数学选修2－2
1.6 微积分基本定理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P51～P54的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，设这个物体在时间段[a，b]内的位移为S.
①由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)与y(t)之间有什么关系？
提示：v(t)＝y′(t)．
②如何利用y＝y(t)表示物体在t∈[a，b]上的位移S?
提示：S＝y(b)－y(a)．
③若v(t)表示物体在任意时刻t的速度，如何用v(t)求物体在t∈[a，b]上的位移S?
提示：S＝v(t)dt.
④由①②③能否得出结论S＝v(t)dt＝y′(t)dt＝y(b)－y(a)成立？
提示：能．
(2)计算定积分Sin xdx，Sin xdx，Sin xdx，由计算结论你能发现什么规律？
提示：Sin xdx＝2，Sin xdx＝－2， Sin xdx＝0. 即定积分的值可正， 可负，还可能为0.
(3)根据Sin xdx，Sin xdx和Sin xdx值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．
提示：当曲边梯形在x轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在x轴下方时，定积分的值取负值；当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.
2．归纳总结，核心必记
(1)微积分基本定理
内容
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．
符号
f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).
(2)定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则
①当曲边梯形在x轴上方时，如图(1)，则f(x)dx＝S上．
②当曲边梯形在x轴下方时，如图(2)，则f(x)dx＝－S下．
③当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.
[问题思考]
(1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？
提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．
(2)如果f(x)dx＝g(x)dx，那么是否一定有f(x)＝g(x)？请举例说明．
提示：不一定，例如：当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，2xdx＝3x2dx，但f(x)≠g(x)．
(3)如图，如何用阴影面积S1，S2，S3表示定积分f(x)dx的值？
提示：f(x)dx＝S1－S2＋S3.
(4)你认为f(x)dx，|f(x)|dx和有什么不同？
提示：①f(x)dx表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a②是非负的，所以|f(x)|dx表示在区间[a，b]上所有以的图象为曲边的曲边梯形的面积和；
③则是f(x)dx的绝对值．
三者的值一般情况下是不同的，但对于f(x)≥0，x∈[a，b]，三者的值是相同的．
[课前反思]
(1)微积分基本定理的内容是什么？
(2)定积分与曲边梯形的面积有什么关系？
知识点1
求简单函数的定积分
[思考1] 如何利用微积分基本定理求函数f(x)在[a，b]上的定积分f(x)dx?
名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤：
(1)求f(x)的一个原函数F(x)；
(2)计算F(b)－F(a)．
[思考2] 我们知道，已知函数f(x)，则满足F′(x)＝f(x)的函数y＝F(x)不唯一，那么f(x)dx的值唯一吗？
名师指津：由于f(x)dx＝F(b)－F(a)，且f(x)的原函数间相差一个常数，在计算时，不影响F(b)－F(a)的值，故f(x)dx是唯一的．
?讲一讲
1．(链接教材P53－例1)计算下列定积分．
(1)(x3－2x)dx； (2)∫0(x＋coS x)dx；
(3)∫0Sin2dx; (4)dx.
[尝试解答] (1)∵′＝x3－2x，
∴(x3－2x)dx＝＝－.
(2)∵′＝x＋coS x，
∴∫0(x＋coS x)dx＝＝＋1.
(3)Sin2＝，
而′＝－coS x，
∴∫0Sin2dx＝∫0dx
＝＝－＝.
(4)∵f(x)＝＝－，
且[ln x－ln(x＋1)]′＝－，
∴dx＝dx
＝[ln x－ln(x＋1)]＝ln .
类题·通法
用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．
?练一练
1．计算下列定积分．
(1)－2(1－t3)dt；(2)－π(coS x＋ex)dx；
(3)(1＋)dx；(4)dx；
(5)∫－coS2xdx.
解：(1)∵′＝1－t3，
∴－2(1－t3)dt＝
＝－＝.
(2)∵(Sin x＋ex)′＝coS x＋ex，
∴－π(coS x＋ex)dx＝(Sin x＋ex)
＝(0＋1)－(0＋e－π)＝1－e－π.
(3)原式＝(＋x)dx
＝xdx＋xdx.
∵′＝x，′＝x，
∴xdx＋xdx
＝x＋x2＝.
(4)∵[ln(3x＋2)]′＝，
∴dx＝ln(3x＋2)
＝ln(3e＋2)－ln(3×0＋2)＝ln .
