第1课时 综合法和分析法
数学选修2－2
2.2 直接证明与间接证明
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P85～P89的内容，回答下列问题．
(1)阅读教材P85“已知a，b＞0，求证a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.”的证明过程．思考下列问题：
①该题的条件和结论各是什么？
提示：条件：a，b＞0；结论：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？
提示：本题是从已知条件a，b＞0出发，借助基本不等式证明待证结论的．
(2)阅读教材P87上方证明基本不等式“≥(a＞0，b＞0)”的过程，回答下列问题：
①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？
提示：从结论开始证明．
②该证明过程是综合法吗？
提示：不是．
③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？
提示：充分条件．
2．归纳总结，核心必记
(1)综合法
①综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②综合法的框图表示
―→―→―→…―→
(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)
(2)分析法
①分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②分析法的框图表示
―→―→―→…―→
[问题思考]
(1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
(2)综合法与分析法有什么区别？
提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
(3)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
∴－1＝＞0，－1＝＞0，－1＝＞0，
∴
＝··
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证明方法是综合法还是分析法？
提示：综合法．
[课前反思]
(1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？
；
(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？
.
知识点1
综合法的应用
?讲一讲
1．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[尝试解答] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2 ≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
利用综合法证明问题的步骤
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
?练一练
1．已知a，b，c是不全相等的正实数，求证：＋＋>3.
证明：左边＝＋＋－3，
因为a，b，c为不全相等的正实数，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
且上述三式的等号不能同时成立，
所以＋＋－3>6－3＝3，
即＋＋>3.
知识点2
分析法的应用
[思考1] 分析法的证明过程是什么？
名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．
[思考2] 分析法的书写格式是什么？
名师指津：分析法的书写格式是：
“要证……，
只需证……，
只需证……，
…
由于…显然成立(已知，已证…)，
所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．
?讲一讲
2．(链接教材P87－例2)已知a＞0，求证： －≥a＋－2.
[尝试解答] 要证 －≥a＋－2.
只需证 ＋2≥a＋＋.
因为a＞0，故只需证2≥2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只需证2≥，
只需证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立．
(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．
(3)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．
?练一练
2．已知cos 2θ＋sin2α＝0，求证：tan2θ＝2tan2α＋1.
证明：要证tan2θ＝2tan2α＋1，只需证＝＋1，
只需证＋1＝＋2，
即＝，即＝，
只需证cos2α－2cos2θ＝0，只需证1－sin2α－(1＋cos 2θ)＝0，即cos 2θ＋sin2α＝0.
因为cos 2θ＋sin2α＝0，所以tan2θ＝2tan2α＋1.
知识点3
综合法与分析法的综合应用
?讲一讲
3．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：＋＝.
[尝试解答] 要证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1.
即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列．
所以B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，
所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．
?练一练
3．已知a、b、c是不全相等的正数，且0
求证：logx＋logx＋logx证明：要证logx＋logx＋logx只需要证明logx由0abc.
由基本不等式得≥>0，≥>0，
≥>0，又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx———————————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用综合法解决问题，见讲1；
(2)利用分析法解决问题，见讲2；
(3)利用分析综合法解决问题，见讲3.
3．在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点．
课下能力提升(十四)
[学业水平达标练]
题组1 综合法的应用
1．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选C 由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．
2．设a>0，b>0且ab－(a＋b)≥1，则( )
A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1
C．a＋b≤(＋1)2 D．a＋b>2(＋1)
解析：选A 由条件知a＋b≤ab－1≤2－1，
令a＋b＝t，则t>0，且t ≤－1，解得t≥2＋2.
3．已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，且点(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，
则an＋1－an＝1，又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)证明：由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2
＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n<0，
所以bn·bn＋2题组2 分析法的应用
4. －<成立的充要条件是( )
A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>b
C．ab<0且a解析：选D －<，
?(－)3<()3，
?a－b－3＋3? < ，
?ab2?ab(b－a)<0.
5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析：用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
6．已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：＋≤2.
