知识点1
不分割型图形面积的求解
[思考1] 如图①②③是由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a
名师指津：图①中S＝f(x)dx；图②中S＝－f(x)dx；图③中S＝－f(x)dx＋f(x)dx.
[思考2] 如图④⑤是由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积S?
名师指津：图④中S＝[f(x)－g(x)]dx；图⑤中S＝[f(x)－g(x)]dx.
?讲一讲
1．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．(链接教材P56－例1)
[尝试解答] 由
解得x＝0或x＝3.如图．
因此所求图形的面积为
S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx
＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝
＝.
类题·通法
求不分割型图形面积的一般步骤如下：
同时，要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差．否则，有可能得面积是负的．
?练一练
1．求曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．
解：
作图，并由解得交点(0,1)．所求面积为(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)＝e＋－2.
知识点2
分割型图形面积的求解
[思考] 下图是由三条曲线y＝f(x)、y＝g(x)和y＝h(x)围成的图形，且在[a，c]上，f(x)≥g(x)，在[c，b]上，f(x)≥h(x)．
还能用[讲1]的方法求该图形的面积吗？如果不能，该如何求解？
名师指津：不能．S＝[f(x)－g(x)]dx＋[f(x)－h(x)]dx.
?讲一讲
2．(链接教材P57－例2)求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
[尝试解答]
画出草图，如图所示．解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
法一：S＝dx＋(2－x)－dx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋6－×9－2＋＝.
法二：若选y为积分变量，则三个函数分别为x＝y2，
x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝[(2－y)－(－3y)]dy＋[(2－y)－y2]dy
＝(2＋2y)dy＋(2－y－y2)dy
＝(2y＋y2)＋
＝－(－2＋1)＋2－－＝.
类题·通法
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的曲线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下．若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，被积函数改为y的函数，同时更改积分的上下限．
?练一练
2．求曲线xy＝1及直线y＝x，y＝3所围成图形的面积．
解：如图所示，由
得A点坐标为(1,1)；由得B点坐标为；
由得C点坐标为(3,3)．
法一：以x为积分变量，所求阴影部分的面积为S＝S1＋S2＝dx＋(3－x)dx
＝(3x－ln x)＋
＝2－ln 3＋2
＝4－ln 3.
法二：以y为积分变量，所求阴影部分的面积为
S＝dy＝
＝4－ln 3.
知识点3
求变速直线运动的路程
[思考] 若做变速直线运动的物体的速度函数为v＝v(t)(v(t)≥0)，则它在t＝a到t＝b(b>a)的时间段内所经过的路程S是多少？
提示：S＝v(t)dt.
?讲一讲
3．(链接教材P58－例3)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
[尝试解答] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P移动的路程
S1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．
类题·通法
做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝b(a(1)若v(t)≥0，
则S＝v(t)dt；S′＝v(t)dt.即S＝S′.
(2)若v(t)≤0，
则S＝－v(t)dt；S′＝v(t)dt.即S＝－S′.
(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则S＝v(t)dt－v(t)dt，S′＝v(t)dt.
所以求路程时要事先求得速度的正负区间．
?练一练
3．做变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．
解：当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)<0.
所以前2秒钟内所走的路程
S＝(1－t2)dt－(1－t2)dt＝2，
2秒末所在的位置
x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt
＝1＋
＝1＋2－＝.
所以物体在2秒钟内所走的路程为2，所在的位置为x1＝.
知识点4
求变力做功
[思考] 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a提示：W＝F(x)dx.
?讲一讲
4．(链接教材P59－例4)由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0.4 m所需的功．
[尝试解答] 由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)＝kx，其中x为伸长量．
所以2＝0.03 k，得k＝(N/m)，于是F(x)＝x.
故将弹簧拉长0.4 m所做的功为：
W＝xdx＝x2＝(J)．
因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为 J.
