第1课时 函数的单调性与导数
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P22～P26的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P22图1.3－1，回答下列问题：
①函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(0，a)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？
提示：h(t)在_(0，a)上为增函数，h′(t)>0.
②函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(a，b)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？
提示：h(t)在(a，b)上为减函数，h′(t)<0.
(2)观察教材P23图1.3－2.
函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？
提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝1>0，y(x)是增函数；
②在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x<0，y(x)是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x>0，y(x)是增函数；
③在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；
④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－<0，y(x)是减函数．
(3)观察教材P26图1.3－7，函数f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？
提示：在(0，a)上的导数值大于在(a，＋∞)上的导数值．
(4)观察函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0,1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与f′(x)在(0,1)和 (1，＋∞)内的大小有什么关系？
提示：在(0,1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数f′(x)在(0,1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．
2．归纳总结，核心必记
(1)函数的单调性与其导数正负的关系
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
[问题思考]
(1)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？
提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．
(2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
(3)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？
提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．
[课前反思]
(1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系？
(2)函数图象的变化趋势与导数值的大小有什么关系？
知识点1
函数与导函数图象间的关系
??讲一讲
1．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
[尝试解答] (1)由函数的图象可知：
当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；
当x>0时，函数先增后减再增，
即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内， 导数单调递增；
在区间内，导数单调递减．
即函数f(x)的图象在内越来越陡，在，b内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．
[答案] (1)D (2)D
类题·通法
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
??练一练
1．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是( )
解析：选D 因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f′(x)<0.
(2)函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y＝f(x)的递增区间为____________；递减区间为________________．
解析：由f′(x)的图象可知，
当x∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f′(x)<0.
故函数f(x)的增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)．
答案：(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞) (－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)
知识点2
判断(证明)函数的单调性
[思考1] 若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
名师指津：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
[思考2] 若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？
名师指津：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．
[思考3] 如何判断(证明)可导函数f(x)在(a，b)上的单调性？
名师指津：利用f′(x)的符号，规律方法同[思考2]．
??讲一讲
2．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
[尝试解答] 由于f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
类题·通法
利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)得出结论．
??练一练
2．试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
证明：由于f(x)＝，所以f′(x)＝＝.
由于0
故f′(x)＝>0，
即函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数.
知识点3
利用导数求函数的单调区间
[思考] f′(x)>0或f′(x)<0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？
名师指津：f′(x)>0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)<0的解集对应函数f(x)的单调递减区间．
??讲一讲
3．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－2x2＋x；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
[尝试解答] (1)函数的定义域为R，
∵f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)>0，解得x>1或x<.
因此f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)．
令f′(x)<0，解得因此f(x)的单调递减区间是.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，解得－，又x>0，∴x>；
令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴0∴f(x)的单调递增区间为；
单调递减区间为.
类题·通法
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
注意事项：
①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．
②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
??练一练
3．求函数f(x)＝的单调区间．
解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).
知识点4
与参数有关的函数单调性问题
??讲一讲
4．已知函数f(x)＝x3－ax－1.讨论f(x)的单调区间．
[思路点拨] 由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)>0或f′(x)<0的解集即可．
[尝试解答] f′(x)＝3x2－a.
(1)当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±.
当x>或x<－时，f′(x)>0;
当－因此f(x)在，上为增函数，f(x)在上为减函数．
综上可知， 当a≤0时，f(x)在R上为增函数．
当a>0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
类题·通法
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
??练一练
4．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；
(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围；
(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；
(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：(1)由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，
所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，
所以a≤0.
即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，
即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．
因为－1所以3x2<3，
所以a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
(4)由例题可知，f(x)的单调递减区间为－，，
∴＝1，即a＝3.
(5)∵f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0<<1，
即0故a的取值范围为(0,3)．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数有关的函数单调性问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)函数与导函数图象间关系的应用，见讲1；
(2)判断(证明)函数单调性的方法，见讲2；
(3)利用导数求函数单调区间的方法，见讲3；
(4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题，见讲4.
3．在利用导数求函数的单调区间时，易忽视函数的定义域，这是本节课的易错点，如讲3(2)．
课下能力提升(五)
[学业水平达标练]
题组1 函数与导函数图象间的关系
1.
f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )
解析：选C 题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.
2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )
解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.
3.
如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．
解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0，所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．
答案：(－1,2)和(4,5]
题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
5．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是( )
A. B.和
C. D.和
解析：选C 由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝＝，令f′(x)＝>0，解得x>，故函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是.故选C.
6．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间．
解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，∴c＝1，f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝3a＋2b＝1，切点为(1,1)，则f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(1,1)，得a＋b＋c＝1，解得a＝1，b＝－1，即f(x)＝x3－x2＋1.
(2)由f′(x)＝3x2－2x>0得x<0或x>，所以单调递增区间为(－∞，0)和.
题组3 与参数有关的函数单调性问题
7．若函数f(x)＝x－a在[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选C 函数f(x)＝x－a在[1,4]上单调递减，只需f′(x)≤0在[1,4]上恒成立即可，令f′(x)＝1－ax－≤0，解得a≥2，则a≥4.∴amin＝4.