证明：要证＋≤2，只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
因为a＋b＝1，即证·≤2.
因为a≥－，b≥－，所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，
所以·≤
＝＝2.
即·≤2成立，因此原不等式成立．
题组3 综合法与分析法的综合应用
7．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
证明：法一：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因为a＋b＞0，所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立．
即需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
法二：a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，
(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．
所以a3＋b3＞a2b＋ab2.
8．在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
证明：由已知条件得
消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥
只需证a＋1≥，即证2a≥b＋c.
由于2a＝＋，只需证＋≥b＋c，
只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
[能力提升综合练]
1．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?如下：
⊕
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
c
c
b
c
b
d
d
b
b
d
?
a
b
c
a
a
a
a
b
a
b
c
c
a
c
c
d
a
d
a
那么，d?(a⊕c)等于( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：选A 由所给定义知a⊕c＝c，d?c＝a，
所以d?(a⊕c)＝d?c＝a.
2．设a，b，c，d∈R＋，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，则有( )
A．ad＝bc B．adC．ad>bc D．ad≤bc
解析：选C |a－d|<|b－c|?(a－d)2<(b－c)2?a2＋d2－2ad2bc?ad>bc.
3．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则a的取值范围是( )
A．a＜ B．a＜，且a≠－1
C．a＞或a＜－1 D．－1＜a＜
解析：选D ∵f(x)以3为周期，
∴f(2)＝f(－1)．
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
则f(2)＝f(－1)＝－f(1)．
再由f(1)＞1，可得f(2)＜－1，
即＜－1，解得－1＜a＜.
4．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选A 因为tan A·tan B>1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，所以tan(A＋B)＝<0.所以A＋B是钝角，即角C为锐角．
5．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log＝________.
解析：由条件知lg xy＝lg(x－2y)2，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
即2－5＋4＝0，所以＝4或＝1.
又x＞2y，故＝4，所以log＝log4＝4.
答案：4
6．a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0，
要使＋≥恒成立．
只需＋≥n恒成立．
只需＋≥n恒成立．
显然2＋＋≥4(当且仅当b－c＝a－b时等号成立)．
所以只需n≤4成立，即n能取的最大值为4.
答案：4
7．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)证明数列是等差数列；
(3)若Tn是数列的前n项和，求证：Tn＜.
解：(1)当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，
解得a2＝4.
证明：(2)2Sn＝nan＋1－n3－n2－n.①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)．②
①－②，得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n.
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
即＝＋1，－＝1，
当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(3)由(2)可知＝n，即an＝n2.
∵＝＜＝－(n≥2)，
∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.
8．设g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)，其图象上任一点P(x，y)处切线的斜率为f(x)，且方程f(x)＝0的两根为α，β.
(1)若α＝β＋1，且β∈Z，求证f(－a)＝(a2－1)；
(2)若α，β∈(2,3)，求证存在整数k，使得|f(k)|≤.
证明：(1)由题意得f(x)＝g′(x)＝x2＋ax＋b，
所以
满足Δ>0，所以b＝(a2－1)．
所以f(－a)＝(－a)2＋a(－a)＋b＝b＝(a2－1)．
(2)因为α，β∈(2,3)，f(x)＝x2＋ax＋b＝(x－α)(x－β)，
所以|f(2)|·|f(3)|＝|(2－α)(2－β)|·|(3－α)(3－β)|
＝|(α－2)(3－α)|·|(β－2)(3－β)|
≤·2
＝2，
故必有|f(2)|≤或|f(3)|≤.
所以存在整数k＝2或k＝3，使|f(k)|≤.
课件27张PPT。已知条件 定义 公理 定理 推理论证 结论 已知条件 定义 公理 定理 证明的结论 要证明的结论 充分条件 已知条件定理 定义 公理 综合法的应用 分析法的应用 综合法与分析法的综合应用 谢谢！课下能力提升(十四)
[学业水平达标练]
题组1 综合法的应用
1．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选C 由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．
2．设a>0，b>0且ab－(a＋b)≥1，则( )
A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1
C．a＋b≤(＋1)2 D．a＋b>2(＋1)
解析：选A 由条件知a＋b≤ab－1≤2－1，
令a＋b＝t，则t>0，且t ≤－1，解得t≥2＋2.