类题·通法
求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．
(2)利用变力做功的公式W＝F(x)dx计算．
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
?练一练
4．若2 N的力能使一个弹簧伸长5cm，则把弹簧拉伸0.4 m所需的功是多少？
解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)＝kx，其中x为伸长量．所以2＝0.05 k，得k＝40(N/m)，于是F(x)＝40x.故将弹簧拉长0.4 m所做的功为：W＝∫40xdx＝20x2＝3.2 (J)．因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为3.2 J.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是定积分的几何应用，即用定积分求平面图形的面积，难点是分割型图形面积的求法．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)不分割型图形面积的求法，见讲1；
(2)分割型图形面积的求法，见讲2；
(3)求变速直线运动的路程，见讲3；
(4)求变力做功，见讲4.
3．在求由曲线围成的平面图形的面积时，准确画出示意图，求出曲线的交点，确定积分上、下限是解决此类问题的关键，也是本节课的易错点．
课下能力提升(十一)
[学业水平达标练]
题组1 不分割型图形面积的求解
1．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
解析：选C 阴影部分的面积S＝(3－x2－2x)dx＝＝.
2．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6 B．9
C．12 D．3
解析：选B 由解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S＝[(3－x2)－(x2－2x－1)]dx＝(－2x2＋2x＋4)dx＝＝9.
3．如图所示，由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
解析：由得交点坐标为(1,5)，(4,20)，所以所求面积S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx
＝＋
＝.
答案：
4．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解：作出y＝x2－2x的图象，如图所示．
①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，
所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a<0，所以a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，若0所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a>0，所以a＝2.
若a>2，不符合题意．
综上，a＝－1或2.
题组2 分割型图形面积的求解
5．如图，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．
解析：S＝dx＋dx
＝x＋ln x＝＋ln 2.
答案：＋ln 2
6．求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
解：先求抛物线和直线的交点，解方程组
求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．
法一：选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S＝S1＋S2
＝2dx＋(－x＋4)dx
＝x＋x－x2＋4x＝18.
法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S＝dy＝
＝18.
题组3 求变速直线运动的路程
7．一辆汽车以v＝3t2的速度行驶，这辆汽车从t＝0到t＝3这段时间内所行驶的路程为( )
A. B．1
C．3 D．27
解析：选D S＝3t2dt＝t3＝27，故选D.
8．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t S后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/S，到C点的速度为24 m/S，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)m/S，经t S后，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离．
解：(1)设A到C的时间为t1，
则1.2t1＝24，t1＝20 (S)，
则|AC|＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
(2)设D到B的时间为t2，
则24－1.2t2＝0，t2＝20(S)，
则|DB|＝∫(24－1.2t)dt
＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
题组4 求变力做功
9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
解析：选B W＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)＝e.
10．一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处力F(x)做的功．
解：由力—位移曲线可知F(x)＝因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功为W＝10dx＋(3x＋4)dx＝10x＋＝46(J)．
[能力提升综合练]
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于( )
A.－1(x－x3)dx B.－1(x3－x) dx
C．2(x－x3) dx D．2－1(x－x3) dx
解析：选C 由求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2(x－x3) dx.
2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分cos x dx＝sin x＝.
3．以初速度40 m/s向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析：选A 令v＝40－10t2＝0，得物体到达最高时t＝2，此时高度h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．故选A.
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为( )
A. J B. J
C. J D．2 J
解析：选C W＝F(x) cos 30°dx＝(5－x2)dx
＝＝(J)．
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
解析：图形如图所示：
S＝x2dx－x2dx
＝x2dx
＝x3＝.
答案：
6．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．
解析：由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和 y＝－2x＋6.
由得C(2,2)．
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－
＝2－＝.
答案：
7．求正弦曲线y＝sin x与余弦曲线y＝cos x与直线x＝－，x＝围成的图形的面积．
解：如图，画出y＝sin x与y＝cos x在上的图象，它们共有三个交点，分别为－，－，，.
在上，cos x> sin.
在上，sin > cos
8．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．
解：S1＋S2＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx
＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx
＝(xet－ex)＋(ex－xet)
＝(2t－3)et＋e＋1，
取g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，
令g′(t)＝0，解得t＝.
