课件24张PPT。x的函数 y＝f(g(x)) yu′·ux′ y对u的导数与u对x的导数的乘积 简单复合函数求导问题 复合函数与导数运算法则的综合应用 复合函数导数的综合问题 谢谢！第2课时 复合函数求导及应用
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P16“思考”～P17的内容，回答下列问题．
函数y＝ln(x＋2)与函数y＝ln u和u＝x＋2之间有什么关系？
提示：y＝ln(x＋2)是由函数y＝ln u和u＝x＋2复合而成的复合函数．
2．归纳总结，核心必记
(1)复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[问题思考]
(1)函数y＝log2(x2－3x＋5)是由哪些函数复合而成的？
提示：y＝log2(x2－3x＋5)是由y＝log2u，u＝x2－3x＋5复合而成．
(2)函数y＝ln (2x＋1)的导函数是什么？
提示：y＝ln (2x＋1)是由函数y＝ln u和u＝2x＋1复合而成的，∴y′x＝y′u·u′x＝·(2x＋1)′＝＝.
[课前反思]
(1)复合函数的概念是什么？
(2)复合函数的求导公式是什么？
知识点1
简单复合函数求导问题
??讲一讲
1．(链接教材P17－例4)求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝eSin x；
(3)y＝Sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
[尝试解答] (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2)－(－4x)＝ .
(2)设y＝eu，u＝Sin x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·coS x＝eSin xcoS x.
(3)设y＝Sin u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝coS u·2＝2coS.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝.
复合函数求导的步骤
??练一练
1．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln (4x－1)；
(3)f(x)＝23x＋2；(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝Sin；(6)f(x)＝coS2x.
解：(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设y＝ln u，u＝4x－1，
则y′＝yu′·ux′＝·4＝.
(3)设y＝2u，u＝3x＋2，
则y′＝yu′·ux′＝2uln 2·3＝3ln 2·23x＋2.
(4)设y＝，u＝5x＋4，
则y′＝yu′·ux′＝·5＝ .
(5)设y＝Sin u，u＝3x＋，
则y′＝yu′·ux′＝coS u·3＝3coS.
(6)法一：设y＝u2，u＝coS x，
则y′＝yu′·ux′＝2u·(－Sin x)
＝－2coS x·Sin x＝－Sin 2x；
法二：∵f(x)＝coS2x＝＝＋coS 2x，
所以f′(x)＝′
＝0＋·(－Sin 2x)·2＝－Sin 2x.
知识点2
复合函数与导数运算法则的综合应用
??讲一讲
2．求下列函数的导数．
(1)y＝x；(2)y＝xcoSSin.
[尝试解答] (1)y′＝(x)′
＝x′＋x()′
＝ ＋＝.
(2)∵y＝xcoSSin
＝x(－Sin 2x)coS 2x＝－xSin 4x，
∴y′＝′
＝－Sin 4x－coS 4x·4
＝－Sin 4x－2xcoS 4x.
类题·通法
复合函数求导应注意的问题
(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数[如讲2(2)]，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
??练一练
2．求下列函数的导数．
(1)y＝Sin2；(2)y＝Sin3x＋Sin x3；
(3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)．
解：(1)y′＝′＝2Sin ·′
＝2Sin ·coS ·′＝Sin.
(2)y′＝(Sin3x＋Sin x3)′＝(Sin3x)′＋(Sin x3)′
＝3Sin2xcoSx＋coS x3·3x2＝3Sin2xcoS x＋3x2coS x3.
(3)y′＝＝
＝＝ .
(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x′
＝ln(1＋x)＋.
知识点3
复合函数导数的综合问题
??讲一讲
3. 设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值．
[思路点拨] 当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点．
[尝试解答] 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.
类题·通法
本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
??练一练
3．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D．1
解析：
选A 依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见讲1和讲2.
3．求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 简单复合函数求导问题
1．函数y＝coS(－x)的导数是( )
A．coS x B．－coS x
C．－Sin x D．Sin x
解析：选C y′＝－Sin (－x)(－x)′＝－Sin x.
2．y＝coS3x的导数是( )
A．y′＝－3coS2xSin x
B．y′＝－3coS2x
C．y′＝－3Sin2x
D．y′＝－3coS xSin2x
解析：选A 令t＝coS x，则y＝t3，y′＝yt′·tx′＝3t2·(－Sin x)＝－3coS2xSin x.
3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 令y＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.所以f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3.
4．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝Sin4x＋coS4x.
解：(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)y＝Sin4x＋coS4x＝(Sin2x＋coS2x)2－2Sin2x·coS2x＝1－Sin22x＝1－(1－coS 4x)＝＋coS 4x.
所以y′＝′＝－Sin 4x.
题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用
5．函数y＝x2coS 2x的导数为( )
A．y′＝2xcoS 2x－x2Sin 2x
B．y′＝2xcoS 2x－2x2Sin 2x
C．y′＝x2coS 2x－2xSin 2x
D．y′＝2xcoS 2x＋2x2Sin 2x
解析：选B y′＝(x2)′coS 2x＋x2(coS 2x)′＝2xcoS 2x＋x2(－Sin 2x)·(2x)′＝2xcoS 2x－2x2Sin 2x.
6．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
解析：选B y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
7．函数y＝Sin 2xcoS 3x的导数是________．
解析：∵y＝Sin 2xcoS 3x，
∴y′＝(Sin 2x)′coS 3x＋Sin 2x(coS 3x)′
＝2coS 2xcoS 3x－3Sin 2xSin 3x.
