3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P102～P104的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P102－图3.2－1(2)，向量a与直线l有什么关系？
提示：a与直线l平行．
(2)观察教材P102－图3.2－1(4)，直线l与平面α的位置关系是什么？a与l是什么位置关系？
提示：l与平面α垂直，a是l的方向向量．
(3)观察教材P103－图3.2－2(1)，直线l与平面α的位置关系是什么？直线l的方向向量u与平面α的法向量v有什么关系？
提示：l∥α，u⊥v.
(4)观察教材P103－图3.2－2(2)，直线l与平面α的位置关系是什么？直线l的方向向量u与平面α的法向量v有什么关系？
提示：l⊥α，u∥v.
2．归纳总结，核心必记
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．
(2)平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)空间平行关系的向量表示
①线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?a＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
②线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
③面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v ?u＝λv ?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(4)空间垂直关系的向量表示
①线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
②线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝λu?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
③面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
[问题思考]
(1)直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？
提示：直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．
(2)若直线l的方向向量为u，平面α的一个法向量为v，且u⊥v，那么l与α平行吗？
提示：不一定，也可能l在α内．
(3)若直线l的一个方向向量为a，向量b∥α，c∥α且a⊥b，a⊥c，则l与α有怎样的位置关系？
提示：当b与c不共线时可得l⊥α；当b与c共线时l与α的位置关系不确定．
(4)若向量a⊥α，a∥β，则平面α，β有怎样的位置关系？
提示：α⊥β.
[课前反思]
(1)直线的方向向量和平面的法向量的定义是： ；
(2)若直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m和l⊥m的条件是： ；
(3)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l∥α和l⊥α的条件是： ；
(4)若平面α、β的法向量分别为u，v，则α∥β和α⊥β的条件是： .
知识点1
平面的法向量
[思考] 若，是平面α内的两个不共线向量，如何求平面α的一个法向量？
名师指津：设平面的法向量为n，则由即可求法向量n.
?讲一讲
1．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．
[尝试解答] 因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
即
得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，
所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
类题·通法
利用待定系数法求法向量的解题步骤
?练一练
1．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( )
A．P1(1，－1,1) B．P2
C．P3 D．P4
解析：选B 对于选项A中的点P1(1，－1,1)，＝(1,0,1)，·n＝≠0，排除A.同理可排除C，D.对于选项B中的点P2，＝，∴·n＝0，故选B.
2.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．
∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－.又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.
∴n＝即为平面SCD的一个法向量.
知识点2
利用空间向量证明平行问题
[思考] 如何利用向量证明空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行？
名师指津：(1)空间两直线平行的充要条件是两直线的方向向量平行；(2)直线与平面平行的充要条件是直线在平面外且直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)平面与平面平行的充要条件是两平面的法向量平行．
?讲一讲
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
[尝试解答] 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz.
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，
＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，
所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，
得即
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
类题·通法
向量法证明平行问题的途径
(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；
(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
?练一练
3.如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且＝＝1，求证：EF∥β.
证明：设a，b是平面β内两个不共线的向量，
∵α∥β，∴可设＝λ1a＋μ1b，＝λ2a＋μ2b(λ1，λ2，μ1，μ2是常数)．
设O为空间中一点，则 ＝－
＝(＋)－(＋)
＝(－)＋(－)
＝(＋)
＝(λ1＋λ2)a＋(μ1＋μ2)b，
∴与β共面，又EF?平面β，∴EF∥β.
知识点3
利用空间向量证明垂直问题
[思考] 如何利用向量证明空间中的直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直？
名师指津：(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直；(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直．
?讲一讲
3.如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.
[尝试解答] 取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，
又AB⊥平面BCE.
∴以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示．
则由已知条件有C(1,0,0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1，0,1)，A(0，，2)．
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·＝(a，b，c)·(0,2，2)＝2b＋2c＝0，
n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－，∴n＝(0,1，－)．
∵AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，又OC⊥EB，且EB∩AB＝B，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．∵n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.
类题·通法
(1)用向量法判定线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.
?练一练
4.如图，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC;
(2)求证：EG与直线PG与BC都垂直．
证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P-xyz.
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．
于是＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，则
∴可取n＝(0,1，－1)，
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，
即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，
∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)，知＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)，
∴·＝0，·＝0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG与直线PG与BC都垂直．
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是利用空间向量证明平行、垂直问题，难点是求平面的法向量，也是本节课的易错点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)平面的法向量的求法，见讲1；
(2)利用向量证明平行问题，见讲2；
(3)利用向量证明垂直问题，见讲3.
3．利用向量研究空间位置关系三步曲：
(1)建系；
(2)求直线的方向向量或平面的法向量；
(3)利用向量的位置关系判断(证明)空间线线、线面、面面位置关系．
课下能力提升(十九)
[学业水平达标练]
题组1 平面的法向量
1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
解析：选D ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故一个法向量是(－1，－1，－1)．
2．若A，B(1，－1,0)，C(－2,1,0)是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)(x，y，z≠0)，则x∶y∶z＝________.
解析：＝，＝.
由得
解得
则x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
题组2 利用空间向量证明平行问题
3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：选A ∵v＝－3u，∴α∥β.
4．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.
