第2课时 导数的几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P6～P9的内容，回答下列问题．
观察教材P7图1.1－2，回答下列问题．
(1)割线PPn的斜率kn是什么？
提示：割线PPn的斜率kn＝＝.
(2)当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.
(3)当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？
提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.
(4)如何求得过点P的切线PT的斜率？
提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
2．归纳总结，核心必记
(1)导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
(2)导函数
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝
.
[问题思考]
(1)若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？
提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
(4)f′(x0)与f′(x)有什么区别？
提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
[课前反思]
(1)导数的几何意义是：
(2)导数的概念是：
(3)如何求函数f(x)在x＝x0处的切线方程？
知识点1
求曲线的切线方程
[思考1] 直线的点斜式方程是什么？
提示：y－y0＝k(x－x0)．
[思考2] 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
名师指津：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
[思考3] 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
?讲一讲
1．已知曲线y＝x2，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．
[尝试解答] (1)设切点为(x0，y0)，
∵y′x＝x0＝
＝ ＝2x0，
∴y′x＝1＝2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，
由(1)知，y′x＝x0＝2x0，
∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x，②
联立①，②得x0＝1或x0＝5.
从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.
综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
类题·通法
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
?练一练
1．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．
解：y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
知识点2
求切点坐标
[思考] 如何处理切点问题？
名师指津：切点问题的处理方法：
(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
?讲一讲
2．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．
[尝试解答] 设P点坐标为(x0，y0)，
＝
＝
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0.
所以f′(x0)＝[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0]
＝3x－6x0，于是3x－6x0＝9，
解得x0＝3或x0＝－1，
因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.
类题·通法
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．
?练一练
2．已知抛物线y＝2x2＋1，求
(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
解：设点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).
知识点3
导数几何意义的应用
?讲一讲
3．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的 ( )
(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
[尝试解答] (1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.
(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.
[答案] (1)A (2)D
类题·通法
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
?练一练
3．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )
解析：选D 函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；
当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；
当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求曲线的切线方程的方法，见讲1；
(2)已知曲线的切线求切点坐标，见讲2；
(3)导数几何意义的应用，见讲3.
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上，这是本节课的易错点．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 求曲线的切线方程
1．曲线y＝x3＋11在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
解析：选C ∵切线的斜率k＝ ＝
＝
＝[3＋3(Δx)＋(Δx)2]＝3，
∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．
令x＝0得y＝12－3＝9.
2．求曲线y＝在点的切线方程．
解：因为y′＝ ＝
＝ ＝－，
所以曲线在点的切线斜率为
k＝y′x＝＝－4.
故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
题组2 求切点坐标
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
又y′＝ ＝2x＋a，
∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
5．曲线y＝f(x)＝x2的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)切线的倾斜角为135°.
解：f′(x)＝li ＝li ＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4，即P(2,4)，显然P(2,4)不在直线y＝4x－5上，∴符合题意．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，∴x0＝－，y0＝，即P.
(3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，即2x0＝－1，∴x0＝－，y0＝，即P.
题组3 导数几何意义的应用
6．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
7．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
解析：选B 由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
解析：选D 不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．
答案：②
[能力提升综合练]
1.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：选B f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴02．曲线y＝在点P(2,1)处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解析：选D Δy＝－＝－1＝， ＝ ＝－1，斜率为－1，倾斜角为.
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
解析：选A 由Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋Δx得 ＝ (Δx)2＋3Δx＋1＝1，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
解析：选C f′(x)＝
＝ ＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．
解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b)．
答案：>
6．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为____________．
解析：曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝
＝ (3Δx＋2)＝2.所以过点P(－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
答案：2x－y＋4＝0
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；
(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．
8.
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(S)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．
解：如图，结合导数的几何
意义，我们可以看出：在t＝1.5 S附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 S之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 S后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．
课件31张PPT。斜率k 确定 导数 求曲线的切线方程 求切点坐标 导数几何意义的应用 谢谢！课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 求曲线的切线方程
1．曲线y＝x3＋11在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
解析：选C ∵切线的斜率k＝ ＝
＝
＝[3＋3(Δx)＋(Δx)2]＝3，
∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．
令x＝0得y＝12－3＝9.
2．求曲线y＝在点的切线方程．
解：因为y′＝ ＝
＝ ＝－，
所以曲线在点的切线斜率为
k＝y′x＝＝－4.
故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
题组2 求切点坐标
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
又y′＝ ＝2x＋a，
∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
5．曲线y＝f(x)＝x2的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)切线的倾斜角为135°.
解：f′(x)＝li ＝li ＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4，即P(2,4)，显然P(2,4)不在直线y＝4x－5上，∴符合题意．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，∴x0＝－，y0＝，即P.
(3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，即2x0＝－1，∴x0＝－，y0＝，即P.
题组3 导数几何意义的应用
6．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
7．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
解析：选B 由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
解析：选D 不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．
答案：②
[能力提升综合练]
1.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：选B f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴02．曲线y＝在点P(2,1)处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解析：选D Δy＝－＝－1＝， ＝ ＝－1，斜率为－1，倾斜角为.
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
解析：选A 由Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋Δx得 ＝ (Δx)2＋3Δx＋1＝1，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
解析：选C f′(x)＝
＝ ＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．
解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b)．
答案：>
6．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为____________．
解析：曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝
＝ (3Δx＋2)＝2.所以过点P(－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
答案：2x－y＋4＝0
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；
(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．
8.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(S)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．
解：如图，结合导数的几何
意义，我们可以看出：在t＝1.5 S附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 S之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 S后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．
