考点一
归纳推理
归纳推理的四个特点
(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．
(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．
(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．
[典例1] (1)观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________．
(2)
如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．
解析：(1)第n(n＝1,2,3)个不等式的左边为前n＋1个正整数平方的倒数和，右边分母为n＋1，分子为2n＋1，故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
(2)设第n层共有an个点，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＋1＝an＋6(n≥2，n∈N*)，则an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，n∈N*)，前n层所有点数之和为
Sn＝1＋＝3n2－3n＋1，故这个点阵共有3n2－3n＋1个点．
答案：(1)1＋＋＋＋＋<
(2)3n2－3n＋1
[对点训练]
1．观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形．
解析：设第n个图形中小正方形的个数为Sn，观察图形，当n＝1时，S1＝2＋1；当n＝2时，S2＝3＋2＋1；当n＝3时，S3＝4＋3＋2＋1；当n＝4时，S4＝5＋4＋3＋2＋1；当n＝5时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得Sn＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝＝.
答案：
考点二
类比推理
类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质．
(1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．
(2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．
[典例2] 在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D.则＝＋，类比以上结论写出四面体ABCD中，类似的命题，并给出证明．
解：猜想：在四面体A-BCD中，
若AB、AC、AD两两垂直，且AE⊥平面BCD，E为垂足，
则＝＋＋.
证明：
如图所示，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋.
故猜想正确．
[对点训练]
2．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示____________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
3．如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：
＋＋＝＋＋＝＝1.
运用类比猜想，对于空间中的四面体V-BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
解：如图，设O为四面体V-BCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V′，B′，C′，D′，类似结论为＋＋＋＝1.
类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
因为＝＝(其中h′，h分别为两个四面体的高)，
同理＝，＝，＝，
所以＋＋＋
＝＋＋＋＝1.
考点三
综合法和分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
[典例3] 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.
证明：法一：(分析法)
要证明2sin 2α≤成立，
只要证明4sin αcos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.只要证明4cos α≤.
上式可变形为4≤＋4(1－cos α)．
∵1－cos α＞0，
∴＋4(1－cos α)≥2＝4，
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号，
∴4≤＋4(1－cos α)成立，
∴不等式2sin 2α≤成立．
法二：(综合法)
∵＋4(1－cosα)≥4，
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号，
∴4cos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴4sin αcos α≤，
∴2sin 2α≤ .
[对点训练]
4．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，a≠1)．
(1)证明：函数f(x)的图象在y轴一侧；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)是图象上的两点，证明：直线AB的斜率大于零．
证明：(1)由ax－1＞0得ax＞1.
①当a＞1时，x＞0，函数图象在y轴右侧；
②当0＜a＜1时，x＜0，函数图象在y轴左侧．
故综上所述，函数总在y轴一侧．
(2)由于kAB＝，又由x1＜x2，
故只需证y2－y1＞0即可．
因为y2－y1＝loga(ax2－1)－loga(ax1－1)
＝loga.
①当a＞1时，由0＜x1＜x2得a0＜ax1＜ax2，
即0＜ax1－1＜ax2－1，
故有＞1，loga＞0，即y2－y1＞0.
②当0＜a＜1时，由x1＜x2＜0得ax1＞ax2＞a0，
即ax1－1＞ax2－1＞0，
故有0＜＜1，
∴y2－y1＝loga＞0，即y2－y1＞0.
综上，直线AB的斜率总大于零．
考点四
反证法
(1)如果一个命题的结论难以直接证明，可以考虑运用反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．
(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．
(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．
(4)反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
[典例4] 设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明：(1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，
此与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，
即l1与l2相交．
(2)法一：由方程组
解得交点P的坐标(x，y)为
而2x2＋y2＝22＋2
＝＝＝1.
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
法二：交点P的坐标(x，y)满足
故知x≠0.从而
代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.
整理后，得2x2＋y2＝1.
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
[对点训练]
5．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数．
由已知a＋b＝c＋d＝1，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.
又ac＋bd＞1，
而a，b，c，d都是非负数，所以ad≥0，bc≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＞1，矛盾．
所以假设不成立，即a，b，c，d中至少有一个负数．
考点五
数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可．
[典例5] 已知数列{an}中，a2＝a＋2(a为常数)，Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．
(1)求a1，a3；
(2)猜想数列{an}的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解：(1)由已知得Sn＝＝·n，
当n＝1时，S1＝a1，
∴2a1＝a1＋a，
∴a1＝a.
