常工作的概率为
P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为
1－P(12)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
2．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3，
第3次拨号才接通电话可表示为12A3，显然，1，2，A3相互独立，所以P(12A3)＝××＝.
3．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设汽车在甲、乙、丙三处通行分别为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件BC＋AC＋AB，
故其概率为P＝××＋××＋××＝.
4.
在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条，按A→B→C→A，
P1＝××＝；
第二条，按A→C→B→A，
P2＝××＝，
所以跳三次之后停在A上的概率为
P1＋P2＝＋＝.
5．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是________．
解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为事件，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，至少两颗卫星预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥．
∴至少两颗卫星预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
答案：0.902
6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
解析：由已知条件知，第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)P(A)＝0.128.
答案：0.128
7．已知A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．
解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.据题意有：
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
所求概率为P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
(2)所求概率为1－3＝.
8．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上偶函数”为事件A，求事件A的概率；
(3)求ξ的分布列．
解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，
则解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.
当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，
所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xzy＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.
(3)根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P(ξ＝0)＝0.24.根据分布列的性质，知P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.
所以ξ的分布列为
ξ
0
2
P
0.24
0.76
课件34张PPT。谢谢！课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 事件相互独立性的判断
1．下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个灯泡能用1 000小时”，B＝“一个灯泡能用2 000小时”
解析：选A 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．故选A.
2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A．互斥的事件
B．相互独立的事件
C．对立的事件
D．不相互独立的事件
解析：选D P(A1)＝，若A1发生，则P(A2)＝＝；若A1不发生，则P(A2)＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，故A1与A2不是相互独立事件．故选D.
题组2 相互独立事件同时发生的概率
3．从甲袋中模出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：选C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝＝，事件A、B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝，故选A.
5．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：甲、乙两人都未能解决的概率为
＝×＝，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－＝.
答案：
6．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列．
解：(1)令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判．
则A＝A1·A2，P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则
P(X＝0)＝P(B1B23)＝P(B1)P(B2)P(3)＝，
P(X＝2)＝P(1B3)＝P(1)P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
题组3 相互独立事件的综合应用
7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，灯亮的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件，
则P()＝P(A)＋P(B)＋P()＝，则灯亮的概率为P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－＝.
8．已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球．现从两袋中各取2个球，则取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为________．
解析：记“从甲袋中取得2个白球”为事件A，“从乙袋中取得1个黑球和1个白球”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝·＝.记“从甲袋中取得1个黑球和1个白球”为事件C，“从乙袋中取得2个白球”为事件D，则P(CD)＝P(C)P(D)＝·＝.所以取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为＋＝＝.
答案：
9．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值________．
解析：事件A与B同时发生的概率为p(1－p)＝p－p2(p∈[0,1])，当p＝时，最大值为.
答案：
10．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
[能力提升综合练]
1.
如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：选B 法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
因为K，A1，A2相互独立，
所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为
P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，
所以系统正常工作的概率为
P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为
1－P(12)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
2．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3，
第3次拨号才接通电话可表示为12A3，显然，1，2，A3相互独立，所以P(12A3)＝××＝.
3．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设汽车在甲、乙、丙三处通行分别为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件BC＋AC＋AB，
故其概率为P＝××＋××＋××＝.
4.
在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条，按A→B→C→A，
P1＝××＝；
第二条，按A→C→B→A，
P2＝××＝，
所以跳三次之后停在A上的概率为
P1＋P2＝＋＝.
5．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是________．
解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为事件，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，至少两颗卫星预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥．
∴至少两颗卫星预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
答案：0.902
6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
解析：由已知条件知，第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)P(A)＝0.128.
答案：0.128
7．已知A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．
解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.据题意有：
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
所求概率为P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
(2)所求概率为1－3＝.
8．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上偶函数”为事件A，求事件A的概率；
(3)求ξ的分布列．
解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，
则解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.
当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，
所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xzy＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.
(3)根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P(ξ＝0)＝0.24.根据分布列的性质，知P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.
所以ξ的分布列为
ξ
0
2
P
0.24
0.76