解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.
答案：－8
5．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
解析：∵＝λ＋μ (λ，μ∈R)，
∴与，共面．
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点，AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.
证明：由题设知，在Rt△AFD中，AF＝FD＝，A(0,0,0)，B(1,0,0)，F，D，P(0,0,2)，M(0,0,1)，N.
＝，＝，
＝.
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令z＝，得n＝(0,4，)．
因为·n＝·(0,4，)＝0，
又MN?平面PCD，
所以MN∥平面PCD.
题组3 利用空间向量证明垂直问题
7．已知直线l1与l2不重合，直线l1的一个方向向量为a＝(－，，2)，直线l2的一个方向向量为b＝(，0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________．
解析：∵a·b＝－2＋0＋2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
答案：l1⊥l2
8．已知平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．
解析：∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两平面的法向量垂直，从而两平面垂直．
答案：α⊥β
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：DB1⊥平面A1BC1.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，
故＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)，＝(1,1,1)．
设平面A1BC1的法向量n＝(x，y，z)，
则⊥n，⊥n.
故·n＝0，·n＝0.
即y－z＝0，－x＋y＝0.
可设n＝(1,1,1)，故有n∥.
所以DB1⊥平面A1BC1.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
解：(1)证明：以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，
则D(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，
∴＝，＝(0，a,0)，
∴·＝·(0，a,0)＝0，
∴EF⊥DC.
(2)∵G∈平面PAD，设G(x,0，z)，
∴＝.
由(1)，知＝(a,0,0)，＝(0，－a，a)．
由题意，要使GF⊥平面PCB，
只需·＝·(a,0,0)
＝a＝0，·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，
∴x＝，z＝0.∴点G的坐标为，
即点G为AD的中点．
[能力提升综合练]
1．若平面α、β的法向量分别为a＝，b＝(－1，2,6)，则( )
A．α∥β B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β D．α∥β或α与β重合
解析：选D ∵a＝－b，∴a∥b，∴α∥β或α与β重合．
2．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
解析：选D A、B、C均表示l∥α或l?α.
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
解析：选B 要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.
4．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．
答案：①②③
6．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线
分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，＝，
＝，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，
则有
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，
∴·n1＝0.
又∵PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，
则有
∴取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
∵∥n2，∴PB⊥平面EFD.
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
由得
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.又CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，＝(－，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥.即BE⊥DA.
又∵PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.
∵BE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
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[学业水平达标练]
题组1 平面的法向量
1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
解析：选D ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故一个法向量是(－1，－1，－1)．
2．若A，B(1，－1,0)，C(－2,1,0)是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)(x，y，z≠0)，则x∶y∶z＝________.
解析：＝，＝.
由得
解得
则x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
题组2 利用空间向量证明平行问题
3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：选A ∵v＝－3u，∴α∥β.
4．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.
解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.
答案：－8
5．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
解析：∵＝λ＋μ (λ，μ∈R)，
∴与，共面．
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点，AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.
证明：由题设知，在Rt△AFD中，AF＝FD＝，A(0,0,0)，B(1,0,0)，F，D，P(0,0,2)，M(0,0,1)，N.
＝，＝，
＝.
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令z＝，得n＝(0,4，)．
因为·n＝·(0,4，)＝0，
又MN?平面PCD，
所以MN∥平面PCD.
题组3 利用空间向量证明垂直问题
7．已知直线l1与l2不重合，直线l1的一个方向向量为a＝(－，，2)，直线l2的一个方向向量为b＝(，0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________．
解析：∵a·b＝－2＋0＋2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
答案：l1⊥l2
8．已知平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．
解析：∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两平面的法向量垂直，从而两平面垂直．
答案：α⊥β
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：DB1⊥平面A1BC1.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，
故＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)，＝(1,1,1)．
设平面A1BC1的法向量n＝(x，y，z)，
则⊥n，⊥n.
故·n＝0，·n＝0.
即y－z＝0，－x＋y＝0.
可设n＝(1,1,1)，故有n∥.
所以DB1⊥平面A1BC1.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
解：(1)证明：以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，
则D(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，
∴＝，＝(0，a,0)，
∴·＝·(0，a,0)＝0，
∴EF⊥DC.
(2)∵G∈平面PAD，设G(x,0，z)，
∴＝.
由(1)，知＝(a,0,0)，＝(0，－a，a)．
由题意，要使GF⊥平面PCB，
只需·＝·(a,0,0)
＝a＝0，·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，
∴x＝，z＝0.∴点G的坐标为，
即点G为AD的中点．
[能力提升综合练]
1．若平面α、β的法向量分别为a＝，b＝(－1，2,6)，则( )
A．α∥β B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β D．α∥β或α与β重合
解析：选D ∵a＝－b，∴a∥b，∴α∥β或α与β重合．
2．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
解析：选D A、B、C均表示l∥α或l?α.
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
解析：选B 要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.
4．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．
答案：①②③
6．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线
分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，＝，
＝，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，
则有
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，
∴·n1＝0.
又∵PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，
则有
∴取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
∵∥n2，∴PB⊥平面EFD.
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
由得
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.又CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，＝(－，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥.即BE⊥DA.
又∵PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.
∵BE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
