数学选修2－2
章末小结与测评
考点一
复数的概念
复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．
[典例1] (1)复数＋的虚部是( )
A.i B.
C．－i D．－
(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C．1或2 D．－1
解析：(1)选B ＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为.
(2)选B 由纯虚数的定义，可得解得a＝2.
[对点训练]
1．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以所以a＝.
答案：
2．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
解：(1)由得m＝3.
∴当m＝3时，z是纯虚数．
(2)由得m＝－1或m＝－2.
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
(3)由得
－1
∴当－1考点二
复数的四则运算
1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.
2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i幂的周期性变化，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．
另外计算要注意下面结论的应用：
(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2，
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2，
(3)(1±i)2＝±2i，
(4)＝－i，
(5)＝i，＝－i，
(6)a＋bi＝i(b－ai)．
[典例2] 复数等于( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
解析：选D ＝－＝＝－－i.
[典例3] 已知复数z1＝，z2＝a－3i(a∈R)．
(1)若a＝2，求z1·；
(2)若z＝是纯虚数，求a的值．
解：由于z1＝＝＝＝＝1－3i.
(1)当a＝2时，z2＝2－3i，
∴z1·2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i－6i＋9＝11－3i.
(2)若z＝＝＝＝为纯虚数，则应满足
解得a＝－9.即a的值为－9.
[对点训练]
3．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选A z＝＝－1＋i，故选A.
4．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
解析：∵a＋bi＝，∴a＋bi＝＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，故a＋b＝8.
答案：8
5．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3)(2－i)2.
解：(1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)＝2＝－1＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2＝3－4i.
考点三
复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面上的点Z(a，b)一一对应，和向量OZ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．
[典例4] 若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
解析：选D 由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
[典例5] 已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
＝＝(x＋yi)(2＋i)
＝(2x－y)＋(2y＋x)i.
由题意知
∴∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由已知得
∴2∴实数a的取值范围是(2,6)．
[对点训练]
6．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
解析：选C 由iz＝2＋4i，可得z＝＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标是(4，－2)．
7．已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解：设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，A(1，2)，B(－2,6)，C(x，y)．
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
∵|OA|≠|BC|，
∴x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.
考点四
复数的模及其几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面上的点Z，则复数的模|z|＝|OZ―→|＝，即Z(a，b)到原点的距离．
[典例6] 已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．
解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|x＋yi＋2－2i|＝1，
即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1.
∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.
∴|z－3－2i|＝
＝＝，
由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0.
∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.
∴4≤≤6.
∴当x＝－1时，|z－3－2i|取最小值4.
法二：由复数及其模的几何意义知：
满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．
由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r.
又|AC|＝＝5，
所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.
[对点训练]
8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是( )
A．线段 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B ∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．
∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．
9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.
解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
|z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝
＝＝.
∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.
故当y＝－2时，5－2y取最大值9，从而取最大值3，此时x＝0，即|z－i|取最大值3时，z＝－2i.
法二：方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.
阶段质量检测（三）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
2．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选A ∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴＝－1－i.
3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选B 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以解得a＜－1.
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A. B．1 C. D．2
解析：选B ＋＝＋＝＋i，
由题意可知＝0，即a＝1.
5．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，
所以|z|＝.
6．复数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选A 2＝＝－i＝a＋bi，所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
7．已知f(n)＝in－i－n(i2＝－1，n∈N)，集合{f(n)|n∈N}的元素个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．无数个
解析：选B f(0)＝i0－i0＝0，f(1)＝i－i－1＝i－＝2i，
f(2)＝i2－i－2＝0，f(3)＝i3－i－3＝－2i，
由in的周期性知{f(n)|n∈N}＝{0，－2i,2i}．
8．已知复数z＝－2i(其中i是虚数单位)，则|z|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析：选C 复数z＝3－i－2i＝3－3i，则|z|＝3，故选C.