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3，
∴2(a1＋a2＋a3)＝3(a3＋a)，
∴2(a＋a＋2＋a3)＝3(a3＋a)，
∴a3＝a＋4.
(2)由a1＝a，a2＝a＋2，a3＝a＋4，…，
猜想an＝a＋2(n－1)．下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝a1＝a，右边＝a＋2(1－1)＝a，
∴当n＝1时等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时，等式成立，
即ak＝a＋2(k－1)，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝·(k＋1)－·k，
∴2ak＋1＝(ak＋1＋a)(k＋1)－(ak＋a)k，
∴(k－1)ak＋1＝kak－a.
∵k≥2，∴ak＋1＝－，
将ak＝a＋2(k－1)代入，
得ak＋1＝[a＋2(k－1)]－
＝＝a＋2[(k＋1)－1]．
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由①、②可知，对于任意的正整数n，等式an＝a＋2(n－1)恒成立．
[对点训练]
6．用数学归纳法证明：当n≥2且n∈N*时，··…·＝.
证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即··…·＝，
则当n＝k＋1时，··…··＝·＝·＝，
这说明当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，对任意n≥2且n∈N*，··…·＝都成立．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.
2．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，
＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■ B．△
C．□ D．○
解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．
4．观察下列各式：3＝22×3，3＝32×3，3＝42×3，……，若3＝92×3，则m＝( )
A．80 B．81
C．728 D．729
解析：选C 3＝22×3＝22×3，3＝32×3＝32×3，3＝42×3＝42×3，…，
所以3＝n2×3，
所以3＝92×3＝92×3，
所以m＝93－1＝729－1＝728，故选C.
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7; f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47; f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：选B 增乘的代数式为＝2(2k＋1)．
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
8．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如表所示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，则a2 018＝( )
A．504 B．505
C．1 008 D．1 009
解析：选D 由a2，a4，a6，a8，…组成的数列恰好对应数列{yn}，即yn＝a2n＝n.所以a2 018＝y1 009＝1 009.
9．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)，若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )
A．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
B．b*(b*b)＝b
C．(a*b)*a＝a
D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
解析：选C 根据新定义[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，A选项正确；b*(b*b)＝b，B选项也正确；令t＝a*b，则(a*b)*[b*(a*b)]＝t*(b*t)＝b，D选项也正确，故选C.
10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是( )
A．Sn＝n2 B．Sn＝n3
C．Sn＝n4 D．Sn＝n(n＋1)
解析：选B ∵当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；
∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.
11．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若甲同学每科成绩不低于乙同学，且至少有一科成绩比乙高，则称“甲同学比乙同学成绩好．”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A，B，C中都最多只有一个元素，所以只有AC，BB，CA满足条件．综上，符合题意的这组学生最多人数为3.
12．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j列的数，如a42＝8.若aij＝2 018，则i与j的和为( )
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
……
A．79 B．80
C．81 D．82
解析：选C 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数，偶数行为偶数，2 018＝2×1 009，所以2 018为第1 009个偶数，又前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1 056，故2 018在第32个偶数行内，所以i＝64.因为第64行的第一个数为2×993＝1 986，设2 018＝1 986＋2(m－1)，所以m＝17，即j＝17，所以i＋j＝81.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝________.
解析：因为所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4；右边的底数依次分别为3,6,10，所以由底数规律可知：第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6，右边的底数为10＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：212
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
15．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
16．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个实数m，n(m解析：因为函数的定义域为x≥－2，又f(x)＝k＋在定义域内为单调增函数，则x∈[m，n]时，有f(m)≤f(x)≤f(n)，则可转化为方程k＋＝x在x∈[－2，＋∞)上有两个相异实根，即k＝x－，令t＝，则x＝t2－2，得k＝t2－t－2(t>0)，由图(图略)可知，当－答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.
证明：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，
所以a＞0，c＜0.
