第2课时 函数的极值与导数
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P26～P29的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P27图1.3－8，函数y＝h(t)在t＝a处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？y＝h(t)在此处的导数值是多少？在这个点的附近，y＝h(t)的导数的符号有什么规律？
提示：函数y＝h(t)在t＝a处的函数值比它附近的函数值都大，此处的导数为0，左侧h′(t)>0，右侧h′(t)<0.
(2)观察教材P27图1.3－10和图1.3－11，函数y＝f(x)在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？y＝f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
提示：函数y＝f(x)在a，c，e，g的函数值比它附近的函数值都小，在b，d，f，h处的函数值比它附近的函数值都大；y＝f(x)在这些点的导数值都是0；在a，c，e，g点的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0；在b，d，f，h点的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
2．归纳总结，核心必记
(1)极值点与极值
①极小值点与极小值
如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
②极大值点与极大值
函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③极值点与极值
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
(2)求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
[问题思考]
(1)函数的极大值一定大于极小值吗？
提示：不一定，课本P27图1.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．
(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？
提示：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点. x1、x3是极大值点．
(3)已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？
提示：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．
(4)导数为0的点都是极值点吗？
提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
(5)函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？
提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．
[课前反思]
(1)函数的极大值、极小值的定义是：
(2)函数的极大值点、极小值点的定义是：
(3)求函数y＝f(x)的极值的方法是什么？
.
知识点1
求函数的极值
??讲一讲
1．(链接教材P28－例4)求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x2e－x; (2)y＝.
[尝试解答] (1)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.
(2)函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
y′＝.令y′＝0，即＝0，得x＝e.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
由表可知，当x＝e时，函数有极大值.
类题·通法
求可导函数f(x)的极值的步骤为：
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的导数f′(x)；
(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间 内的变化情况列在一个表格内；
(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
??练一练
1．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝－2.
解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．
∴f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6.
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝
＝.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可以看出：
当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
知识点2
已知函数的极值求参数
??讲一讲
2．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
[尝试解答] ∵y＝f(x)在x＝－1时有极值为0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
∴即
解得或
①当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
y＝f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
②当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知，f(x)在x＝－1处取极小值且f(－1)＝0.
∴a＝2，b＝9.
类题·通法
解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否满足函数取得极值的条件．
??练一练
2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①
3a－2b＋c＝0，②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时f′(x)>0，当－1
知识点3
含参数的函数的极值问题
??讲一讲
3．求函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的极值．
[思路点拨] 分类讨论a取不同值时，函数的单调性，进而求极值．
[尝试解答] f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)的极大值为f(－)＝2a＋b，
极小值为f()＝－2a＋b.
类题·通法
利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论．
??练一练
3．设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为(1－m,1＋m)．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)
＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数．难点是含参数的函数的极值问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求函数的极值，见讲1；
(2)已知函数的极值求参数，见讲2；
(3)含参数的函数极值问题的求解，见讲3.
3．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反，这是本节课的易错点．
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 求函数的极值
1．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析：选D 由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：
∴函数f(x)在x＝2处取得极小值，则a＝2.故选D.
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
解析：选C 由y′＝3x2－6x－9＝0，
得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；
当－1∴当x＝－1时，函数有极大值5；
3?(－2,2)，故无极小值．
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，
则下列说法中不正确的序号是________．
①当x＝时，函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
解析：由题图知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点，分别为1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
答案：①
题组2 已知函数的极值求参数
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：选A f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
5．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．b<1 B．b>1 C．0解析：选C f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有00，符合题意．所以实数b的取值范围是06．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
题组3 含参数的函数的极值问题
7．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当a>0时，x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，g(x)的单调增区间为，
单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当01，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a>时，0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.
8．已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极大值与极小值的差．
解：y′＝3x2＋6ax＋3b.