3．已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，且点(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，
则an＋1－an＝1，又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)证明：由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2
＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n<0，
所以bn·bn＋2题组2 分析法的应用
4. －<成立的充要条件是( )
A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>b
C．ab<0且a解析：选D －<，
?(－)3<()3，
?a－b－3＋3? < ，
?ab2?ab(b－a)<0.
5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析：用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
6．已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：＋≤2.
证明：要证＋≤2，只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
因为a＋b＝1，即证·≤2.
因为a≥－，b≥－，所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，
所以·≤
＝＝2.
即·≤2成立，因此原不等式成立．
题组3 综合法与分析法的综合应用
7．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
证明：法一：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因为a＋b＞0，所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立．
即需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
法二：a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，
(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．
所以a3＋b3＞a2b＋ab2.
8．在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
证明：由已知条件得
消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥
只需证a＋1≥，即证2a≥b＋c.
由于2a＝＋，只需证＋≥b＋c，
只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
[能力提升综合练]
1．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?如下：
那么，d?(a⊕c)等于( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：选A 由所给定义知a⊕c＝c，d?c＝a，
所以d?(a⊕c)＝d?c＝a.
2．设a，b，c，d∈R＋，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，则有( )
A．ad＝bc B．adC．ad>bc D．ad≤bc
解析：选C |a－d|<|b－c|?(a－d)2<(b－c)2?a2＋d2－2ad2bc?ad>bc.
3．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则a的取值范围是( )
A．a＜ B．a＜，且a≠－1
C．a＞或a＜－1 D．－1＜a＜
解析：选D ∵f(x)以3为周期，
∴f(2)＝f(－1)．
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
则f(2)＝f(－1)＝－f(1)．
再由f(1)＞1，可得f(2)＜－1，
即＜－1，解得－1＜a＜.
4．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选A 因为tan A·tan B>1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，所以tan(A＋B)＝<0.所以A＋B是钝角，即角C为锐角．
5．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log＝________.
解析：由条件知lg xy＝lg(x－2y)2，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
即2－5＋4＝0，所以＝4或＝1.
又x＞2y，故＝4，所以log＝log4＝4.
答案：4
6．a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0，
要使＋≥恒成立．
只需＋≥n恒成立．
只需＋≥n恒成立．
显然2＋＋≥4(当且仅当b－c＝a－b时等号成立)．
所以只需n≤4成立，即n能取的最大值为4.
答案：4
7．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)证明数列是等差数列；
(3)若Tn是数列的前n项和，求证：Tn＜.
解：(1)当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，
解得a2＝4.
证明：(2)2Sn＝nan＋1－n3－n2－n.①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)．②
①－②，得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n.
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
即＝＋1，－＝1，
当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(3)由(2)可知＝n，即an＝n2.
∵＝＜＝－(n≥2)，
∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.
8．设g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)，其图象上任一点P(x，y)处切线的斜率为f(x)，且方程f(x)＝0的两根为α，β.
(1)若α＝β＋1，且β∈Z，求证f(－a)＝(a2－1)；
(2)若α，β∈(2,3)，求证存在整数k，使得|f(k)|≤.
证明：(1)由题意得f(x)＝g′(x)＝x2＋ax＋b，
所以
满足Δ>0，所以b＝(a2－1)．
所以f(－a)＝(－a)2＋a(－a)＋b＝b＝(a2－1)．
(2)因为α，β∈(2,3)，f(x)＝x2＋ax＋b＝(x－α)(x－β)，
所以|f(2)|·|f(3)|＝|(2－α)(2－β)|·|(3－α)(3－β)|
＝|(α－2)(3－α)|·|(β－2)(3－β)|
≤·2
＝2，
故必有|f(2)|≤或|f(3)|≤.
所以存在整数k＝2或k＝3，使|f(k)|≤.