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A m＝1时，z1＝3－2i＝z2，故“m＝1”是“z1＝z2”的充分条件．
由z1＝z2，得m2＋m＋1＝3，且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，故“m＝1”不是“z1＝z2”的必要条件．
10．设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题．
11．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：选A 由定义知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
12．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：选B 由题意可得(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0?－1＋b＋c＋(2＋b)i＝0，
所以?
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z等于________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
答案：1＋i
14．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i，因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.
答案：1
15．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R，且b≠0)，方程的实根为x0，则x＋(2－i)x0＋(2bi－4)i＝0，
即(x＋2x0－2b)－(x0＋4)i＝0，
即
解得x0＝－4，b＝4.
故m＝4i.
答案：4i
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6，或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6，且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
18．(本小题12分)计算下列各题：
(1)(＋i)5＋4＋7;
(2)12＋8.
解：(1)(＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
(2)12＋8
＝(－i)12·12＋8
＝12＋
＝4＋(－8＋8i)
＝1－8＋8i＝－7＋8i.
19．(本小题12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵|z|＝1＋3i－z，
∴－1－3i＋a＋bi＝0，
则
解得∴z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
20．(本小题12分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解：(1)因为ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝＝.
(2)由条件＝1－i，
得＝1－i，
即＝1－i.
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
21．(本小题12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
∴|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝，
又∵|z1|＝，|z1－|<|z1|，
∴<，
∴a2－8a＋7<0，
解得1∴a的取值范围是(1,7)．
22．(本小题12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数，
(1)求m对应的点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则
＝＝，
∵为纯虚数，∴
即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，由已知m＝z－(3＋3i)，
∴|z－(3＋3i)|＝3.
∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．
由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；
最小值为|3＋3i|－3＝3.
数学选修2－2
模块综合检测
模块综合检测
数学选修2－2
模块综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数(i为虚数单位)的虚部是( )
A. B.i
C.i D.
解析：选D 因为＝＝＋i，所以复数的虚部为，故选D.
2．已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(4，＋∞)
C．(－1,4) D．(－4，－1)
解析：选C 复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－13．用反证法证明“若a＋b＋c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”，应( )
A．假设a，b，c至少有一个大于1
B．假设a，b，c都大于1
C．假设a，b，c至少有两个大于1
D．假设a，b，c都不小于1
解析：选D 假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1，故选D.
4．设a＝x－dx，b＝1－xdx，c＝x3dx，则a、b、c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．b>c>a
解析：选A 由题意可得a＝x－dx＝＝x＝；b＝1－xdx＝1－＝1－＝；c＝x3dx＝＝.综上，a>b>c.
5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
解析：选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．
6．已知点列：P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，P4(1,3)，P5(2,2)，P6(3,1)，P7(1,4)，P8(2,3)，P9(3,2)，P10(4,1)，P11(1,5)，P12(2,4)，…，则P60的坐标为( )
A．(3,8) B．(4,7)
C．(4,8) D．(5,7)
解析：选D 横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横纵坐标之和为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个．
因此横纵坐标之和为2,3，…，11的点共有1＋2＋3＋…＋10＝55个，
横纵坐标之和为12的有11个．
因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D.
7．由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )
A. B.＋
C. D.＋1
解析：选B 把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．
易得S＝(2－x2)dx＋(2－x2－x)dx
＝＋
＝2－＋2－－
＝＋.
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r>0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则是m2，n2的等差中项．现有一椭圆＋＝1(a>b>0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为( )
A. B.
C. D．1
解析：选A
如图，设P(x，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由OP―→＝mOA―→＋nOB―→可得代入＋＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等差中项为.
9．已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
解析：选B ∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.
10．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 016的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选C ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，……
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 016)＝f(502×4＋8)＝f(8)．
∴52 016与58的末四位数字相同，均为0 625.
11．定义在区间[a，b]上的函数f(x)，其图象是连续不断的，若?ξ∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)·(b－a)，则称ξ为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝ln(x＋1)；④f(x)＝3.其中在区间[0,1]上的“中值点”多于1个的函数是( )
A．①④ B．①③
C．②④ D．②③
解析：选A 由f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)可知＝f′(ξ)，即曲线y＝f(x)存在点(ξ，f(ξ))处的切线，其斜率等于(a，f(a))，(b，f(b))两点连线的斜率．借助各个函数图象(图略)观察可知在区间[0,1]上的“中值点”多于1个的函数是①④.
