第3课时 独立重复试验与二项分布
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P56～P57的内容，回答下列问题．
(1)研究掷硬币结果的规律时，需要做大量的掷硬币试验．在n次重复掷硬币的过程中，各次试验的结果会受其他试验结果的影响吗？P(A1A2…An)与P(A1)P(A2)…P(An)之间有什么关系？(其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验的结果)
提示：各次试验的结果都不会受其他试验结果的影响，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q＝1－p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？
提示：连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验．用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，用B1表示事件“仅出现1次针尖向上”，则
B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)．
由于事件A123，1A23和12A3彼此互斥，由概率加法公式得P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
因此，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是3q2p.
(3)上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现1次针尖向上的概率．类似地，连续掷3次图钉，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
提示：用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k次针尖向上”．类似于前面的讨论，可以得到
P(B0)＝P(123)＝q3，
P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝3q2p，
P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3.
仔细观察上述等式，可以发现
P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3.
2．归纳总结，核心必记
(1)n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
(2)二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
[问题思考]
(1)独立重复试验必须具备哪些条件？
提示：独立重复试验必须具备以下条件：
①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变．
②各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立．
③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．
(2)二项分布与两点分布有什么关系？
提示：①两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
②二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
(3)下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是独立重复试验的有哪些？
提示：只有④是独立重复试验．
(4)若X～B，则P(X＝2)为何值？
提示：P(X＝2)＝C2×4＝15××＝.
[课前反思]
(1)n次独立重复试验的概念：
；
(2)二项分布的概念：
.
知识点1
n次独立重复试验
[思考] 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为何值？
提示：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
?讲一讲
1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[尝试解答] (1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件是“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72.
∴所求概率为1－0.006 72＝0.993 28≈0.99.
(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
∴所求概率为C×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.
故5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
—————————————————————————————
(1)运用n次独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．
(2)解决实际问题时往往需要把所求概率的事件分拆为若干个事件，而每个事件均为独立重复试验．
?练一练
1．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则
(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；
(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)
解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．
(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C×0.72×(1－0.7)≈0.44.
(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C×0.72×(1－0.7)]×[C×0.62×(1－0.6)]≈0.19.
答案：(1)0.44 (2)0.19
知识点2
二项分布
[思考1] 在二项分布的概念中，n，p，k各表示什么意义？
名师指津：n为重复试验的次数；p是在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数．
[思考2] 若X～B(n，p)，则P(X＝k)为何值？
提示：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
?讲一讲
2．加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响，
(1)加工一个零件是否是独立重复事件？求该零件的合格率；
(2)从该种零件中任取3件，恰好取到X件合格品，X是否服从二项分布？
(3)在(2)的条件下，求恰好取到1件合格品的概率．
[尝试解答] (1)加工一个零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此不是独立重复试验．由事件的独立性知，该种零件的合格率P＝××＝.
(2)从该种零件中任取3件，相当于3次独立重复试验，恰好取到X件合格品，即随机变量X的取值是取到合格品的事件发生的次数，因此X服从二项分布．
(3)由二项分布的概率公式得，恰好取到1件合格品的概率P(X＝1)＝C××2＝0.189.
———————————————————————————————
利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.
?练一练
2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．
解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪ ”，且事件A，B相互独立．
所以P(AB∪ )＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.且X～B.
所以P(X＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
所以变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
知识点3
二项分布的应用
?讲一讲
3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
[思路点拨] (1)第三个路口首次遇到红灯，表示前2个路口是绿灯，第3个路口是红灯．
(2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到2次红灯．
[尝试解答] (1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝××＝.
(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0,1,2,3,4)．
由题意得P(B0)＝4＝，
P(B1)＝C×1×3＝，
P(B2)＝C×2×2＝.
所以事件B的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝.