要证明原不等式成立，只需证明＜a，
即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，
即(a－c)(2a＋c)＞0，
因为a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，
所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，故原不等式成立．
18．(本小题12分)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]>f，
只需证(tan x1＋tan x2)>tan，
只需证>，
只需证>，
只需证>，
只需证明0由x1，x2∈，且x1≠x2，
可知0即[f(x1)＋f(x2)]>f
21．(本小题12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)根据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
22．(本小题12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)S1＝a1＝，得a＝1，
∵an>0，∴a1＝1.
S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，
∴a2＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝.
得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N*)．
证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立；
②假设n＝k时，ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
即ak＋1＝－
＝－.
∴a＋2ak＋1－1＝0.
∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，an＝－对任意n∈N*都成立．
课件36张PPT。考点一归纳推理 考点二类比推理 考点三综合法和分析法 考点四反证法 考点五 数学归纳法 谢谢！阶段质量检测（二）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.
2．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，
＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■ B．△
C．□ D．○
解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．
4．观察下列各式：3＝22×3，3＝32×3，3＝42×3，……，若3＝92×3，则m＝( )
A．80 B．81
C．728 D．729
解析：选C 3＝22×3＝22×3，3＝32×3＝32×3，3＝42×3＝42×3，…，
所以3＝n2×3，
所以3＝92×3＝92×3，
所以m＝93－1＝729－1＝728，故选C.
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7; f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47; f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：选B 增乘的代数式为＝2(2k＋1)．
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
8．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如表所示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，则a2 018＝( )
A．504 B．505
C．1 008 D．1 009
解析：选D 由a2，a4，a6，a8，…组成的数列恰好对应数列{yn}，即yn＝a2n＝n.所以a2 018＝y1 009＝1 009.
9．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)，若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )
A．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
B．b*(b*b)＝b
C．(a*b)*a＝a
D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
解析：选C 根据新定义[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，A选项正确；b*(b*b)＝b，B选项也正确；令t＝a*b，则(a*b)*[b*(a*b)]＝t*(b*t)＝b，D选项也正确，故选C.
10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是( )
A．Sn＝n2 B．Sn＝n3
C．Sn＝n4 D．Sn＝n(n＋1)
解析：选B ∵当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；
∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.
11．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若甲同学每科成绩不低于乙同学，且至少有一科成绩比乙高，则称“甲同学比乙同学成绩好．”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A，B，C中都最多只有一个元素，所以只有AC，BB，CA满足条件．综上，符合题意的这组学生最多人数为3.
12．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j列的数，如a42＝8.若aij＝2 018，则i与j的和为( )
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
……
A．79 B．80
C．81 D．82
解析：选C 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数，偶数行为偶数，2 018＝2×1 009，所以2 018为第1 009个偶数，又前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1 056，故2 018在第32个偶数行内，所以i＝64.因为第64行的第一个数为2×993＝1 986，设2 018＝1 986＋2(m－1)，所以m＝17，即j＝17，所以i＋j＝81.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝________.
解析：因为所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4；右边的底数依次分别为3,6,10，所以由底数规律可知：第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6，右边的底数为10＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：212
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
15．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
16．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个实数m，n(m解析：因为函数的定义域为x≥－2，又f(x)＝k＋在定义域内为单调增函数，则x∈[m，n]时，有f(m)≤f(x)≤f(n)，则可转化为方程k＋＝x在x∈[－2，＋∞)上有两个相异实根，即k＝x－，令t＝，则x＝t2－2，得k＝t2－t－2(t>0)，由图(图略)可知，当－答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.
证明：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，
所以a＞0，c＜0.
要证明原不等式成立，只需证明＜a，
即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，
即(a－c)(2a＋c)＞0，
因为a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，
所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，故原不等式成立．
18．(本小题12分)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]>f，
只需证(tan x1＋tan x2)>tan，
只需证>，
只需证>，
只需证>，
只需证明0由x1，x2∈，且x1≠x2，
可知0即[f(x1)＋f(x2)]>f
21．(本小题12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)根据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
22．(本小题12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)S1＝a1＝，得a＝1，
∵an>0，∴a1＝1.
S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，
∴a2＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝.
得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N*)．
证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立；
②假设n＝k时，ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
即ak＋1＝－
＝－.
∴a＋2ak＋1－1＝0.
∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，an＝－对任意n∈N*都成立．
