第2课时 离散型随机变量的方差
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P64～P67的内容，回答下列问题．
要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.09
0.20
0.31
0.27
0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2
5
6
7
8
9
P
0.01
0.05
0.20
0.41
0.33
(1)E(X1)，E(X2)各为何值？
提示：E(X1)＝8，E(X2)＝8.
(2)能否根据X1和X2的均值来决定派哪名同学参赛？
提示：不能．
(3)除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？
提示：可以用两名同学射击成绩的稳定性来刻画两名同学的射击成绩．
(4)如何定量刻画随机变量的稳定性？
提示：利用样本方差来刻画随机变量的稳定性．
2．归纳总结，核心必记
(1)离散型随机变量的方差、标准差
随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则把D(X)＝(xi－E(X))2pi叫做随机变量X的方差，D(X)的算术平方根叫做随机变量X的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．
(2)服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
①若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
②若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
(3)离散型随机变量方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②D(C)＝0(C是常数)．
[问题思考]
(1)方差与标准差刻画了随机变量的什么特征？
提示：随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散的程度，D(X)(或)越小，稳定性越好，波动越小，显然D(X)≥0(≥0)．
(2)离散型随机变量的方差与标准差的单位相同吗？
提示：不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．
(3)随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差．
[课前反思]
(1)方差的定义：
(2)标准差的定义：
(3)两点分布的方差：
(4)二项分布的方差：
(5)离散型随机变量方差的性质：
知识点1
求离散型随机变量的方差
?讲一讲
1．袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
[尝试解答] (1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又E(Y)＝aE(X)＋b，所以，
当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
—————————————————————————————
求离散型随机变量ξ的方差的步骤：
(1)理解ξ的意义，明确其可能取值；
(2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤；
?练一练
高斯 法国
笛卡尔 挪威
阿贝尔 英国
牛顿 德国
1.在如右图形中，左边为国外的著名数学家，右边为国籍，一位数学教师为了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列及其数学期望、方差．
解：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.
知识点2
常见分布的方差
?讲一讲
2．(1)抛掷一枚硬币1次，正面向上得1分，反面向上得0分．用ξ表示抛掷一枚硬币的得分数，求E(ξ)，D(ξ)；
(2)某人每次投篮时投中的概率都是.若投篮10次，求他投中的次数ξ的均值和方差；
(3)5件产品中含有2件次品，从产品中选出3件，所含的次品数设为X，求X的分布列及其均值、方差．
[尝试解答] (1)ξ服从两点分布，抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，所以E(ξ)＝，D(ξ)＝.
(2)ξ～B，所以E(ξ)＝10×＝5.
D(ξ)＝10××＝.
(3)X可能取的值是0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.2.
D(X)＝(0－1.2)2×＋(1－1.2)2×＋(2－1.2)2×＝0.36.
——————————————————————
由于两点分布、二项分布的方差已有现成的计算公式，所以在计算服从这些常见分布的随机变量的方差时，既可以利用定义进行计算，也可以代入它们的计算公式直接求解，很显然后一种方法不但计算量小而且准确率高，但使用后一种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常见的分布．
?练一练
2．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解：由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0.1，…，n.
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，
得P(A)＝＋＋＋＝，
所以需要补种沙柳的概率为.
知识点3
离散型随机变量的均值与方差的应用
?讲一讲
3．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表所示．
A机床
次品数X1
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
概率P
0.8
0.06
0.04
0.10
问哪一台机床加工的质量较好？
[尝试解答] 由表中数据可知，E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
所以它们的期望相同，再比较它们的方差．
D(X1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，
D(X2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10
＝0.926 4.
因为0.606 4<0.926 4，所以A机床加工的质量较好．
——————————————————————
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差，分析谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定．
?练一练
3．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量．
解：∵由题意得E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，
∴D(X1)————————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是方差的计算及方差的应用，难点是方差的应用．
2．要掌握方差的三个问题：
(1)方差的计算，见讲1；
(2)常见分布的方差，见讲2；
(3)均值与方差的实际应用，见讲3.
3．通常在求离散型随机变量的均值与方差时，先分析随机变量的分布特征，看其是否为常用的特殊分布．如果是，就直接用公式求解；如果不是，则按求均值与方差的基本方法进行求解．
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 求离散型随机变量的方差
1．已知随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
若E(X)＝，则D(X)的值是( )
A. B. C. D.
解析：选C 由分布列的性质可知a＋b＋＝1，∴a＋b＝.又E(X)＝－a＋＝，解得a＝，b＝，
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，求D(X)．
解：由题知X＝6,9,12.
