第4课时 空间向量的正交分解及其坐标表示
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P92～P94的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P93－图3.1－15，i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有公共点O.对于空间任一向量p＝，设点Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影．由平面向量基本定理可知，存在实数z，使得 ＝＋zk，又因为在i，j确定的平面上，存在实数x，y，使得＝xi＋yj，所以＝xi＋yj＋zk.在空间中，如果用三个不共面向量a，b，c，代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出什么结论？
提示：对于空间任一向量p，存在有序实数组，使得p＝xa＋yb＋zc成立．
(2)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，若以O为坐标原点，e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．是否存在实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3成立？
提示：由空间向量基本定理可知，一定存在实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3成立．
2．归纳总结，核心必记
(1)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
(2)空间向量的正交分解及其坐标表示
①单位正交基底
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
②空间直角坐标系
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
③空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作 p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．
[问题思考]
(1)平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？
提示：三个向量不共面．
(2)空间向量的基底是唯一的吗？
提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一．
(3)0能是基向量吗？
提示：由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0，所以0不能是基向量．
(4)基底和基向量是同一个概念吗？有什么区别？
提示：一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
[课前反思]
(1)空间向量基本定理的内容是： ；
(2)基底和基向量的概念是： ；
(3)单位正交基底的概念是： ；
(4)如何用坐标表示空间向量？ .
知识点1
空间向量的基底
[思考] 向量a，b，c能构成基底的条件是什么？
名师指津：a，b，c不共面．
?讲一讲
1．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
[尝试解答] 假设 ，， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x、y，使得 ＝x＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
即不存在实数x、y，使得 ＝x＋y 成立．
∴，， 不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底．
类题·通法
空间向量有无数个基底，判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
?练一练
1．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.
2．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．
解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ和μ，
使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝μ a＋λb＋(λ＋μ)c.
又∵{a，b，c}是基底，∴此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底.
知识点2
用基底表示空间向量
[思考] 和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任意一个空间向量？
名师指津：根据空间向量基本定理，借助三角形法则或平行四边形法则，对空间任意一个向量p，一定能用基底来表示．
?讲一讲
2．空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，D为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，
(1)试用向量a，b，c表示向量 和；
(2)若E是OA的中点，试用a，b，c表示和.
[尝试解答] (1)∵＝＋，而＝，＝－.
∵D为BC的中点，∴＝(＋)，
∴＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)－＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
而＝－；
又∵＝＝·(＋)＝(b＋c)，
∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
∴＝(a＋b＋c)，＝－a.
(2)如图，＝－＝－(＋)
＝a－b－c；
＝－＝(＋＋
)－＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
∴＝a－b－c，＝－a＋b＋c.
类题·通法
用基底表示向量时的注意事项
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量的数乘运算律进行；
(2)若没给定基底，首先要选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
?练一练
3.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基底{a，b，c}表示向量，，；
(2)化简＋＋，并在图中标出化简结果．
解：(1) ＝＋＝＋－＝a－b＋c.
＝＋＋＝－a＋b＋c.
＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.
(2) ＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝.
如图，连接DA1，则即为所求.
知识点3
空间向量的坐标表示
[思考1] 与x轴、y轴、z轴共线的向量i，j，k的坐标各有什么特点？
名师指津：i＝(x,0,0)，j＝(0，y,0)，k＝(0,0，z)．
[思考2] 你能写出坐标平面上向量的坐标吗？
名师指津：xOy平面上向量的坐标为(x，y,0)，xOz平面上向量的坐标为(x,0，z)，yOz平面上向量的坐标为(0，y，z)．
?讲一讲
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，
底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°.试建立适当的坐标系并求出图中各点的坐标．
[尝试解答] 以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝BC＝a，∴A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)．∵AD＝2a，∴D(0,2a,0)．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.又∵∠PDA＝30°，∴PA＝ADtan 30°＝a，故P.
类题·通法
(1)要用坐标表示空间向量，首先应建立恰当的空间直角坐标系，建立空间直角坐标系时，一般选取从同一点出发的，两两互相垂直的直线作为坐标轴．
(2)根据空间向量基本定理对向量进行分解，用三个单位正交基底的基向量表示，即可得到向量的坐标．
?练一练
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(1,1,1) B.
C．(3,2,5) D．(3,2，－5)
解析：选C ＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)，故选C.
5．在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标．
解：由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，从而建立以，，方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图．
则＝4i，＝2j，＝4k，
＝－＝－(＋)
＝－
＝－－－＝－2i－j－4k，
故的坐标为(－2，－1，－4)．
＝－＝－(＋)＝－－＝－4i＋2j－4k，
故的坐标为(－4,2，－4)．
即＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)．
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是空间向量基本定理及空间向量的坐标表示，难点是空间向量基本定理的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)会用基底表示空间向量，见讲2；
(2)会用坐标表示空间向量，见讲3.
