第1课时 离散型随机变量的均值
数学选修2－3
2.3 离散型随机变量的均值与方差
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P60～P63的内容，回答下列问题．
(1)某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
提示：由于平均在每1 kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是 kg， kg和 kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．
它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是，和.
(2)什么是权数？什么是加权平均？
提示：权是秤锤，权数是起权衡轻重作用的数值．加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数．
(3)如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？
提示：根据古典概型计算概率的公式可知，在混合糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为，，，即取出的这颗糖果的价格为18元/kg,24元/kg或36元/kg的概率分别为，和.用X表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为
X
18
24
36
P
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率．
2．归纳总结，核心必记
(1)离散型随机变量的均值的概念及性质
①一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
②若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)两点分布与二项分布的均值
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p.
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
[问题思考]
(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？
提示：随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．
(3)对于n个数x1，x2，…，xn，称＝(x1＋x2＋…＋xn)为这n个数的平均数，如何从随机变量的角度看这个问题？
提示：设X为从这n个数中任取的一个数，则X所有可能的取值便为x1，x2，…，xn，P(X＝xi)＝(i＝1，2，…，n)，即X的概率分布列为
X
x1
x2
x3
…
xn
P
…
E(X)＝x1·＋x2·＋x3·＋…＋xn·＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)若随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p为何值？
提示：∵E(X)＝16，∴40p＝16，即p＝＝0.4.
[课前反思]
(1)离散型随机变量的均值：
；
(2)离散型随机变量均值的性质：
(3)两点分布的均值：
(4)二项分布的均值：
知识点1
离散型随机变量的均值
?讲一讲
1．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X的均值．
[尝试解答] 取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(X＝5)＝＝.
P(X＝6)＝＝.
P(X＝7)＝＝.
P(X＝8)＝＝.
随机变量X的分布列为
X
5
6
7
8
P
所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
——————————————————————————
求离散型随机变量的均值的一般步骤：
(1)理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值；
(2)求随机变量取每一个值的概率；
(3)列出随机变量的分布列；
(4)根据均值的计算公式求出E(X)．
?练一练
1．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值．
解：由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
知识点2
离散型随机变量均值的性质
[思考] 若Y＝aX＋b，则E(X)与E(Y)之间有什么关系？
提示：E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
?讲一讲
2．已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
[尝试解答] (1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
法二：由于Y＝2X－3，
所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
—————————————————————————
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．
?练一练
2．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为，z表示6次实验中成功的次数，则z～B，
∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，∴X＝x＋y＝6－z，
∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.
知识点3
两点分布、二项分布的均值
?讲一讲
3．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为，，，且各人回答得正确与否相互之间没有影响．
(1)若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值；
(2)用A表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P(AB)．
[尝试解答] (1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B，则有
P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
由于随机变量ξ～B，则有E(ξ)＝3×＝2.
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．
P(C)＝C×2××××＋××＋××＝，
P(D)＝C×3×××＝，
P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝＝.
——————————————————————————
此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．
?练一练
3．一次单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．
解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则X～B(20,0.9)，Y＝5X.
由二项分布的均值公式得E(X)＝20×0.9＝18.
由随机变量均值的线性性质得E(Y)＝E(5X)＝5×18＝90.
答案：90
知识点4
均值的实际应用
?讲一讲
4．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[思路点拨] (1)利润X可以取6,2,1，－2；(2)利用均值的定义求值；(3)根据平均利润不小于4.73万元建立不等式求解．
[尝试解答] (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(X)≥4.73，
即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
———————————————————————————
解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
?练一练
4．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是，若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额，求E(ξ)．
解：法一：ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝10)＝，P(ξ＝15)＝，P(ξ＝20)＝，P(ξ＝25)＝，P(ξ＝30)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
5
10
15
20
25
30
P
因此E(ξ)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝15.
法二：设Xi为第i名学生获得的“支持”数(i＝1,2,3)，ξi为第i名学生获得的“资助”额(i＝1,2,3)，
则Xi～B，且ξi＝5Xi(i＝1,2,3)，ξ＝ξ1＋ξ2＋ξ3.
因此E(ξ)＝E(ξ1)＋E(ξ2)＋E(ξ3)＝5E(X1)＋5E(X2)＋5E(X3)＝3×5×2×＝15.
—————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————
1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．
2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论
(1)E(C)＝C(C为常数)；
(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；
(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
3．要掌握与离散型随机变量有关的几个问题：
(1)离散型随机变量的均值的求法，见讲1；
(2)离散型随机变量均值的性质，见讲2；
(3)两点分布及二项分布的均值，见讲3；
(4)均值的实际应用，见讲4.
课下能力提升(十四)
[学业水平达标练]
题组1 离散型随机变量的均值
1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是( )
A．0.2 B．0.8 C．1 D．0
解析：选B 因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.
2．一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于( )
A．4 B．5 C．3 D．4.5
解析：选A P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，故E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
3．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：
培训次数
1
2
3
参加人数
5
15
20
(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；
(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．
解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－＝.