————————————————————————
(1)二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
(2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
?练一练
3．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，求发生险情时，下列事件的概率．
(1)3台都未报警；
(2)恰有1台报警；
(3)恰有2台报警；
(4)3台都报警；
(5)至少有2台报警；
(6)至少有1台报警．
解：令X为发生险情时3台报警器报警的台数，那么X～B(3,0.9)，则X的分布列为P(X＝k)＝C0.9k(1－0.9)3－k(k＝0,1,2,3)．
(1)3台都未报警的概率P(X＝0)＝C×0.90×0.13＝0.001；
(2)恰有1台报警的概率P(X＝1)＝C×0.91×0.12＝0.027；
(3)恰有2台报警的概率P(X＝2)＝C×0.92×0.1＝0.243；
(4)3台都报警的概率P(X＝3)＝C×0.93×0.10＝0.729；
(5)至少有2台报警的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.243＋0.729＝0.972；
(6)至少有1台报警的概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999.
—————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————————
1．本节课的重点是n次独立重复试验及二项分布，难点是二项分布的应用．
2．要掌握二项分布的以下几个问题
(1)n次独立重复试验的概率问题，见讲1；
(2)二项分布问题，见讲2；
(3)二项分布的应用，见讲3.
3．要注意区分二项分布、两点分布、超几何分布
(1)当n＝1时，二项分布就是两点分布；
(2)二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的．即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．
课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 n次独立重复试验
1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C102 B．C102
C．C92 D．C92
解析：选B 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C·9·2·＝C102.
2．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意得获奖的概率为＝(注：当摸出的两个球中有标号为4的球时，两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸出的两个球中没有标号为4的球时，要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，即摸出的两个球的标号为2,6)，因此所求概率为C×3×＝.故选D.
3．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该学生被选中的概率是( )
A．C×4×
B．C×5
C．C×4×＋C×5
D．1－C×3×2
解析：选C 该学生被选中包括“该学生做对4道题”和“该学生做对5道题”两种情形．故所求概率为C×4×＋C×5.
4．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)
解析：由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2，3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，取得负数的概率为.三次取数相当于三次独立重复试验．∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
答案：
题组2 二项分布
5．下列随机变量X不服从二项分布的是( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
解析：选B 选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3)．
6．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由题意，知Ck7－k＝Ck＋1·7－k－1，∴C＝C，∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3.
7．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．
解：由题意ξ～B，则
P(ξ＝0)＝C03＝，
P(ξ＝1)＝C12＝，
P(ξ＝2)＝C21＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
题组3 二项分布的应用
8．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
解析：选A 由题意，知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，所以0.4≤p<1，故选A.
9．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为随机变量ξ～B(2，p) ，所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以η～B.则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－4－C3·1＝.故选B.
10.
如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一名儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．
(1)求某个家庭获奖的概率；
(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．
解：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)，共3种情况，
∴P(A)＝×＋×＋×＝.
∴某个家庭获奖的概率为.
(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．
∴X～B.
∴P(X＝0)＝C×0×5＝，
P(X＝1)＝C×1×4＝，
P(X＝2)＝C×2×3＝，
P(X＝3)＝C×3×2＝，
P(X＝4)＝C×4×1＝，
P(X＝5)＝C×5×0＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
[能力提升综合练]
1．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0
A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
解析：选D 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
2．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，则X＝3的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，∴P(X＝3)＝C×2×2＝.
3．已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6名同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为，则该班的男生人数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：选A 设每个小组抽一名同学为男生的概率为p，则由已知得1－(1－p)6＝，即(1－p)6＝，解得p＝，所以每个小组有6×＝4名男生，该班共有4×6＝24名男生．
4．箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( )
A.× B.3×
C．C×3× D．C×3×
解析：选B 取球次数X是一个随机变量，X＝4表明前3次取出的球都是黄球，第4次取出白球．这4次取球，取得黄球的概率相等，且每次取球是相互独立的，所以这是独立重复试验．设A表示“取出的1个球是白球”，则P(A)＝＝，P()＝1－＝，故P(X＝4)＝P(A)＝[P()]3·P(A)＝3×.
5．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为________．
解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C×2×1＝.