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1答案：－ －6
9．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)·(ex＋2a)．
(1)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
②若－0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减；
③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．
[能力提升综合练]
1．若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝coS x
解析：选A 对于选项A，f(x)＝2－x＝x，
则exf(x)＝ex·x＝x，∵＞1，
∴exf(x)在R上单调递增，∴f(x)＝2－x具有M性质．对于选项B，f(x)＝x2，exf(x)＝exx2，[exf(x)]′＝ex(x2＋2x)，令ex(x2＋2x)＞0，得x＞0或x＜－2；
令ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，∴函数exf(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，
∴f(x)＝x2不具有M性质．
对于选项C，f(x)＝3－x＝x，
则exf(x)＝ex·x＝x，
∵＜1，
∴y＝x在R上单调递减，
∴f(x)＝3－x不具有M性质．
对于选项D，f(x)＝coS x，exf(x)＝excoS x，
则[exf(x)]′＝ex(coS x－Sin x)≥0在R上不恒成立，故exf(x)＝excoS x在R上不是单调递增的，
∴f(x)＝coS x不具有M性质．故选A.
2．若函数f(x)＝x－eln x,0A．f(a)f(b)
C．f(a)>f(e) D．f(e)>f(b)
解析：选C f′(x)＝1－＝，x>0，令f′(x)＝0，得x＝e，f(x)在(0，e)上为减函数，在(e，＋∞)上为增函数，所以f(a)>f(e)，f(b)>f(e)，f(a)与f(b)的大小不确定．
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
解析：选C 因为′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
5．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b有两个不相等的实数根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
6．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以解得：1≤k<.
答案：
7．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)在区间(0，t](t>0)上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.
曲线f(x)在x＝1处的切线的斜率为k＝f′(1)＝1.
把x＝1代入f(x)＝xln x中得f(1)＝0，即切点坐标为(1,0)．所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝.
①当0②当t>时，在区间上，f′(x)<0，f(x)为减函数；在区间上，f′(x)>0，f(x)为增函数．
8．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
令G(x)＝－，
则a≥G(x)max.而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
课件37张PPT。递增 递减 快 慢 平缓 陡峭 函数与导函数图象间的关系 判断(证明)函数的单调性 利用导数求函数的单调区间 与参数有关的函数单调性问题 谢谢！
课下能力提升(五)
[学业水平达标练]
题组1 函数与导函数图象间的关系
1.f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )
解析：选C 题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.
2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )
解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.
3.如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．
解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0，所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．
答案：(－1,2)和(4,5]
题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
5．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是( )
A. B.和
C. D.和
解析：选C 由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝＝，令f′(x)＝>0，解得x>，故函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是.故选C.
6．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间．
解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，∴c＝1，f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝3a＋2b＝1，切点为(1,1)，则f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(1,1)，得a＋b＋c＝1，解得a＝1，b＝－1，即f(x)＝x3－x2＋1.
(2)由f′(x)＝3x2－2x>0得x<0或x>，所以单调递增区间为(－∞，0)和.
题组3 与参数有关的函数单调性问题
7．若函数f(x)＝x－a在[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选C 函数f(x)＝x－a在[1,4]上单调递减，只需f′(x)≤0在[1,4]上恒成立即可，令f′(x)＝1－ax－≤0，解得a≥2，则a≥4.∴amin＝4.
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1答案：－ －6
9．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)·(ex＋2a)．
(1)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
②若－0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减；
③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．
[能力提升综合练]
1．若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝coS x
解析：选A 对于选项A，f(x)＝2－x＝x，
则exf(x)＝ex·x＝x，∵＞1，
∴exf(x)在R上单调递增，∴f(x)＝2－x具有M性质．对于选项B，f(x)＝x2，exf(x)＝exx2，[exf(x)]′＝ex(x2＋2x)，令ex(x2＋2x)＞0，得x＞0或x＜－2；
令ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，∴函数exf(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，
∴f(x)＝x2不具有M性质．
对于选项C，f(x)＝3－x＝x，
则exf(x)＝ex·x＝x，
∵＜1，
∴y＝x在R上单调递减，
∴f(x)＝3－x不具有M性质．
对于选项D，f(x)＝coS x，exf(x)＝excoS x，
则[exf(x)]′＝ex(coS x－Sin x)≥0在R上不恒成立，故exf(x)＝excoS x在R上不是单调递增的，
∴f(x)＝coS x不具有M性质．故选A.
2．若函数f(x)＝x－eln x,0A．f(a)f(b)
C．f(a)>f(e) D．f(e)>f(b)
解析：选C f′(x)＝1－＝，x>0，令f′(x)＝0，得x＝e，f(x)在(0，e)上为减函数，在(e，＋∞)上为增函数，所以f(a)>f(e)，f(b)>f(e)，f(a)与f(b)的大小不确定．
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
解析：选C 因为′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
5．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b有两个不相等的实数根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
6．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以解得：1≤k<.
答案：
7．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)在区间(0，t](t>0)上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.
曲线f(x)在x＝1处的切线的斜率为k＝f′(1)＝1.
把x＝1代入f(x)＝xln x中得f(1)＝0，即切点坐标为(1,0)．所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝.
①当0②当t>时，在区间上，f′(x)<0，f(x)为减函数；在区间上，f′(x)>0，f(x)为增函数．
8．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
令G(x)＝－，
则a≥G(x)max.而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