3．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．
4．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．
课下能力提升(十七)
[学业水平达标练]
题组1 空间向量的基底
1．在四面体ABCD中，可以作为空间向量的一个基底的是 ( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
答案：D
2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选C 如图，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.
由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.
3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μ e2＋v e3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.
解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3为不共面的向量．
又∵λe1＋μ e2＋v e3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.
答案：0
题组2 用基底表示空间向量
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则＝________.
解析：如图，＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
5．如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，
设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，.
解：＝＝(－)＝(－－)＝－a－b＋c. ＝＋＝－＋＝－＋(－)＝－a－b＋c.
题组3 空间向量的坐标表示
6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{，，}下的坐标为( )
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8－9)
解析：选B ∵a＝2＋－3＝2 －－3＝－＋2 －3，∴向量a在基底{，，}下的坐标为(－1,2，－3)，故选B.
7．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标：
(1) ，，；
(2) ，，.
解：(1) ＝＋＝＋＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋
＝＋＋＝.
(2) ＝－＝－
＝＋＝.
＝－＝－＝－－＝，
＝－＝＋－
＝－＝.
8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量，的坐标．
解：如图，延长DA到E，使AE＝DA.因为PA＝AE＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AE⊥AB，所以可设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz.
因为＝＝e2，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋( ＋＋)＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3.
所以＝，＝(0,1,0)．
[能力提升综合练]
1．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴＝＝－a－b－c，
∴向量在基底{a，b，c}下的坐标是－，－，－，故选A.
2．若向量、、的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量、、成为空间一个基底的关系是( )
A．＝＋＋
B．≠＋
C．＝＋＋
D．＝2－
解析：选C 若、、为空间一组基底向量，则M、A、B、C四点不共面．A中M、A、B、C共面，因为－＝＋－＝(－)＋(－)?＝＋；B中可能共面，≠＋，但可能＝λ＋μ；D中四点显然共面．
3．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则 等于( )
A. ＋＋
B.( ＋＋)
C.( ＋＋)
D. ＋＋
解析：选B 如图，
＝(＋)＝＋×(＋)＝＋＋＝(＋＋)．
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得
答案：1 －1
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：如图，
连接A1C1，C1D，A1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，∴＝，
即－＝0，∴λ＝－.
答案：－
6．如图所示，
在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：连接AC，AD′，AC′.
(1) ＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2) ＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c)．
(3) ＝( ＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4) ＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
7．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．
解：假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k
＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k.
∵{i，k，j}是一组基底，
∴i，j，k不共面．
∴解得
故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．
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[学业水平达标练]
题组1 空间向量的基底
1．在四面体ABCD中，可以作为空间向量的一个基底的是 ( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
答案：D
2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选C 如图，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.
由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.
3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μ e2＋v e3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.
解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3为不共面的向量．
又∵λe1＋μ e2＋v e3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.
答案：0
题组2 用基底表示空间向量
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则＝________.
解析：如图，＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
5．如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，
设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，.
解：＝＝(－)＝(－－)＝－a－b＋c. ＝＋＝－＋＝－＋(－)＝－a－b＋c.
题组3 空间向量的坐标表示
6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{，，}下的坐标为( )
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8－9)
解析：选B ∵a＝2＋－3＝2 －－3＝－＋2 －3，∴向量a在基底{，，}下的坐标为(－1,2，－3)，故选B.
7．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标：
(1) ，，；
(2) ，，.
解：(1) ＝＋＝＋＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋
＝＋＋＝.
(2) ＝－＝－
＝＋＝.
＝－＝－＝－－＝，
＝－＝＋－
＝－＝.
8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量，的坐标．
解：如图，延长DA到E，使AE＝DA.因为PA＝AE＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AE⊥AB，所以可设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz.
因为＝＝e2，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋( ＋＋)＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3.
所以＝，＝(0,1,0)．
[能力提升综合练]
1．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴＝＝－a－b－c，
∴向量在基底{a，b，c}下的坐标是－，－，－，故选A.
2．若向量、、的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量、、成为空间一个基底的关系是( )
A．＝＋＋
B．≠＋
C．＝＋＋
D．＝2－
解析：选C 若、、为空间一组基底向量，则M、A、B、C四点不共面．A中M、A、B、C共面，因为－＝＋－＝(－)＋(－)?＝＋；B中可能共面，≠＋，但可能＝λ＋μ；D中四点显然共面．
3．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则 等于( )
A. ＋＋
B.( ＋＋)
C.( ＋＋)
D. ＋＋
解析：选B 如图，
＝(＋)＝＋×(＋)＝＋＋＝(＋＋)．
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得
答案：1 －1
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：如图，
连接A1C1，C1D，A1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，∴＝，
即－＝0，∴λ＝－.
答案：－
6．如图所示，
在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：连接AC，AD′，AC′.
(1) ＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2) ＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c)．
(3) ＝( ＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4) ＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
7．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．
解：假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k
＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k.
∵{i，k，j}是一组基底，
∴i，j，k不共面．
∴解得
故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．