12．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)A．{x|x≠±1} B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选B 构造函数g(x)＝x2f(x)－x2，x∈R，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－2x＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]．由题意得2f(x)＋xf′(x)－2<0恒成立，故当x<0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x>0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．因为x2f(x)－f(1)0时，解得x>1; 当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以g(x)是偶函数，同理解得x<－1.故实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝3i－1，
∴|z|＝＝.
答案：
14．已知f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．
解析：f(x)＝的导数为f′(x)＝，在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝0，切点为，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.
答案：y＝
15.|sin x|dx＝________.
解析：|sin x|dx＝sin xdx＋(－sin x)dx＝－cos x|＋cos x|＝1＋1＋1＋1＝4.
答案：4
16．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按下图①②③所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________，f(n)＝________(用含n的式子表示)．
解析：设第n堆第一层乒乓球数为g(n)，则g(1)＝1，g(2)＝1＋2，g(3)＝1＋2＋3，…，
则g(n)＝1＋2＋3＋…＋n＝＝.
所以f(3)＝g(1)＋g(2)＋g(3)
＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10.
f(n)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n)
＝(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝＝.
答案：10
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)(1)计算2＋；
(2)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＋2i＝3＋i，求复数z.
解：(1)原式＝＋
＝i＋＝i＋＝＋i.
(2)(x＋yi)＋2i(x－yi)＝3＋i，
即(x＋2y)＋(2x＋y)i＝3＋i，
即解得
∴z＝－＋i.
18．(本小题12分)设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lg c.
证明：法一：∵ab＝10，∴lg a＋lg b＝lg ab＝1，
则logac＋logbc＝＋＝＝.
∵a>1，b>1，
∴lg a>0，lg b>0，
则lg a·lg b≤2＝，≥4，
又c＞1，lg c＞0.
∴≥4lg c
即logac＋logbc≥4lg c.
法二：要证logac＋logbc≥4lg c，
只需证＋≥4lg c.
又因为c>1，所以lg c>0，
故只需证＋≥4，
即证≥4.
又因为ab＝10，
所以lg a＋lg b＝lg(ab)＝1，
故只需证≥4.
又因为lg a>0，lg b>0，
所以0则≥4成立．
所以原不等式成立，
即logac＋logbc≥4lg c.
19．(本小题12分)已知函数f(x)＝x3－ax＋b在y轴上的截距为1，且曲线上一点P处的切线斜率为.
(1)求曲线在P点处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极大值和极小值．
解：(1)因为函数f(x)＝x3－ax＋b在y轴上的截距为1，所以b＝1.
又y′＝x2－a，所以2－a＝，所以a＝，
所以f(x)＝x3－x＋1，
所以y0＝f＝1，故点P，所以切线方程为y－1＝，即2x－6y＋6－＝0.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－，
令f′(x)＝0，得x＝±.
当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表：
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
因此，当x＝－时，函数f(x)有极大值为f＝1＋，当x＝时，函数f(x)有极小值为f＝1－.
20．(本小题12分)设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，….
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.
解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，
由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5，
由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)．
(2)证明：
①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1)时不等式成立，即ak≥k＋2，
那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.
由①②可知，对n≥1，都有an≥n＋2.
21．(本小题12分)设函数f(x)＝.
(1)求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)当x≥1时，不等式f(x)－≥恒成立，求a的取值范围．
解：(1)由题意可得，f(e)＝，f′(x)＝，
所以f′(e)＝＝－.
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－＝－(x－e)，即x＋e2y－3e＝0.
