第5课时 空间向量运算的坐标表示
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P95～P97的内容，回答下列问题．
(1)我们知道，向量a在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间则可用有序实数组(x，y，z)表示．在平面向量中，若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则如何计算a＋b，a－b，λa，a·b，|a|和cos〈a，b〉？a∥b及a⊥b的充要条件是什么？
提示：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)，a·b＝a1b1＋a2b2，|a|＝，cos〈a，b〉＝.a∥b?a1b2＝a2b1，a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.
(2)在空间向量中，若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，你能类比平面向量计算a＋b，a－b，λa，a·b，|a|及cos〈a，b〉吗？a∥b及a⊥b的充要条件又是什么？
提示：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，|a|＝，cos〈a，b〉＝
a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
2．归纳总结，核心必记
(1)空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；
④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
⑤a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(b≠0，λ∈R)；
⑥a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)；
⑦|a|＝＝；
⑧cos〈a，b〉＝＝ .
(2)空间中向量的坐标及两点间的距离公式
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则
①＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
②dAB＝.
[问题思考]
(1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否说“a∥b?＝＝”？为什么？
提示：不能．当b的三个坐标都不为0时，a∥b?＝＝才成立，否则有些分式无意义．
(2)平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？
提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算法是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．
[课前反思]
(1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝ ；
a－b＝ ；
λa＝ ；
|a|＝ ；
cos〈a，b〉＝ ；
(2)a∥b和a⊥b的充要条件是： ；
(3)若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
则＝ ；
||＝ .
知识点1
空间向量的坐标运算
?讲一讲
1．已知O为原点，A，B，C，D四点的坐标分别为A(2，－4,1)，B(3,2,0)，C(－2,1,4)，D(6,3,2)，求满足下列条件的点P的坐标．
(1) ＝2(－)；
(2) ＝3(－)．
[尝试解答] ∵A(2，－4,1)，B(3,2,0)，C(－2,1,4)，D(6,3,2)，
(1) －＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)．∴点P的坐标为(10,2，－8)．
(2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋4，z－1)，
又＝(1,6，－1)，＝(－8，－2,2)，
∴3(－)＝3(9,8，－3)．
∴(x－2，y＋4，z－1)＝3(9,8，－3)．
∴解得∴点P的坐标为(29,20，－8)．
类题·通法
向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
?练一练
1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求：a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
知识点2
空间向量的平行与垂直
[思考] 若a·b＝0，则a一定与b垂直吗？反之，若a⊥b，一定有a·b＝0成立吗？
名师指津：若a·b＝0，则a与b不一定垂直．当a或b为0时，a·b＝0；若a⊥b，则一定有a·b＝0成立．
?讲一讲
2．已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，c＝(2，x，－4)．
(1)判断a，b的位置关系；
(2)若a∥c，求|c|；
(3)若(a＋2c)⊥(b＋c)，求x的值．
[尝试解答] (1)因为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，所以＝＝，即b＝－2a.故a∥b.
(2)因为a∥c，
所以＝＝，
所以x＝4.
此时c＝(2,4，－4)，
故|c|＝＝6.
(3)由已知得a＋2c＝(5,2＋2x，－10)，
b＋c＝(0，x－4,0)．
因为(a＋2c)⊥(b＋c)，
所以(a＋2c)·(b＋c)＝0，
即(2＋2x)(x－4)＝0，
解得x＝－1或x＝4.
类题·通法
解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
?练一练
2．已知a＝(λ＋1,1,2)，b＝(6,4μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以分别是( )
A．2， B．－，－ C．－3,2 D．2,2
解析：选A 依题意，得＝＝，
解得λ＝2，μ＝，
或λ＝－3，μ＝－.
3．若m＝(2，－1,1)，n＝(λ，5,1)，且m⊥(m－n)，则λ＝________.
解析：由已知得m－n＝(2－λ，－6,0)．
由m·(m－n)＝0得，2(2－λ)＋6＋0＝0，
所以λ＝5.
答案：5
知识点3
夹角与距离的计算
?讲一讲
3．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
[尝试解答] 建立如图所示
的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G.
∴＝，＝，＝，＝.
(1)证明：∵·＝×＋×＋×0＝0，
∴⊥，即EF⊥CF.
(2)∵·＝×1＋×0＋×＝.
||＝ ＝，
||＝ ＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
即EF与CG所成角的余弦值为.
(3)|CE|＝||＝ ＝.
类题·通法
在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
?练一练
4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(3)求证：BN⊥平面C1MN.
解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1，0,1)，
∴||
＝
＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又| |＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
(3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M.
＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.
∴⊥，⊥，
即BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又C1M∩C1N＝C1，
∴BN⊥平面C1MN.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是空间向量的坐标运算及两向量平行、垂直的充要条件，难点是利用空间向量解决夹角和距离问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)空间向量的坐标运算，见讲1；
(2)空间向量平行、垂直的充要条件及应用，见讲2；
(3)利用向量的坐标运算解决夹角和距离问题，见讲3.
3．本节课的易错点有两处：
(1)利用a⊥b?a·b＝0时，易忽视a≠0且b≠0；
(2)利用向量解决异面直线所成角的问题时，易忽视角的取值范围．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况．
4．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：
课下能力提升(十八)
[学业水平达标练]
题组1 空间向量的坐标运算
1．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则a－b＋2c＝( )
A．(－9，－3,0) B．(0,2，－1)
C．(9,3,0) D．(9,0,0)
解析：选C a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)．
2．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知，2＝，设C(x，y，z)，
则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
所以所以
3．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1 C．0 D．－2
解析：选A ∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.
