第2课时 反 证 法
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P89～P91的内容，回答下列问题．
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
王戎的论述运用了什么推理思想？
提示：反证法思想．
2．归纳总结，核心必记
(1)反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
(2)反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
[问题思考]
(1)反证法解题的实质是什么？
提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确．
(2)用反证法证明命题时，“a、b、c都是偶数”的否定是什么？
提示：a、b、c不都是偶数．
[课前反思]
(1)反证法的定义是什么？
；
(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？
.
知识点1
用反证法证明“否定性”命题
?讲一讲
1．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负实根．
[尝试解答] 假设方程f(x)＝0有负实根x0，
则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，
由0
解得
(1)用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
(2)用反证法证明数学命题的步骤
?练一练
1．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
知识点2
用反证法证明“至多”、“至少”型命题
?讲一讲
2．已知a≥－1，求证三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
[尝试解答] 假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小于0，
即
?
?－所以假设不成立，
故三个方程中至少有一个方程有实数解．
证明时常见的“结论词”与“反设词”
结论词
至少有
一个
至多有
一个
对所有
x成立
对任意x
不成立
至少有
n个
至多有
n个
p或q
綈p且
綈q
反设词
一个也
没有
至少有
两个
存在某
个x0
不成立
存在某个
x0成立
至多有
n－1个
至少有
n＋1个
p且q
綈p
或綈q
?练一练
2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，
∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．
知识点3
用反证法证明“唯一性”命题
?讲一讲
3．已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
[尝试解答] 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，
所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，
那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，
所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．
证明“唯一性”问题的方法
“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．
?练一练
3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
证明：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，
则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，
即f(n)＝0，则n≠m.
因为f(x)在[a，b]上单调递增，
所以若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
———————————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)用反证法证明“否定性”命题，见讲1；
(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见讲2；
(3)用反证法证明“唯一性”命题，见讲3.
3．要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点．
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 用反证法证明“否定性”命题
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；
③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．
2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
答案：③①②
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)设公差为d，由已知得
解得d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
又p，q，r∈N*，所以
所以2＝pr.
(p－r)2＝0，所以p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于.
答案：
6．若x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由．
解：是．假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
因为π－3>0，且无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0.
这与假设a＋b＋c≤0矛盾．
因此，a，b，c中至少有一个大于0.
题组3 用反证法证明“唯一性”命题
7．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)( )
A．无解 B．有两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．
8．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
[能力提升综合练]
1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除
解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．
2．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：选D 因为a、b、c都是正数，
则有＋＋
＝＋＋≥6.
故三个数中至少有一个不小于2.
4．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使得an＝bn.
5．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．
答案：b与c平行或相交
6．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________②
＝________③
＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．
解析：证明过程应为：假设p为奇数，
则有a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，
因为奇数个奇数之和为奇数，
故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．
答案：a1－1，a2－2，…，a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
7．求证方程2x＝3有且只有一个根．
证明：因为2x＝3，
所以x＝log23，
这说明方程2x＝3有根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
所以b1－b2＝0，则b1＝b2.
所以假设不成立，从而原命题得证．
8．用反证法证明：对于直线l：y＝x＋k，不存在这样的非零实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝－x对称．
证明：假设存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则线段AB的中点M在直线y＝－x上，
由
得2x2－2kx－1－k2＝0.
∴x1＋x2＝k，可得M.
这与M在直线y＝－x上矛盾．
所以假设不成立，
故不存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称．
课件20张PPT。正确的推理 假设错误 原命题成立 假设 定义、公理、定理、事实 用反证法证明“否定性”命题 用反证法证明“至多”、“至少”型命题 用反证法证明“唯一性”命题 谢谢！
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 用反证法证明“否定性”命题
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；
③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．
2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
答案：③①②
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)设公差为d，由已知得
解得d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
又p，q，r∈N*，所以
所以2＝pr.
(p－r)2＝0，所以p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于.
答案：
6．若x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由．
解：是．假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
因为π－3>0，且无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0.
这与假设a＋b＋c≤0矛盾．
因此，a，b，c中至少有一个大于0.
题组3 用反证法证明“唯一性”命题
7．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)( )
A．无解 B．有两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．
8．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
[能力提升综合练]
1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除
解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．
2．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：选D 因为a、b、c都是正数，
则有＋＋
＝＋＋≥6.
故三个数中至少有一个不小于2.
4．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使得an＝bn.
5．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．
答案：b与c平行或相交
6．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________②
＝________③
＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．
解析：证明过程应为：假设p为奇数，
则有a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，
因为奇数个奇数之和为奇数，
故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．
答案：a1－1，a2－2，…，a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
7．求证方程2x＝3有且只有一个根．
证明：因为2x＝3，
所以x＝log23，
这说明方程2x＝3有根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
所以b1－b2＝0，则b1＝b2.
所以假设不成立，从而原命题得证．
8．用反证法证明：对于直线l：y＝x＋k，不存在这样的非零实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝－x对称．
证明：假设存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则线段AB的中点M在直线y＝－x上，
由
得2x2－2kx－1－k2＝0.
∴x1＋x2＝k，可得M.
这与M在直线y＝－x上矛盾．
所以假设不成立，
故不存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称．