(2)由题意可得，当x≥1时，f(x)－－＝≥0恒成立，
令g(x)＝ln x －a(x2－1)(x≥1)，则g′(x)＝－2ax，
当a≤0时，g′(x)>0，所以函数y＝g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，
所以不等式f(x)－≥成立，即a≤0符合题意．
当a>0时，令－2ax＝0，解得x＝，令＝1，解得a＝，
①当>1，即00，在上g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在上单调递增，在上单调递减，
g＝ln －a＝－ln a －＋a，
令h(a)＝－ln a －＋a，
则h′(a)＝－＋＋1＝＝>0恒成立，又0所以h(a)所以存在g<0，所以0②当≤1，即a≥时，g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以函数y＝g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，显然a≥不符合题意．
综上所述，a的取值范围为(－∞，0]．
22．(本小题12分)设函数f(x)＝(1－a)ln x＋x2－x.
(1)若对任意的实数a，曲线y＝f(x)在x＝t处的切线斜率恒为零，求t的值；
(2)若0.
解：f′(x)＝＋ax－1，由题设知f′(t)＝0对任意的实数a恒成立，
即1－a＋at2－t＝a(t2－1)＋1－t＝0对任意的实数a恒成立，所以解得t＝1.
(2)证明：f′(x)＝＋ax－1＝(x－1)，
由题意知0①若01，
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以f(x)≥f＝(1－a)ln＋＋，
由01，可得(1－a)ln＋>0，所以f(x)>.
②若a＝，则＝1，当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(1)＝－1＝－，此时＝－1，
所以f(x)>成立．
③若当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以f(x)≥f(1)＝－1，
－1－＝＝，
因为0，
故f(x)>，
综上可得f(x)>.
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阶段质量检测（三）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
2．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选A ∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴＝－1－i.
3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选B 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以解得a＜－1.
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A. B．1 C. D．2
解析：选B ＋＝＋＝＋i，
由题意可知＝0，即a＝1.
5．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，
所以|z|＝.
6．复数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选A 2＝＝－i＝a＋bi，所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
7．已知f(n)＝in－i－n(i2＝－1，n∈N)，集合{f(n)|n∈N}的元素个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．无数个
解析：选B f(0)＝i0－i0＝0，f(1)＝i－i－1＝i－＝2i，
f(2)＝i2－i－2＝0，f(3)＝i3－i－3＝－2i，
由in的周期性知{f(n)|n∈N}＝{0，－2i,2i}．
8．已知复数z＝－2i(其中i是虚数单位)，则|z|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析：选C 复数z＝3－i－2i＝3－3i，则|z|＝3，故选C.
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A m＝1时，z1＝3－2i＝z2，故“m＝1”是“z1＝z2”的充分条件．
由z1＝z2，得m2＋m＋1＝3，且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，故“m＝1”不是“z1＝z2”的必要条件．
10．设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题．
11．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：选A 由定义知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
12．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：选B 由题意可得(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0?－1＋b＋c＋(2＋b)i＝0，
所以?
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z等于________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
答案：1＋i
14．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i，因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.
答案：1
15．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R，且b≠0)，方程的实根为x0，则x＋(2－i)x0＋(2bi－4)i＝0，
即(x＋2x0－2b)－(x0＋4)i＝0，
即
解得x0＝－4，b＝4.
故m＝4i.
答案：4i
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6，或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6，且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
18．(本小题12分)计算下列各题：
(1)(＋i)5＋4＋7;
(2)12＋8.
解：(1)(＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
(2)12＋8
＝(－i)12·12＋8
＝12＋
＝4＋(－8＋8i)
＝1－8＋8i＝－7＋8i.
19．(本小题12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵|z|＝1＋3i－z，
∴－1－3i＋a＋bi＝0，
则
解得∴z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
20．(本小题12分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解：(1)因为ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝＝.
(2)由条件＝1－i，
得＝1－i，
即＝1－i.
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
21．(本小题12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
∴|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝，
又∵|z1|＝，|z1－|<|z1|，
∴<，
∴a2－8a＋7<0，
解得1∴a的取值范围是(1,7)．
22．(本小题12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数，
(1)求m对应的点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则
＝＝，
∵为纯虚数，∴
即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，由已知m＝z－(3＋3i)，
∴|z－(3＋3i)|＝3.
∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．
由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；
最小值为|3＋3i|－3＝3.