答案：
6．如果X～B，Y～B，那么当X，Y变化时，下面关于P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为________．
解析：根据二项分布的特点可知，(xk，yk)分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个．
答案：21
7．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．
解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C12＝，
P(ξ＝2)＝C21＝，
P(ξ＝3)＝C30＝，
所以随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
P
8.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解：设A＝{甲射击一次击中目标}，B＝{乙射击一次击中目标}，则A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)设C＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，
则P(C)＝1－4＝.
(2)设D＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，
∴P(D)＝C·2·2·C·3·＝.
(3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4,5次未击中目标，第3次击中目标，第1,2两次至多一次未击中目标，故所求概率P＝××2＝.
课件35张PPT。谢谢！课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 n次独立重复试验
1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C102 B．C102
C．C92 D．C92
解析：选B 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C·9·2·＝C102.
2．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意得获奖的概率为＝(注：当摸出的两个球中有标号为4的球时，两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸出的两个球中没有标号为4的球时，要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，即摸出的两个球的标号为2,6)，因此所求概率为C×3×＝.故选D.
3．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该学生被选中的概率是( )
A．C×4×
B．C×5
C．C×4×＋C×5
D．1－C×3×2
解析：选C 该学生被选中包括“该学生做对4道题”和“该学生做对5道题”两种情形．故所求概率为C×4×＋C×5.
4．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)
解析：由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2，3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，取得负数的概率为.三次取数相当于三次独立重复试验．∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
答案：
题组2 二项分布
5．下列随机变量X不服从二项分布的是( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
解析：选B 选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3)．
6．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由题意，知Ck7－k＝Ck＋1·7－k－1，∴C＝C，∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3.
7．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．
解：由题意ξ～B，则
P(ξ＝0)＝C03＝，
P(ξ＝1)＝C12＝，
P(ξ＝2)＝C21＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
题组3 二项分布的应用
8．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
解析：选A 由题意，知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，所以0.4≤p<1，故选A.
9．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为随机变量ξ～B(2，p) ，所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以η～B.则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－4－C3·1＝.故选B.
10.
如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一名儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．
(1)求某个家庭获奖的概率；
(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．
解：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)，共3种情况，
∴P(A)＝×＋×＋×＝.
∴某个家庭获奖的概率为.
(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．
∴X～B.
∴P(X＝0)＝C×0×5＝，
P(X＝1)＝C×1×4＝，
P(X＝2)＝C×2×3＝，
P(X＝3)＝C×3×2＝，
P(X＝4)＝C×4×1＝，
P(X＝5)＝C×5×0＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
[能力提升综合练]
1．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
解析：选D 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
2．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，则X＝3的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，∴P(X＝3)＝C×2×2＝.
3．已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6名同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为，则该班的男生人数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：选A 设每个小组抽一名同学为男生的概率为p，则由已知得1－(1－p)6＝，即(1－p)6＝，解得p＝，所以每个小组有6×＝4名男生，该班共有4×6＝24名男生．
4．箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( )
A.× B.3×
C．C×3× D．C×3×
解析：选B 取球次数X是一个随机变量，X＝4表明前3次取出的球都是黄球，第4次取出白球．这4次取球，取得黄球的概率相等，且每次取球是相互独立的，所以这是独立重复试验．设A表示“取出的1个球是白球”，则P(A)＝＝，P()＝1－＝，故P(X＝4)＝P(A)＝[P()]3·P(A)＝3×.
5．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为________．
解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C×2×1＝.
答案：
6．如果X～B，Y～B，那么当X，Y变化时，下面关于P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为________．
解析：根据二项分布的特点可知，(xk，yk)分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个．
答案：21
7．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．
解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C12＝，
P(ξ＝2)＝C21＝，
P(ξ＝3)＝C30＝，
所以随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
P
8.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解：设A＝{甲射击一次击中目标}，B＝{乙射击一次击中目标}，则A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)设C＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，
则P(C)＝1－4＝.
(2)设D＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，
∴P(D)＝C·2·2·C·3·＝.
(3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4,5次未击中目标，第3次击中目标，第1,2两次至多一次未击中目标，故所求概率P＝××2＝.