(2)由题意知X＝0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
题组2 离散型随机变量均值的性质
4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( )
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A.16 B．11 C．2.2 D．2.3
解析：选A 由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.
5．已知η＝2ξ＋3，且E(ξ)＝，则E(η)＝( )
A. B. C. D.
解析：选C E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.
题组3 两点分布、二项分布的均值
6．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
解析：选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np.故选B.
7．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X，则E(X)＝________.
解析：易知X服从两点分布，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，故E(X)＝.
答案：
8．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为X，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求X＝2时的概率；
(2)求X的均值．
解：(1)依题意知{X＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是，故X＝2时的概率为C22＝.
(2)∵X服从二项分布，即X～B，
∴E(X)＝4×＝.
题组4 均值的实际应用
9．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．
解：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B(4，)．
∴P(ξ＝0)＝C()4＝，P(ξ＝1)＝C()4＝，
P(ξ＝2)＝C()4＝，P(ξ＝3)＝C()4＝，
P(ξ＝4)＝C()4＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)∵ξ～B(4，)，∴E(ξ)＝4×＝2.
又由题意可知η＝2 300－100ξ，
∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100.
即实际支出的数学期望为2 100元．
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[能力提升综合练]
1．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表，则m的值为( )
X
1
2
3
4
P
m
n
A. B. C. D.
解析：选A 由Y＝12X＋7得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，所以E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，又m＋n＋＋＝1，联立解得m＝.故选A.
2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选D 由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，
其中0
＋＝
＝3＋＋＋≥＋2
＝，
当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，
故＋的最小值为.故选D.
3．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为( )
A. B. C. D.
解析：选B 当k＝±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时d＝；当k＝±时，d＝；当k＝±时，d＝；当k为0时，d＝1.由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为
ξ
1
P
所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.
4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用分数表示)．
解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.
解析：由P(X＝0)＝(1－p)(1－p)＝可得p＝，
从而P(X＝1)＝·2＋·C·2＝，
P(X＝2)＝·C2＋·2＝，
P(X＝3)＝·2＝.
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
6．“键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”．
(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；
(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)由题意可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．
记事件A＝{从这些男士和女士中各抽取1人，至少有1人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”}，
则P(A)＝1－＝1－＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＋×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(1)求T的分布列与均值E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解：(1)由统计结果可得T的频率分布为
T(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.
法二：P()＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.
故P(A)＝1－P()＝0.91.
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[学业水平达标练]
题组1 离散型随机变量的均值
1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是( )
A．0.2 B．0.8 C．1 D．0
解析：选B 因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.
2．一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于( )
A．4 B．5 C．3 D．4.5
解析：选A P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，故E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
3．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：
培训次数
1
2
3
参加人数
5
15
20
(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；
(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．
解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－＝.
(2)由题意知X＝0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
题组2 离散型随机变量均值的性质
4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( )
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A.16 B．11 C．2.2 D．2.3
解析：选A 由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.
5．已知η＝2ξ＋3，且E(ξ)＝，则E(η)＝( )
A. B. C. D.
解析：选C E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.
题组3 两点分布、二项分布的均值
6．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
解析：选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np.故选B.
7．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X，则E(X)＝________.
解析：易知X服从两点分布，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，故E(X)＝.
答案：
8．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为X，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求X＝2时的概率；
(2)求X的均值．
解：(1)依题意知{X＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是，故X＝2时的概率为C22＝.
(2)∵X服从二项分布，即X～B，
∴E(X)＝4×＝.
题组4 均值的实际应用
9．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．
解：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B(4，)．
∴P(ξ＝0)＝C()4＝，P(ξ＝1)＝C()4＝，
P(ξ＝2)＝C()4＝，P(ξ＝3)＝C()4＝，
P(ξ＝4)＝C()4＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)∵ξ～B(4，)，∴E(ξ)＝4×＝2.
又由题意可知η＝2 300－100ξ，
∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100.
即实际支出的数学期望为2 100元．
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[能力提升综合练]
1．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表，则m的值为( )
X
1
2
3
4
P
m
n
A. B. C. D.
解析：选A 由Y＝12X＋7得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，所以E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，又m＋n＋＋＝1，联立解得m＝.故选A.
2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选D 由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，
其中0＋＝
＝3＋＋＋≥＋2
＝，
当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，
故＋的最小值为.故选D.
3．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为( )
A. B. C. D.
解析：选B 当k＝±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时d＝；当k＝±时，d＝；当k＝±时，d＝；当k为0时，d＝1.由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为
ξ
1
P
所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.
4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用分数表示)．
解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.
解析：由P(X＝0)＝(1－p)(1－p)＝可得p＝，
从而P(X＝1)＝·2＋·C·2＝，
P(X＝2)＝·C2＋·2＝，
P(X＝3)＝·2＝.
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
6．“键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”．
(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；
(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)由题意可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．
记事件A＝{从这些男士和女士中各抽取1人，至少有1人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”}，
则P(A)＝1－＝1－＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＋×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(1)求T的分布列与均值E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解：(1)由统计结果可得T的频率分布为
T(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.
法二：P()＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.
故P(A)＝1－P()＝0.91.