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝.
∴X的分布列为
X
6
9
12
P
∴E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
题组2 常见分布的方差
3．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差D(X)＝( )
A. B. C. D.
解析：选A 显然X服从两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.故X的分布列为
X
0
1
P
所以E(X)＝，故D(X)＝×＝.
4．已知一批产品中有12件正品，4件次品，有放回地任取4件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝( )
A. B. C. D.
解析：选B 由题意，可知每次取得次品的概率都为，X～B，则D(X)＝4××＝.
5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为( )
A．8 B．12
C. D．16
解析：选A 由题意可知X～B，
∴E(X)＝n＝24.
∴n＝36.
∴D(X)＝36××＝8.
6．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．
解：(1)易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B，
∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.
(2)由已知得Y＝30X，
∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.
题组3 离散型随机变量的均值与方差的应用
7．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(甲得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
解析：选A E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X＜700
700≤X＜900
X≥900
工期延误
天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解：(1)由已知条件和概率的加法公式有
P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.
故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
[能力提升综合练]
1．若ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)＝( )
A．3×2－2 B．3×2－10
C．2－4 D．2－8
解析：选B 由E(ξ)＝np＝6，D(ξ)＝np(1－p)＝3，得p＝，n＝12，所以p(ξ＝1)＝C12＝＝3×2－10.故选B.
2．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A. B.
C．3 D.
解析：选C 由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，
所以
解得x1＝1，x2＝2x1＝，x2＝舍去，
所以x1＋x2＝3，故选C.
3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________．
解析：由分布列的性质可知p∈，则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.∵D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－2＋，又p∈，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1.
答案： 1
4．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则下列结论正确的个数是________．
①E(X)＝－；②E(X＋4)＝－；③D(X)＝；
④D(3X＋1)＝5；⑤P(X>0)＝.
解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，E(X＋4)＝，故①正确，②错误．D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故③错误，④正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝，故⑤错误．
答案：2
5．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)．
所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3.
课件32张PPT。谢谢！课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 求离散型随机变量的方差
1．已知随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
若E(X)＝，则D(X)的值是( )
A. B. C. D.
解析：选C 由分布列的性质可知a＋b＋＝1，∴a＋b＝.又E(X)＝－a＋＝，解得a＝，b＝，
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，求D(X)．
解：由题知X＝6,9,12.
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝.
∴X的分布列为
X
6
9
12
P
∴E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
题组2 常见分布的方差
3．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差D(X)＝( )
A. B. C. D.
解析：选A 显然X服从两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.故X的分布列为
X
0
1
P
所以E(X)＝，故D(X)＝×＝.
4．已知一批产品中有12件正品，4件次品，有放回地任取4件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝( )
A. B. C. D.
解析：选B 由题意，可知每次取得次品的概率都为，X～B，则D(X)＝4××＝.
5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为( )
A．8 B．12
C. D．16
解析：选A 由题意可知X～B，
∴E(X)＝n＝24.
∴n＝36.
∴D(X)＝36××＝8.
6．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．
解：(1)易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B，
∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.
(2)由已知得Y＝30X，
∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.
题组3 离散型随机变量的均值与方差的应用
7．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(甲得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
解析：选A E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X＜700
700≤X＜900
X≥900
工期延误
天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解：(1)由已知条件和概率的加法公式有
P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.
故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
[能力提升综合练]
1．若ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)＝( )
A．3×2－2 B．3×2－10
C．2－4 D．2－8
解析：选B 由E(ξ)＝np＝6，D(ξ)＝np(1－p)＝3，得p＝，n＝12，所以p(ξ＝1)＝C12＝＝3×2－10.故选B.
2．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A. B.
C．3 D.
解析：选C 由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，
所以
解得x1＝1，x2＝2x1＝，x2＝舍去，
所以x1＋x2＝3，故选C.
3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________．
解析：由分布列的性质可知p∈，则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.∵D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－2＋，又p∈，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1.
答案： 1
4．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则下列结论正确的个数是________．
①E(X)＝－；②E(X＋4)＝－；③D(X)＝；
④D(3X＋1)＝5；⑤P(X>0)＝.
解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，E(X＋4)＝，故①正确，②错误．D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故③错误，④正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝，故⑤错误．
答案：2
5．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)．
所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3.
