[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P38～P47的内容，回答下列问题．
观察教材P39图1.5－2，阴影部分是由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形．
(1)通常称这样的平面图形为什么图形？
提示：曲边梯形．
(2)如何求出所给平面图形的面积近似值？
提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和．
(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?
提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．
2．归纳总结，核心必记
(1)连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数．
(2)曲边梯形的面积
①曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
②求曲边梯形面积的方法与步骤：
(ⅰ)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
(ⅱ)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
(ⅲ)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
(ⅳ)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
(3)求变速直线运动的位移(路程)
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移S.
(4)定积分
①定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
②定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分f(x)dx的几何意义．
③定积分的基本性质
(ⅰ)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(ⅱ)[f1(x)±f2(x)]dx＝
f1(x)dx±f2(x)dx；
(ⅲ)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
[问题思考]
(1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？
提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？
提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小．
(3)在“近似代替”中，如果取任意ξi∈处的函数值f(ξi)作为近似值，求出的S有变化吗？
提示：没有变化．
(4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？
提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
(5)f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx与积分变量有关系吗？
提示：由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
(6)在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)<0，f(x)dx表示什么？
提示：如果在区间[a，b]上，函数f(x)<0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，
由于Δxi>0，f(ξi)<0，
故f(ξi)·Δxi<0，从而定积分f(x)dx<0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，
即f(x)dx<0＝－S或S＝－f(x)dx<0.
(7) dx的几何意义是什么？
提示：是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的圆的面积即dx＝π.
[课前反思]
(1)连续函数的定义是什么？
(2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么？
(3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么？
(4)定积分的概念、几何意义是什么？有哪些基本性质？
.
知识点1
求曲边梯形的面积
??讲一讲
1.如图所示，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．
(提示：12＋22＋32＋…＋n2＝n·(n＋1)(2n＋1))
[尝试解答] (1)如图，分割，将区间[0,3]n等分，则每个小区间(i＝1,2，…，n)的长度为Δx＝.分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)近似代替
以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．
则当n很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.
(3)求和
Sn＝Δx
＝×
＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9
＝－×(n－1)n(2n－1)＋×＋9
＝－9＋9＋9.
所以S≈Sn＝－9＋9＋9.
(4)取极限
S＝ Sn＝
＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9，
即所求曲边梯形的面积为9.
类题·通法
求曲边梯形面积的思想和步骤
(1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积；“逐步逼近”，即用n个小矩形的面积的和Sn来逼近曲边梯形的面积S.
(2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限．
??练一练
1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
解：因为y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2(x≥0)围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]n等分，则Δx＝，取ξi＝.
(2)近似代替求和
Sn＝2·＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝.
(3)取极限
S＝Sn＝ ＝.所以所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.所以2S阴影＝，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.
知识点2
求变速直线运动的路程
[思考] 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处？
名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程．
??讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成n个小区间，第 i个小区间为(i＝1,2，…，n)．
第i个时间区间的路程的近似值为
Δξi≈Δξi′＝v(t)·＝v·
＝＋＋，
于是Sn＝ξi＝
＝n·＋·(0＋1＋2＋…＋n－1)＋[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝3＋·＋·
＝3＋＋.
所以S＝li Sn＝li 3＋＋1－1－＝.
所以这段时间行驶的路程为 km.
类题·通法
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．
??练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割．
将时间区间[0，t]等分成n个小区间，其中第i个区间为(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各小区间内物体下落的距离，记作ΔSi.
②近似代替．
在上取ξi＝t，则v(ξi)＝g·t，因此在每个小区间内所经过的距离可近似表示为ΔSi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．
③求和．
Si≈·t·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝gt2.
④取极限．
S＝ligt2＝gt2.
知识点3
求定积分
??讲一讲
3．求下列定积分的值：
(1) (x＋1)dx；
(2)dx.
[尝试解答] (1)法一：(定义法)f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间1＋，1＋(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx＝，
在上取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
∴f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，
∴(ξi)·Δx＝·
＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋＝2＋－＝－，
∴ (1＋x)dx＝ ＝.
法二：(几何意义)
(x＋1)dx表示如图所示阴影部分的面积．由于梯形的面积S＝(2＋3)×1＝，故 (x＋1)dx＝.
(2)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心、以3为半径的上半圆如图所示，
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知
dx＝π.