(5)原式＝∫－coS2xdx＝∫－dx
∵′＝，
∴∫－coS2xdx＝
＝＋Sin π－
＝.
知识点2
求分段函数的定积分
[思考] f(x)dx、f(x)dx、f(x)dx(其中a名师指津：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a?讲一讲
2．求函数f(x)＝在区间[0,3]上的积分．
[尝试解答] 由积分性质，得：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋dx＋2xdx
＝x3dx＋xdx＋2xdx
＝＋x＋
＝＋－＋－
＝－＋＋.
类题·通法
分段函数定积分的求法
求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分．
?练一练
2．计算定积分|x＋3|dx.
解：因为f(x)＝|x＋3|＝
所以|x＋3|dx
＝(－x－3)dx＋(x＋3)dx
＝＋＝5.
知识点3
根据定积分求参数
?讲一讲
3．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．
[思路点拨] 分别求出f(x)dx和f(x0)的值，然后利用二者相等建立关于x0的方程求解．
[尝试解答] 因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且′＝ax2＋c，所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．即x0的值为.
类题·通法
利用定积分求参数应注意的问题
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．
?练一练
3．设f(x)＝ax＋b，且－1[f(x)]2dx＝1，求f(a)的取值范围．
解：由－1[f(x)]2dx＝1可得，－1(ax＋b)2dx＝(a2x2＋2abx＋b2)dx＝＝1，
即2a2＋6b2＝3，则b2＝≤＝，
即－≤b≤.
于是f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋
＝－32＋，
所以－≤f(a)≤.
即f(a)的取值范围为.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是利用微积分基本定理求定积分，难点是根据定积分求参数．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用微积分基本定理求定积分，见讲1和讲2；
(2)根据定积分求参数的值(或取值范围)，见讲3.
3．正确确定原函数是利用微积分基本定理求定积分的关键，也是本节课的易错点．
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 求简单函数的定积分
1.(x－1)dx等于( )
A．－1 B．1 C．0 D．2
解析：选C (x－1)dx＝＝×22－2＝0.
2.(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
解析：选C (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－e0＝e.
3．∫－(1＋coS x)dx＝( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
解析：选D ∵(x＋Sin x)′＝1＋coS x，
∴(1＋coS x)dx＝(x＋Sin x)－＝π＋2.
4．计算定积分1－1(x2＋Sin x)dx＝________.
解析：(x2＋Sin x)dx＝＝.
答案：
题组2 求分段函数的定积分
5．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B. C. D．不存在
解析：选C f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋4－2－2＋＝.
6．计算下列定积分：
(1)|x－3|dx；
(2)若f(x)＝求f(x)dx.
解：(1)∵|x－3|＝
∴|x－3|dx＝|x－3|dx＋|x－3|dx
＝(3－x)dx＋(x－3)dx
＝＋
＝＋＝.
(2)由已知∫－1f(x)dx＝－1x2dx＋∫0(coS x－1)dx
＝x3＋(Sin x－x)0
＝＋＝－.
题组3 根据定积分求参数
7．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选D dx＝(x2＋ln x)
＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.
∴∴a＝2.
8．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，得a3＝1，a＝1.
答案：1
9．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
解析：(kx＋1)dx＝＝(2k＋2)－k＋1＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
答案：
10．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴a＋b＋c＝0.
∵f′(x)＝2ax＋b，①
∴f′(0)＝b＝2.②
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得∴f(x)＝－x2＋2x－.
[能力提升综合练]
1．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝( )
A．9 B．12 C．15 D．18
解析：选C [f(x)＋6]dx＝f(x)dx＋6dx＝3＋6x＝3＋12＝15.
2．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则( )
A. B. C. D.
解析：选A ∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx
＝＝.
3．若y＝(Sin t＋coS t·Sin t)dt，则y的最大值是( )
A．1 B．2 C．－1 D．0
解析：选B y＝(Sin t＋coS t·Sin t)dt＝Sin tdt＋dt＝－coS t－coS2t＝－coS x＋1－(coS 2x－1)＝－coS 2x－coSx＋＝－coS2x－coS x＋＝－(coS x＋1)2＋2≤2.
4．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于( )
A．－1 B．－ C. D．1
解析：选B 因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，
所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，
所以c＝2f(x)dx＝2(x2＋c)dx＝2，
解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx
＝dx＝＝－.
5.(4－2x)(4－3x2)dx＝________.
解析：(4－2x)(4－3x2)dx＝(16－12x2－8x＋6x3)dx＝＝8.
