2019年高一高二数学同步学案人教A版选修2-2 模块综合检测（课件+讲义）

模块综合检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数(i为虚数单位)的虚部是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.i
C.i D.
解析：选D　因为＝＝＋i，所以复数的虚部为，故选D.
2．已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(4，＋∞)
C．(－1,4) D．(－4，－1)
解析：选C　复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－13．用反证法证明“若a＋b＋c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”，应(　　)
A．假设a，b，c至少有一个大于1
B．假设a，b，c都大于1
C．假设a，b，c至少有两个大于1
D．假设a，b，c都不小于1
解析：选D　假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1，故选D.
4．设a＝x－dx，b＝1－xdx，c＝x3dx，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．b>c>a
解析：选A　由题意可得a＝x－dx＝＝x＝；b＝1－xdx＝1－＝1－＝；c＝x3dx＝＝.综上，a>b>c.
5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
解析：选B　该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．
6．已知点列：P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，P4(1,3)，P5(2,2)，P6(3,1)，P7(1,4)，P8(2,3)，P9(3,2)，P10(4,1)，P11(1,5)，P12(2,4)，…，则P60的坐标为(　　)
A．(3,8) B．(4,7)
C．(4,8) D．(5,7)
解析：选D　横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横纵坐标之和为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个．
因此横纵坐标之和为2,3，…，11的点共有1＋2＋3＋…＋10＝55个，
横纵坐标之和为12的有11个．
因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D.
7．由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是(　　)
A. B.＋
C. D.＋1
解析：选B　把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．
易得S＝(2－x2)dx＋(2－x2－x)dx
＝＋
＝2－＋2－－
＝＋.
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r>0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则是m2，n2的等差中项．现有一椭圆＋＝1(a>b>0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选A　
如图，设P(x，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由OP―→＝mOA―→＋nOB―→可得代入＋＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等差中项为.
9．已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
解析：选B　∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.
10．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 016的末四位数字为(　　)
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选C　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，……
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 016)＝f(502×4＋8)＝f(8)．
∴52 016与58的末四位数字相同，均为0 625.
11．定义在区间[a，b]上的函数f(x)，其图象是连续不断的，若?ξ∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)·(b－a)，则称ξ为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝ln(x＋1)；④f(x)＝3.其中在区间[0,1]上的“中值点”多于1个的函数是(　　)
A．①④ B．①③
C．②④ D．②③
解析：选A　由f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)可知＝f′(ξ)，即曲线y＝f(x)存在点(ξ，f(ξ))处的切线，其斜率等于(a，f(a))，(b，f(b))两点连线的斜率．借助各个函数图象(图略)观察可知在区间[0,1]上的“中值点”多于1个的函数是①④.
12．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)A．{x|x≠±1} B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选B　构造函数g(x)＝x2f(x)－x2，x∈R，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－2x＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]．由题意得2f(x)＋xf′(x)－2<0恒成立，故当x<0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x>0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．因为x2f(x)－f(1)0时，解得x>1; 当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以g(x)是偶函数，同理解得x<－1.故实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝3i－1，
∴|z|＝＝.
答案：
14．已知f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．
解析：f(x)＝的导数为f′(x)＝，在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝0，切点为，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.
答案：y＝
15.|sin x|dx＝________.
解析：|sin x|dx＝sin xdx＋(－sin x)dx＝－cos x|＋cos x|＝1＋1＋1＋1＝4.
答案：4
16．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按下图①②③所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________，f(n)＝________(用含n的式子表示)．
解析：设第n堆第一层乒乓球数为g(n)，则g(1)＝1，g(2)＝1＋2，g(3)＝1＋2＋3，…，
则g(n)＝1＋2＋3＋…＋n＝＝.
所以f(3)＝g(1)＋g(2)＋g(3)
＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10.
f(n)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n)
＝(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝＝.
答案：10　
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)(1)计算2＋；
(2)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＋2i＝3＋i，求复数z.
解：(1)原式＝＋
＝i＋＝i＋＝＋i.
(2)(x＋yi)＋2i(x－yi)＝3＋i，
即(x＋2y)＋(2x＋y)i＝3＋i，
即解得
∴z＝－＋i.
18．(本小题12分)设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lg c.
证明：法一：∵ab＝10，∴lg a＋lg b＝lg ab＝1，
则logac＋logbc＝＋＝＝.
∵a>1，b>1，
∴lg a>0，lg b>0，
则lg a·lg b≤2＝，≥4，
又c＞1，lg c＞0.
∴≥4lg c
即logac＋logbc≥4lg c.
法二：要证logac＋logbc≥4lg c，
只需证＋≥4lg c.
又因为c>1，所以lg c>0，
故只需证＋≥4，
即证≥4.
又因为ab＝10，
所以lg a＋lg b＝lg(ab)＝1，
故只需证≥4.
又因为lg a>0，lg b>0，
所以0则≥4成立．
所以原不等式成立，
即logac＋logbc≥4lg c.
19．(本小题12分)已知函数f(x)＝x3－ax＋b在y轴上的截距为1，且曲线上一点P处的切线斜率为.
(1)求曲线在P点处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极大值和极小值．
解：(1)因为函数f(x)＝x3－ax＋b在y轴上的截距为1，所以b＝1.
又y′＝x2－a，所以2－a＝，所以a＝，
所以f(x)＝x3－x＋1，
所以y0＝f＝1，故点P，所以切线方程为y－1＝，即2x－6y＋6－＝0.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－，
令f′(x)＝0，得x＝±.
当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表：
x