答案：2coS 2xcoS 3x－3Sin 2xSin 3x
8．已知f(x)＝eπxSin πx，求f′(x)及f′.
解：∵f(x)＝eπxSin πx，
∴f′(x)＝πeπxSin πx＋πeπxcoS πx
＝πeπx(Sin πx＋coS πx)．
f′＝πe＝πe.
题组3 复合函数导数的综合问题
9．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A. B．2 C．3 D．0
解析：选A 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴y′x＝x0＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克
解析：选D M′(t)＝－ln 2×M02－，
由M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10 ln 2，
解得M0＝600，
所以M(t)＝600×2－，
所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)．
[能力提升综合练]
1．函数y＝(2 018－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 018－8x)2 B．－24x
C．－24(2 018－8x)2 D．24(2 018－8x2)
解析：选C y′＝3(2 018－8x)2×(2 018－8x)′＝3(2 018－8x)2×(－8)＝－24(2 018－8x)2.
2．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
解析：选A y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选B 设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
4．函数y＝ln在x＝0处的导数为________．
解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，
则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.
答案：
5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
答案：2
6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′＝ .又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.
答案：2
7．求函数y＝aSin＋bcoS22x(a，b是实常数)的导数．
解：∵′＝acoS·′＝coS，
又(coS22x)′＝′
＝(－Sin 4x)×4＝－2Sin 4x，
∴y＝aSin＋bcoS22x的导数为
y′＝′＋b(coS22x)′＝coS－2bSin 4x.
8．曲线y＝e2xcoS 3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程．
解：由题意知y′＝(e2x)′coS 3x＋e2x(coS 3x)′
＝2e2xcoS 3x＋3(－Sin 3x)·e2x
＝2e2xcoS 3x－3e2xSin 3x，
所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
所以该切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4;
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 简单复合函数求导问题
1．函数y＝coS(－x)的导数是( )
A．coS x B．－coS x
C．－Sin x D．Sin x
解析：选C y′＝－Sin (－x)(－x)′＝－Sin x.
2．y＝coS3x的导数是( )
A．y′＝－3coS2xSin x
B．y′＝－3coS2x
C．y′＝－3Sin2x
D．y′＝－3coS xSin2x
解析：选A 令t＝coS x，则y＝t3，y′＝yt′·tx′＝3t2·(－Sin x)＝－3coS2xSin x.
3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 令y＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.所以f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3.
4．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝Sin4x＋coS4x.
解：(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)y＝Sin4x＋coS4x＝(Sin2x＋coS2x)2－2Sin2x·coS2x＝1－Sin22x＝1－(1－coS 4x)＝＋coS 4x.
所以y′＝′＝－Sin 4x.
题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用
5．函数y＝x2coS 2x的导数为( )
A．y′＝2xcoS 2x－x2Sin 2x
B．y′＝2xcoS 2x－2x2Sin 2x
C．y′＝x2coS 2x－2xSin 2x
D．y′＝2xcoS 2x＋2x2Sin 2x
解析：选B y′＝(x2)′coS 2x＋x2(coS 2x)′＝2xcoS 2x＋x2(－Sin 2x)·(2x)′＝2xcoS 2x－2x2Sin 2x.
6．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
解析：选B y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
7．函数y＝Sin 2xcoS 3x的导数是________．
解析：∵y＝Sin 2xcoS 3x，
∴y′＝(Sin 2x)′coS 3x＋Sin 2x(coS 3x)′
＝2coS 2xcoS 3x－3Sin 2xSin 3x.
答案：2coS 2xcoS 3x－3Sin 2xSin 3x
8．已知f(x)＝eπxSin πx，求f′(x)及f′.
解：∵f(x)＝eπxSin πx，
∴f′(x)＝πeπxSin πx＋πeπxcoS πx
＝πeπx(Sin πx＋coS πx)．
f′＝πe＝πe.
题组3 复合函数导数的综合问题
9．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A. B．2 C．3 D．0
解析：选A 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴y′x＝x0＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克
解析：选D M′(t)＝－ln 2×M02－，
由M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10 ln 2，
解得M0＝600，
所以M(t)＝600×2－，
所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)．
[能力提升综合练]
1．函数y＝(2 018－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 018－8x)2 B．－24x
C．－24(2 018－8x)2 D．24(2 018－8x2)
解析：选C y′＝3(2 018－8x)2×(2 018－8x)′＝3(2 018－8x)2×(－8)＝－24(2 018－8x)2.
2．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
解析：选A y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选B 设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
4．函数y＝ln在x＝0处的导数为________．
解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，
则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.
答案：
5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
答案：2
6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′＝ .又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.
答案：2
7．求函数y＝aSin＋bcoS22x(a，b是实常数)的导数．
解：∵′＝acoS·′＝coS，
又(coS22x)′＝′
＝(－Sin 4x)×4＝－2Sin 4x，
∴y＝aSin＋bcoS22x的导数为
y′＝′＋b(coS22x)′＝coS－2bSin 4x.
8．曲线y＝e2xcoS 3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程．
解：由题意知y′＝(e2x)′coS 3x＋e2x(coS 3x)′
＝2e2xcoS 3x＋3(－Sin 3x)·e2x
＝2e2xcoS 3x－3e2xSin 3x，
所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
所以该切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4;
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