答案：8
6．若f(x)＝则－1f(x)dx＝________.
解析：－1f(x)dx＝－1x2dx＋(Sin x－1)dx
＝x3＋(－coS x－x)＝－coS 1.
答案：－coS 1
7．计算下列定积分．
(1)(|2x＋3|＋|3－2x|)dx；(2)dx.
解：(1)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
∴(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝(－4x)dx＋6dx＋4xdx
＝－2x2－－3＋6x－＋2x23
＝(－2)×2－(－2)×(－3)2＋6×－6×＋2×32－2×2＝45.
(2)dx＝2xdx－dx
＝－2＝－(2－2)＝－2.
8．已知f(x)＝－a(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
解：∵f(x)＝－a(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
∴F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，
∴当a＝－1时，F(a)最小值＝1.
课件32张PPT。f(x) F(b)－F(a) F(b)－F(a) 0 求简单函数的定积分 求分段函数的定积分 根据定积分求参数 谢谢！
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 求简单函数的定积分
1.(x－1)dx等于( )
A．－1 B．1 C．0 D．2
解析：选C (x－1)dx＝＝×22－2＝0.
2.(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
解析：选C (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－e0＝e.
3．∫－(1＋coS x)dx＝( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
解析：选D ∵(x＋Sin x)′＝1＋coS x，
∴(1＋coS x)dx＝(x＋Sin x)－＝π＋2.
4．计算定积分1－1(x2＋Sin x)dx＝________.
解析：(x2＋Sin x)dx＝＝.
答案：
题组2 求分段函数的定积分
5．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B. C. D．不存在
解析：选C f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋4－2－2＋＝.
6．计算下列定积分：
(1)|x－3|dx；
(2)若f(x)＝求f(x)dx.
解：(1)∵|x－3|＝
∴|x－3|dx＝|x－3|dx＋|x－3|dx
＝(3－x)dx＋(x－3)dx
＝＋
＝＋＝.
(2)由已知∫－1f(x)dx＝－1x2dx＋∫0(coS x－1)dx
＝x3＋(Sin x－x)0
＝＋＝－.
题组3 根据定积分求参数
7．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选D dx＝(x2＋ln x)
＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.
∴∴a＝2.
8．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，得a3＝1，a＝1.
答案：1
9．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
解析：(kx＋1)dx＝＝(2k＋2)－k＋1＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
答案：
10．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴a＋b＋c＝0.
∵f′(x)＝2ax＋b，①
∴f′(0)＝b＝2.②
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得∴f(x)＝－x2＋2x－.
[能力提升综合练]
1．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝( )
A．9 B．12 C．15 D．18
解析：选C [f(x)＋6]dx＝f(x)dx＋6dx＝3＋6x＝3＋12＝15.
2．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则( )
A. B. C. D.
解析：选A ∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx
＝＝.
3．若y＝(Sin t＋coS t·Sin t)dt，则y的最大值是( )
A．1 B．2 C．－1 D．0
解析：选B y＝(Sin t＋coS t·Sin t)dt＝Sin tdt＋dt＝－coS t－coS2t＝－coS x＋1－(coS 2x－1)＝－coS 2x－coSx＋＝－coS2x－coS x＋＝－(coS x＋1)2＋2≤2.
4．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于( )
A．－1 B．－ C. D．1
解析：选B 因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，
所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，
所以c＝2f(x)dx＝2(x2＋c)dx＝2，
解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx
＝dx＝＝－.
5.(4－2x)(4－3x2)dx＝________.
解析：(4－2x)(4－3x2)dx＝(16－12x2－8x＋6x3)dx＝＝8.
答案：8
6．若f(x)＝则－1f(x)dx＝________.
解析：－1f(x)dx＝－1x2dx＋(Sin x－1)dx
＝x3＋(－coS x－x)＝－coS 1.
答案：－coS 1
7．计算下列定积分．
(1)(|2x＋3|＋|3－2x|)dx；(2)dx.
解：(1)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
∴(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝(－4x)dx＋6dx＋4xdx
＝－2x2－－3＋6x－＋2x23
＝(－2)×2－(－2)×(－3)2＋6×－6×＋2×32－2×2＝45.
(2)dx＝2xdx－dx
＝－2＝－(2－2)＝－2.
8．已知f(x)＝－a(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
解：∵f(x)＝－a(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
∴F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，
∴当a＝－1时，F(a)最小值＝1.