∵x＝2是函数的极值点，
∴12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0，①
又图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
∴y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，
即2a＋b＋2＝0.②
由①②解得a＝－1，b＝0，
此时y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．
(1)令y′>0，即3x(x－2)>0，解得x<0或x>2，
令y′<0，即3x(x－2)<0，解得0∴函数的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
(2)由(1)可知x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，
∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.
[能力提升综合练]
1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：选A 因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－22．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
解析：选A 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－，故选A.
3．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
解析：选D f′(x)＝3x2－2a，
∵f(x)在(0,1)内有极小值没有极大值，
∴?即04.
已知可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)(如图)，设F(x)＝f(x)－g(x)，则( )
A．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极大值点
B．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点
C．F′(x0)≠0，x＝x0不是F(x)的极值点
D．F′(x0)≠0，x＝x0是F(x)的极值点
解析：选B 由题图知可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线为l：y＝g(x)，又F(x)＝f(x)－g(x)在x0处先减后增，∴F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点．故选B.
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
6．若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝x2－ln x＋1的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－·＝，
∵函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，
∴f′(x)＝在区间(a－1，a＋1)上有零点，
而f′(x)＝的零点为，
故∈(a－1，a＋1)，故a－1<故实数a的取值范围为.
答案：
7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．求函数f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点．
解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；
在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，所以或
即或解得a<－4或a>0，
所以当a>0或a<－4时，函数f(x)恰有一个零点．
课件32张PPT。点x＝a附近其他点 ＜ ＞ 点a f(a) 点x＝b附近其他点 ＜ 点b f(b) 极小值点 极大值点 极大值 极小值 ＞ 极大值 极小值 求函数的极值 已知函数的极值求参数 含参数的函数的极值问题 谢谢！课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 求函数的极值
1．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析：选D 由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：
∴函数f(x)在x＝2处取得极小值，则a＝2.故选D.
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
解析：选C 由y′＝3x2－6x－9＝0，
得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；
当－1∴当x＝－1时，函数有极大值5；
3?(－2,2)，故无极小值．
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，
则下列说法中不正确的序号是________．
①当x＝时，函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
解析：由题图知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点，分别为1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
答案：①
题组2 已知函数的极值求参数
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：选A f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
5．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．b<1 B．b>1 C．0解析：选C f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有00，符合题意．所以实数b的取值范围是06．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
题组3 含参数的函数的极值问题
7．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当a>0时，x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，g(x)的单调增区间为，
单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当01，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a>时，0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.
8．已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极大值与极小值的差．
解：y′＝3x2＋6ax＋3b.
∵x＝2是函数的极值点，
∴12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0，①
又图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
∴y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，
即2a＋b＋2＝0.②
由①②解得a＝－1，b＝0，
此时y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．
(1)令y′>0，即3x(x－2)>0，解得x<0或x>2，
令y′<0，即3x(x－2)<0，解得0∴函数的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
(2)由(1)可知x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，
∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.
[能力提升综合练]
1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：选A 因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－22．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
解析：选A 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－，故选A.
3．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
解析：选D f′(x)＝3x2－2a，
∵f(x)在(0,1)内有极小值没有极大值，
∴?即04.已知可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)(如图)，设F(x)＝f(x)－g(x)，则( )
A．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极大值点
B．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点
C．F′(x0)≠0，x＝x0不是F(x)的极值点
D．F′(x0)≠0，x＝x0是F(x)的极值点
解析：选B 由题图知可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线为l：y＝g(x)，又F(x)＝f(x)－g(x)在x0处先减后增，∴F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点．故选B.
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
6．若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝x2－ln x＋1的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－·＝，
∵函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，
∴f′(x)＝在区间(a－1，a＋1)上有零点，
而f′(x)＝的零点为，
故∈(a－1，a＋1)，故a－1<故实数a的取值范围为.
答案：
7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．求函数f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点．
解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；
在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，所以或即或解得a<－4或a>0，
所以当a>0或a<－4时，函数f(x)恰有一个零点．
