数学选修2－2
2.3 数学归纳法
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P92～P95的内容，回答下列问题．
(1)阅读教材P92的多米诺骨牌游戏，思考以下问题：
①在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
提示：能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：
(ⅰ)第一块骨牌倒下；(ⅱ)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．
②你认为第二个条件的作用是什么？
提示：条件(ⅱ)给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下．
(2)教材P92有如下问题：对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3，…)，通过对n＝1,2,3,4前4项的归纳，猜出其通项公式为an＝.而在P93，根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么？
提示：①验证n＝1时，猜想成立；②假设n＝k时，猜想成立，然后证明n＝k＋1时，猜想也成立，从而证明原猜想正确．
2．归纳总结，核心必记
(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法的框图表示
[问题思考]
(1)数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示：不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.
(2)数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？
提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤②而缺少步骤①，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了．
[课前反思]
(1)数学归纳法的定义是什么？
；
(2)用数学归纳法证明问题的步骤是什么？
.
知识点1
用数学归纳法证明等式
[思考] 利用数学归纳法证明问题的两个步骤是什么？
名师指津：
?讲一讲
1．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝＋＋…＋(n∈N*)．
[尝试解答] (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即＋＋…＋＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式都成立．
数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础：
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．
(3)利用假设是核心：
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1时命题也成立”．在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
?练一练
1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.
知识点2
用数学归纳法证明不等式
?讲一讲
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n－1，bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．
[尝试解答] 由于an＝2n－1，故bn＝2n(n∈N*)，
所证不等式为··…·>.
(1)当n＝1时，左式＝，右式＝，左式>右式，结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时结论成立，即··…·>，
则当n＝k＋1时，··…··>·＝，
要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，
即证≥，
由基本不等式知＝≥成立，
故≥成立，所以当n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对任意的n∈N*时，
不等式··…·>成立．
用数学归纳法证明不等式应注意两点
(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；
(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到比较法、分析法和配凑法等．
?练一练
2．证明不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2＝2.
显然命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，
即1＋＋＋…＋＜2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＜2＋
＝＜＝＝2，
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立.
知识点3
归纳—猜想—证明
?讲一讲
3．(链接教材P94－例2)已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝，
(1)求a2，a3，a4；
(2)推测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
[思路点拨] (1)将n依次赋值1,2,3即可求出a2，a3，a4的值；(2)猜想{an}的通项公式，然后利用[知识点1]的方法证明，要注意an一定要正确．
[尝试解答] (1)由an＋1＝可得a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
(2)推测an＝.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝a1＝a，
右边＝＝a，结论成立．
②假设n＝k时，有ak＝成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝＝
＝
＝.
故当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，对n∈N*，都有
an＝.
数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：(1)计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；(2)猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．
?练一练
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
解：(1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，
即ak＝，那么，当n＝k＋1时，
由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝，
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N*都成立．
———————————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是数学归纳法在证明等式和不等式中的应用，难点是利用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)用数学归纳法证明等式问题，见讲1；
(2)用数学归纳法证明不等式问题，见讲2；
(3)用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题，见讲3.
3．在利用数学归纳法证明问题时，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”．
课下能力提升(十六)
[学业水平达标练]
题组1 用数学归纳法证明等式
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：选D 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
证明：①当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝，
所以当n＝k＋1时等式成立．
由①②知，对任意n∈N*等式成立．
题组2 用数学归纳法证明不等式
3．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要证明( )
A．1＜2－
B．1＋＜2－
C．1＋＋＜2－
D．1＋＋＋＜2－
解析：选C 第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋＋＜2－.
4．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N*)”的过程如下：
证明：①当n＝1时，显然命题是正确的；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由①②可知对于n∈N*，命题都是正确的．
以上证法是错误的，错误在于( )
A．从k到k＋1的推理过程没有使用假设
B．假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
解析：选A 分析证明过程中的②可知，从k到k＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.
5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
题组3 归纳—猜想—证明
6．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)(k≥3，k∈N*)为( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
解析：选A 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有[f(k)＋k－1]个对角面．故选A.
7．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．
解：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根S1－1＝a1－1，所以(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝，
当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，
所以2－a2－a2＝0，
解得a2＝.
(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入整理得
SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.
由(1)得S1＝ a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
猜想Sn＝(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明这个结论．
①当n＝1时，结论成立．
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，
Sk＋1＝＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，{Sn}的通项公式为Sn＝(n∈N*)．
[能力提升综合练]
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
2．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
解析：选A 因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析：选D 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确 B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确 D．命题、推理都不正确
解析：选B 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的有________(填序号)．
①假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；
②假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；
③假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立．
④假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．
解析：因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为：假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数．故②④正确．
答案：②④
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，则a＝________，b＝________.
解析：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，
∴当n＝1,2时有
即解得
答案：
7．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式··…·＞成立．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，左边＞右边，
所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立，
即…＞，
那么，当n＝k＋1时，
…＞·＝＝＞＝＝，
所以，当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
8．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34;
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44，
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1
＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]
＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)
＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1
＝(k＋1)4，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，
S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立.
课件31张PPT。第一个值n0(n0∈N*) k(k≥n0，k∈N*) n＝k＋1 从n0开始 n0n＝k＋1 k(k≥n0) 从n0开始用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明不等式 归纳—猜想—证明 谢谢！课下能力提升(十六)
[学业水平达标练]
题组1 用数学归纳法证明等式
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：选D 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
证明：①当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝，
所以当n＝k＋1时等式成立．
由①②知，对任意n∈N*等式成立．
题组2 用数学归纳法证明不等式
3．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要证明( )
A．1＜2－
B．1＋＜2－
C．1＋＋＜2－
D．1＋＋＋＜2－
解析：选C 第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋＋＜2－.
4．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N*)”的过程如下：
证明：①当n＝1时，显然命题是正确的；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由①②可知对于n∈N*，命题都是正确的．
以上证法是错误的，错误在于( )
A．从k到k＋1的推理过程没有使用假设
B．假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
解析：选A 分析证明过程中的②可知，从k到k＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.
5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
题组3 归纳—猜想—证明
6．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)(k≥3，k∈N*)为( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
解析：选A 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有[f(k)＋k－1]个对角面．故选A.
7．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．
解：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根S1－1＝a1－1，所以(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝，
当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，
所以2－a2－a2＝0，
解得a2＝.
(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入整理得
SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.
由(1)得S1＝ a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
猜想Sn＝(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明这个结论．
①当n＝1时，结论成立．
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，
Sk＋1＝＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，{Sn}的通项公式为Sn＝(n∈N*)．
[能力提升综合练]
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
2．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
解析：选A 因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析：选D 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确 B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确 D．命题、推理都不正确
解析：选B 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的有________(填序号)．
①假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；
②假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；
③假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立．
④假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．
解析：因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为：假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数．故②④正确．
答案：②④
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，则a＝________，b＝________.
解析：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，
∴当n＝1,2时有
即解得
答案：
7．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式··…·＞成立．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，左边＞右边，
所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立，
即…＞，
那么，当n＝k＋1时，
…＞·＝＝＞＝＝，
所以，当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
8．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34;
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44，
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1
＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]
＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)
＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1
＝(k＋1)4，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，
S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立.