－



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
因此，当x＝－时，函数f(x)有极大值为f＝1＋，当x＝时，函数f(x)有极小值为f＝1－.
20．(本小题12分)设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，….
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.
解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，
由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5，
由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)．
(2)证明：
①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1)时不等式成立，即ak≥k＋2，
那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.
由①②可知，对n≥1，都有an≥n＋2.
21．(本小题12分)设函数f(x)＝.
(1)求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)当x≥1时，不等式f(x)－≥恒成立，求a的取值范围．
解：(1)由题意可得，f(e)＝，f′(x)＝，
所以f′(e)＝＝－.
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－＝－(x－e)，即x＋e2y－3e＝0.
(2)由题意可得，当x≥1时，f(x)－－＝≥0恒成立，
令g(x)＝ln x －a(x2－1)(x≥1)，则g′(x)＝－2ax，
当a≤0时，g′(x)>0，所以函数y＝g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，
所以不等式f(x)－≥成立，即a≤0符合题意．
当a>0时，令－2ax＝0，解得x＝，令＝1，解得a＝，
①当>1，即00，在上g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在上单调递增，在上单调递减，
g＝ln －a＝－ln a －＋a，
令h(a)＝－ln a －＋a，
则h′(a)＝－＋＋1＝＝>0恒成立，又0所以h(a)所以存在g<0，所以0②当≤1，即a≥时，g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以函数y＝g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，显然a≥不符合题意．
综上所述，a的取值范围为(－∞，0]．
22．(本小题12分)设函数f(x)＝(1－a)ln x＋x2－x.
(1)若对任意的实数a，曲线y＝f(x)在x＝t处的切线斜率恒为零，求t的值；
(2)若0.
解：f′(x)＝＋ax－1，由题设知f′(t)＝0对任意的实数a恒成立，
即1－a＋at2－t＝a(t2－1)＋1－t＝0对任意的实数a恒成立，所以解得t＝1.
(2)证明：f′(x)＝＋ax－1＝(x－1)，
由题意知0①若01，
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以f(x)≥f＝(1－a)ln＋＋，
由01，可得(1－a)ln＋>0，所以f(x)>.
②若a＝，则＝1，当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(1)＝－1＝－，此时＝－1，
所以f(x)>成立．
③若当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以f(x)≥f(1)＝－1，
－1－＝＝，
因为0，
故f(x)>，
综上可得f(x)>.