当t∈时，g′(t)<0，g(t)是减函数；
当t∈时，g′(t)>0，g(t)是增函数，
因此g(t)的最小值为g
＝e＋1－2e
＝(－1)2.
故阴影部分面积的最小值为(－1)2.
课件27张PPT。求简单函数的定积分 分割型图形面积的求解 求变速直线运动的路程 求变力做功 谢谢！课下能力提升(十一)
[学业水平达标练]
题组1 不分割型图形面积的求解
1．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
解析：选C 阴影部分的面积S＝(3－x2－2x)dx＝＝.
2．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6 B．9
C．12 D．3
解析：选B 由解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S＝[(3－x2)－(x2－2x－1)]dx＝(－2x2＋2x＋4)dx＝＝9.
3．如图所示，由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
解析：由得交点坐标为(1,5)，(4,20)，所以所求面积S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx
＝＋
＝.
答案：
4．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解：作出y＝x2－2x的图象，如图所示．
①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，
所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a<0，所以a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，若0所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a>0，所以a＝2.
若a>2，不符合题意．
综上，a＝－1或2.
题组2 分割型图形面积的求解
5．如图，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．
解析：S＝dx＋dx
＝x＋ln x＝＋ln 2.
答案：＋ln 2
6．求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
解：先求抛物线和直线的交点，解方程组
求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．
法一：选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S＝S1＋S2
＝2dx＋(－x＋4)dx
＝x＋x－x2＋4x＝18.
法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S＝dy＝
＝18.
题组3 求变速直线运动的路程
7．一辆汽车以v＝3t2的速度行驶，这辆汽车从t＝0到t＝3这段时间内所行驶的路程为( )
A. B．1
C．3 D．27
解析：选D S＝3t2dt＝t3＝27，故选D.
8．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t S后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/S，到C点的速度为24 m/S，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)m/S，经t S后，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离．
解：(1)设A到C的时间为t1，
则1.2t1＝24，t1＝20 (S)，
则|AC|＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
(2)设D到B的时间为t2，
则24－1.2t2＝0，t2＝20(S)，
则|DB|＝∫(24－1.2t)dt
＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
题组4 求变力做功
9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
解析：选B W＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)＝e.
10．一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处力F(x)做的功．
解：由力—位移曲线可知F(x)＝因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功为W＝10dx＋(3x＋4)dx＝10x＋＝46(J)．
[能力提升综合练]
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于( )
A.－1(x－x3)dx B.－1(x3－x) dx
C．2(x－x3) dx D．2－1(x－x3) dx
解析：选C 由求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2(x－x3) dx.
2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分cos x dx＝sin x＝.
3．以初速度40 m/s向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析：选A 令v＝40－10t2＝0，得物体到达最高时t＝2，此时高度h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．故选A.
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为( )
A. J B. J
C. J D．2 J
解析：选C W＝F(x) cos 30°dx＝(5－x2)dx
＝＝(J)．
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
解析：图形如图所示：
S＝x2dx－x2dx
＝x2dx
＝x3＝.
答案：
6．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．
解析：由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和 y＝－2x＋6.
由得C(2,2)．
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－
＝2－＝.
答案：
7．求正弦曲线y＝sin x与余弦曲线y＝cos x与直线x＝－，x＝围成的图形的面积．
解：如图，画出y＝sin x与y＝cos x在上的图象，它们共有三个交点，分别为－，－，，.
在上，cos x> sin.
在上，sin > cos
8．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．
解：S1＋S2＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx
＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx
＝(xet－ex)＋(ex－xet)
＝(2t－3)et＋e＋1，
取g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，
令g′(t)＝0，解得t＝.
当t∈时，g′(t)<0，g(t)是减函数；
当t∈时，g′(t)>0，g(t)是增函数，
因此g(t)的最小值为g
＝e＋1－2e
＝(－1)2.
故阴影部分面积的最小值为(－1)2.