类题·通法
(1)用定义求定积分f(x)dx的一般方法是：
①分割：将区间[a，b]n等分，记第i个小区间为[xi－1，xi]，区间长度Δx＝xi－xi－1；
②近似代替、求和：取点ξi∈[xi－1，xi]，f(x)dx≈(ξi)Δx；
③取极限：f(x)dx＝(ξi)Δx.
(2)利用几何意义求定积分的方法
利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
??练一练
3．求下列定积分的值：
(1) 2dx；(2) xdx；
(3)dx.
解：(1) 2dx表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，
所以2dx＝2.
(2) xdx表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，
所以xdx＝.
(3) dx表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为，
所以dx＝.
知识点4
定积分性质的应用
??讲一讲
4．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，＝，求下列各式的值：
(1)(3x3)dx；
(2)(6x2)dx；
(3)(3x2－2x3)dx.
[尝试解答] (1)(3x3)dx＝3x3dx
＝3
＝3×＝12.
(2)(6x2)dx＝6x2dx
＝6
＝6×＝126.
(3)(3x2－2x3)dx
＝(3x2)dx－(2x3)dx
＝3x2dx－2x3dx
＝3×－2×
＝－.
类题·通法
(1)定积分性质的推广
① [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx
＝f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx；
②f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋…＋f(x)dx(其中n∈N*)．
(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
①若奇函数y＝f(x)在[－a，a]上连续，
则f(x)dx＝0；
②若偶函数y＝g(x)在[－a，a]上连续，
则g(x)dx＝2g(x)dx.
??练一练
4．已知 [f(x)＋g(x)]dx＝12，g(x)dx＝6，求3f(x)dx.
解：∵f(x)dx＋g(x)dx
＝ [f(x)＋g(x)]dx，
∴f(x)dx＝12－6＝6，
∴3f(x)dx＝3f(x)dx＝3×6＝18.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质，难点是定积分的概念．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)会用定义或定积分的几何意义求定积分，见讲3；
(2)会用定积分的性质求定积分，见讲4.
3．在利用定积分的几何意义求定积分时，要注意积分上、下限及积分函数f(x)的符号，这是本节课的易错点．
课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组1 求曲边梯形的面积
1．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间长度均为，故第i－1个区间为.
2．已知某物体运动的速度为v＝t3，t∈[0,1]，若把区间4等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的近似值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D S≈×＝＝.
3．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
解：(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间，记第i个区间为(i＝1,2…，n)，其长度为Δx＝－＝.每个小区间对应的小曲边梯形的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形的和为S＝Si.
(2)近似代替：因为1＋< <1＋，所以可用f近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔSi可用以f为高，为底边长的小矩形的面积ΔSi′近似代替．
即ΔSi≈ΔSi′＝
＝·
＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
Sn＝Si′＝
＝＋＋…＋
＝n
＝n·
＝，
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限：当n趋向于无穷大时，Sn越来越趋向于S，所以S＝＝.所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
题组2 求变速直线运动的路程
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A. B. C. 1 D.
解析：选B 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
5．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，求a的值．
解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为，(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得 ＝9，∴＝9，解得a＝3.
题组3 定积分的计算及性质
6．定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选A 由定积分的几何意义知，(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故(－3)dx＝－6.
7．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
解析：选D 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx 的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图像上方．故选D.
8．S1＝xdx与S2＝x2dx的大小关系是( )
A．S1＝S2 B．S＝S2
C．S1>S2 D．S1解析：选C xdx表示由直线x＝0，x＝1，y＝x及x轴所围成的图形的面积，而x2dx表示的是由曲线y＝x2与直线x＝0，x＝1及x轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y＝x在曲线y＝x2的上方，所以S1>S2.
9．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.
解析：由定积分的性质可知(x2＋1)dx
＝x2dx＋1dx＝x2dx＋x2dx＋2
＝＋＋2＝.
答案：
10．用定积分的几何意义计算下列定积分：
解：(1)
表示图(1)中阴影部分的面积，而S＝＝，
从而＝.
(2)令y＝＋2，则y＝＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，
(＋2)dx表示图(2)中阴影部分的面积．
∴(＋2)dx＝8＋2π.
[能力提升综合练]
1．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( )
A．2 B．－3 C．－1 D．4
解析：选C [2f(x)＋g(x)]dx
＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
2．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．
3．若，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为________．
解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形面积等于g(x)＝cos x，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝sin xdx＝2.
答案：2
4.－2(sin x＋2x)dx＝________.
解析：由定积分的性质可得－2(sin x＋2x)dx＝－2 sin xdx＋－22xdx，又y＝sin x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.
答案：0
5.dx＝________.
解析：由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2Sin ＝－.
S矩形＝AB·BC＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
答案：＋
6．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．
解：由定积分的几何意义知：
∵f(x)＝x5是奇函数，故－1x5dx＝0；
∫ sin xdx＝0(如图(1)所示)；
xdx＝(1＋π)(π－1)＝(π2－1)(如图(2)所示)．
∴f(x)dx＝－1x5dx＋1xdx＋∫Sin xdx
＝(π2－1)．
7．计算(－x3)dx的值．
解：如图，
由定积分的几何意义，得dx＝＝，x3dx＝0.由定积分的性质，得(－x3)dx
＝dx－x3dx＝.
课件42张PPT。连续 y＝0 小曲边梯形 矩形 近似值 近似值 分割 近似代替 求和 取极限 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 f(x)≥0 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 y＝f(x) 求曲边梯形的面积 求变速直线运动的路程 求定积分 定积分性质的应用 谢谢！课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组1 求曲边梯形的面积
1．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间长度均为，故第i－1个区间为.
2．已知某物体运动的速度为v＝t3，t∈[0,1]，若把区间4等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的近似值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D S≈×＝＝.
3．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
解：(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间，记第i个区间为(i＝1,2…，n)，其长度为Δx＝－＝.每个小区间对应的小曲边梯形的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形的和为S＝Si.
(2)近似代替：因为1＋< <1＋，所以可用f近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔSi可用以f为高，为底边长的小矩形的面积ΔSi′近似代替．
即ΔSi≈ΔSi′＝
＝·
＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
Sn＝Si′＝
＝＋＋…＋
＝n
＝n·
＝，
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限：当n趋向于无穷大时，Sn越来越趋向于S，所以S＝＝.所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
题组2 求变速直线运动的路程
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A. B. C. 1 D.
解析：选B 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
5．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，求a的值．
解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为，(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得 ＝9，∴＝9，解得a＝3.
题组3 定积分的计算及性质
6．定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选A 由定积分的几何意义知，(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故(－3)dx＝－6.
7．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
解析：选D 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx 的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图像上方．故选D.
8．S1＝xdx与S2＝x2dx的大小关系是( )
A．S1＝S2 B．S＝S2
C．S1>S2 D．S1解析：选C xdx表示由直线x＝0，x＝1，y＝x及x轴所围成的图形的面积，而x2dx表示的是由曲线y＝x2与直线x＝0，x＝1及x轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y＝x在曲线y＝x2的上方，所以S1>S2.
9．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.
解析：由定积分的性质可知(x2＋1)dx
＝x2dx＋1dx＝x2dx＋x2dx＋2
＝＋＋2＝.
答案：
10．用定积分的几何意义计算下列定积分：
解：(1)
表示图(1)中阴影部分的面积，而S＝＝，
从而＝.
(2)令y＝＋2，则y＝＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，
(＋2)dx表示图(2)中阴影部分的面积．
∴(＋2)dx＝8＋2π.
[能力提升综合练]
1．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( )
A．2 B．－3 C．－1 D．4
解析：选C [2f(x)＋g(x)]dx
＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
2．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．
3．若，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为________．
解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形面积等于g(x)＝cos x，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝sin xdx＝2.
答案：2
4.－2(sin x＋2x)dx＝________.
解析：由定积分的性质可得－2(sin x＋2x)dx＝－2 sin xdx＋－22xdx，又y＝sin x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.
答案：0
5.dx＝________.
解析：由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2Sin ＝－.
S矩形＝AB·BC＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
答案：＋
6．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．
解：由定积分的几何意义知：
∵f(x)＝x5是奇函数，故－1x5dx＝0；
∫ sin xdx＝0(如图(1)所示)；
xdx＝(1＋π)(π－1)＝(π2－1)(如图(2)所示)．
∴f(x)dx＝－1x5dx＋1xdx＋∫Sin xdx
＝(π2－1)．
7．计算(－x3)dx的值．
解：如图，
由定积分的几何意义，得dx＝＝，x3dx＝0.由定积分的性质，得(－x3)dx
＝dx－x3dx＝.