题组2 空间向量的平行与垂直
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B. C. D.
解析：选D 由题意得，(ka＋b)·(2a－b)＝(k－1，k,2)·(3,2，－2)＝3(k－1)＋2k－4＝0，所以k＝.
5．以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是( )
A．(1，，)
B．(1,1，)
C．(，，)
D．(，，1)
解析：选C 设正方体的棱长为1，则由图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，∴＝(1,1,1)，∴与共线的向量的坐标可以是(，，)．
6．如果三点A(1,5，－2)、B(2,4,1)、C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.
解析：∵A、B、C三点共线，∴＝λ，即(1，－1,3)＝λ(a－1，－2，b＋4)＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))．
∴解得λ＝，a＝3，b＝2.∴a－b＝1.
答案：1
题组3 夹角与距离的计算
7．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝.
∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝60°.
8．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9．空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求：
(1)求△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高．
解：(1) ＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，
＝(2,0，－8)，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
||＝，||＝2，
cos〈，〉＝＝－，
sin〈，〉＝，S△ABC＝||·||sin〈，〉＝×2×＝3.
(2)| |＝，设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，∴h＝3.
[能力提升综合练]
1．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B. C. D.
解析：选D ∵a、b、c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
所以解得∴λ＝3x－2y＝.
2．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是( )
A．0 B．π
C.π D．2π
解析：选B ∵·＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且||＝3，||＝6，∴cos〈，〉＝＝1，∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝0.∴〈，〉＝π.
3．已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，则当(p－a)·(p－b)取得最小值时，向量p的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设p＝λc，则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)，
所以(p－a)·(p－b)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2，
所以当λ＝时，(p－a)·(p－b)取得最小值，
此时p＝λc＝，故选C.
4．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________.
解析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ＞0，∴λ＝3.
答案：3
5.如图，已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.
解析：设＝m，则＝m＝m.∵M为BC的中点，∴＝＋＝＋m.＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＋m·＋m·＝－＋4m＝0，∴m＝.
答案：
6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB.求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
解：(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，于是＝(，1,0)，＝(0，－2，2)，＝(，1，－2)．
因为PC⊥AB，所以·＝0，
即(＋)·＝0，
也即(＋λ)·＝0.
故λ＝－＝.
(2)由(1)知＝，＝(0,2,2)，cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.
7.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是AA1、CB1的中点．
(1)求BM、BN的长；
(2)求△BMN的面积．
解：以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．
则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N.
(1) ＝(1，－1,1)，＝，
∴||＝＝，
||＝＝，
故BM的长为，BN的长为.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN，
而cos∠MBN＝cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin∠MBN＝ ＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.
课件30张PPT。谢谢！课下能力提升(十八)
[学业水平达标练]
题组1 空间向量的坐标运算
1．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则a－b＋2c＝( )
A．(－9，－3,0) B．(0,2，－1)
C．(9,3,0) D．(9,0,0)
解析：选C a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)．
2．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知，2＝，设C(x，y，z)，
则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
所以所以
3．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1 C．0 D．－2
解析：选A ∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.
题组2 空间向量的平行与垂直
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B. C. D.
解析：选D 由题意得，(ka＋b)·(2a－b)＝(k－1，k,2)·(3,2，－2)＝3(k－1)＋2k－4＝0，所以k＝.
5．以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是( )
A．(1，，)
B．(1,1，)
C．(，，)
D．(，，1)
解析：选C 设正方体的棱长为1，则由图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，∴＝(1,1,1)，∴与共线的向量的坐标可以是(，，)．
6．如果三点A(1,5，－2)、B(2,4,1)、C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.
解析：∵A、B、C三点共线，∴＝λ，即(1，－1,3)＝λ(a－1，－2，b＋4)＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))．
∴解得λ＝，a＝3，b＝2.∴a－b＝1.
答案：1
题组3 夹角与距离的计算
7．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝.
∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝60°.
8．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9．空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求：
(1)求△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高．
解：(1) ＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，
＝(2,0，－8)，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
||＝，||＝2，
cos〈，〉＝＝－，
sin〈，〉＝，S△ABC＝||·||sin〈，〉＝×2×＝3.
(2)| |＝，设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，∴h＝3.
[能力提升综合练]
1．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B. C. D.
解析：选D ∵a、b、c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
所以解得∴λ＝3x－2y＝.
2．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是( )
A．0 B．π
C.π D．2π
解析：选B ∵·＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且||＝3，||＝6，∴cos〈，〉＝＝1，∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝0.∴〈，〉＝π.
3．已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，则当(p－a)·(p－b)取得最小值时，向量p的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设p＝λc，则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)，
所以(p－a)·(p－b)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2，
所以当λ＝时，(p－a)·(p－b)取得最小值，
此时p＝λc＝，故选C.
4．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________.
解析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ＞0，∴λ＝3.
答案：3
5.如图，已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.
解析：设＝m，则＝m＝m.∵M为BC的中点，∴＝＋＝＋m.＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＋m·＋m·＝－＋4m＝0，∴m＝.
答案：
6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB.求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
解：(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，于是＝(，1,0)，＝(0，－2，2)，＝(，1，－2)．
因为PC⊥AB，所以·＝0，
即(＋)·＝0，
也即(＋λ)·＝0.
故λ＝－＝.
(2)由(1)知＝，＝(0,2,2)，cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.
7.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是AA1、CB1的中点．
(1)求BM、BN的长；
(2)求△BMN的面积．
解：以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．
则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N.
(1) ＝(1，－1,1)，＝，
∴||＝＝，
||＝＝，
故BM的长为，BN的长为.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN，
而cos∠MBN＝cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin∠MBN＝ ＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.
