第2课时 空间向量与空间角
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P103和P106的内容，回答下列问题．
(1)异面直线a，b的方向向量分别为a和b，若异面直线a和b所成的角为α，则α与〈a，b〉之间有什么关系？cos α与cos〈a，b〉有什么关系？
提示：相等或互补．cos α＝|cos〈a，b〉|.
(2)观察教材P103－图3.2－2(3)，若直线l和平面α所成的角为θ，则直线的方向向量u与平面的法向量v的夹角〈u，v〉与θ有什么关系？
提示：sin θ＝|cos〈u，v〉|.
(3)如图(a)，(b)所示，平面α，β的法向量分别为u和v，若平面α与β所构成的角为θ，则θ与〈u，v〉有什么关系？
提示：|cos θ|＝|cos〈u，v〉|.
2．归纳总结，核心必记
空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线
所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，
则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
直线与平面
所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，
则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝
二面角
设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
[问题思考]
(1)当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？
提示：不一定，这条直线可能与平面平行．
(2)为什么求空间角的公式中都带有绝对值？
提示：因为异面直线所成的角的范围是，斜线与平面所成的角的范围是，二面角的锐二面角的范围是，而两个向量的夹角的范围是[0，π]．因此计算时加绝对值．
[课前反思]
(1)如何用向量求异面直线所成的角？；
(2)如何用向量求直线与平面所成的角？ ；
(3)如何用向量求二面角的平面角？ .
知识点1
异面直线所成的角
[思考] 如何利用向量求两异面直线所成的角或所成角的余弦值？
名师指津：利用公式cos θ＝|cos〈a，b〉|，其中θ为异面直线所成的角，a、b分别是两异面直线的方向向量．
?讲一讲
1．如图，
三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，且∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值．
[尝试解答] 以O为坐标原点，
OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(，0,0)，B(0,2,0)，
A1(，1，)，O1(0,1，)，
所以＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
设所求的角为α，
则cos α＝＝＝.
即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.
类题·通法
用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以要注意二者的联系与区别，应有cos θ＝|cos α|.
?练一练
1.如图所示，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠ACB＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值．
解：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CB＝CA＝CC1＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D1，F1，0,1，则1＝，1＝，－，1，∴|1|＝，|1|＝，
则cos〈1，1〉＝＝，
∴BD1与AF1所成角的余弦值为.
知识点2
直线与平面所成的角
[思考1] 直线与平面所成角的范围是什么？
名师指津：直线与平面所成角的范围是.
[思考2] 如何利用空间向量求直线与平面所成的角？
名师指津：利用sin_θ＝|cos_α|求解，其中θ为直线与平面所成的角，α为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．
?讲一讲
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．
[尝试解答] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，∴1＝(－1,0,1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，－1,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，直线BC1与平面A1BD所成的角为θ.
∵n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0，
∴解得
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
∴cos〈1，n〉＝＝＝－.
∴sin θ＝，∴cos θ＝＝.
故直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.
类题·通法
利用平面法向量求线面角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量.
(3)求平面的法向量n.
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
(5)由θ∈，求θ.
?练一练
2．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0，0，a)，C1，取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连接AM，MC1，有1＝－a，0,0，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．∵1·＝0，1·＝0，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角，设为θ.∵1＝，＝0，，a，∴1·＝0＋＋2a2＝.
又∵|1|＝＝a，||＝＝a，∴cos〈1，〉＝＝，∴〈1，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
法二：＝(0,0，a)，＝(0，a,0)．
设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)．
∴n·＝0且n·＝0，∴ax＝0且ay＝0，∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．∵1＝，
∴cos〈1，n〉＝＝＝－.
∴sin θ＝|cos〈1，n〉|＝.∴θ＝30°.
知识点3
二面角
[思考1] 如图，在二面角α-l-β中，AB?α，CD?β，AB⊥l，CD⊥l，则二面角α-l-β的平面角θ与向量 与 所成的角有什么关系？
名师指津：θ＝〈，〉．
[思考2] 如何利用平面的法向量求二面角的平面角？
名师指津：利用公式|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，其中θ为二面角的平面角，向量n1和n2是构成二面角的两个半平面的法向量．
?讲一讲
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值．
[尝试解答] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
因为AB∥CD，所以AB⊥PD.
又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
由(1)及已知可得A，P，B，
C.
所以＝，＝(，0,0)，
＝，＝(0,1,0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，
则即
所以可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，
则即所以可取m＝(1,0,1)．
则cos〈n，m〉＝＝＝－.
由图知二面角A-PB-C为钝角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为－.
类题·通法
(1)若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角．如图所示．
(2)向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．
?练一练
3．在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是PD的中点，求：二面角E-AC-D的大小．
解：如图，以A为原点，分别以AC、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝a，AC＝b.
连接BD与AC交于O，取AD中点F，连接OE，OF，EF，C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)．
∴E，O，
＝，＝(b,0,0)．
∵·＝0，∴⊥.
∵＝＝，
∴·＝0.∴⊥.
∴∠EOF为二面角E-AC-D的平面角．
∵cos〈，〉＝＝.
∴二面角E-AC-D的大小为.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是利用空间向量求空间角，难点是二面角的求法．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用向量求异面直线所成的角，见讲1；
(2)利用向量求直线与平面所成的角，见讲2；
(3)利用向量求二面角的平面角，见讲3.
3．利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．
课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 异面直线所成的角
1．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线所成角的余弦值为( )
A．1 B. C. D.
解析：选D cos〈a，b〉＝
＝＝＝.
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B. C．－ D.
解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2，2,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)．所以1＝(－2，－2，3)，＝(－2,2,0)．
所以cos 〈1，〉＝＝0.
3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，1＝(0,2，－1)，1＝(－2,2,1)．
cos〈1，1〉＝＝＝.
题组2 直线与平面所成的角
4．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
解析：选C ∵l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，∴它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D建系如图，设正方体棱长为1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，
则＝(0,0,1)．
∵B1D⊥平面ACD1，
∴1＝(1,1,1)为平面ACD1的法向量．
设BB1与平面ACD1所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，∴cos θ＝.
6．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小．
解：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz.
设EA＝AC＝BC＝2，
则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)．
(1)证明：∵＝(0,1,1)，＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0.
∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量．
∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝60°.∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
题组3 二面角
7．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )
A．120° B．45°
C．135° D．60°
解析：选B 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1，0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
可取n＝(1,0,1)．
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
解析：设u＝(1,0，－1)，v＝(0，－1,1)．
α与β所成二面角的大小为θ.
则cos θ＝±|cos 〈u，v〉|＝±＝±.
∴θ＝或.
答案：或
9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥DC，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M，N分别为AD，PC的中点，求证：MN∥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值．
解：(1)证明：如图，取BC的中点Q，连接MQ，NQ.
在△PBC中 ，由N为PC的中点，知NQ∥PB，
而NQ?平面PAB，PB?平面PAB，所以NQ∥平面PAB.
在梯形ABCD中，由M为AD的中点，知MQ∥AB，
而MQ?平面PAB，AB?平面PAB，
所以MQ∥平面PAB.
又MQ，NQ为平面MNQ内的两条相交直线，
所以平面MNQ∥平面PAB.
又MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAB.
(2)在△ABD中，因为AD＝4，BD＝8，AB＝4，所以AD2＋BD2＝AB2，故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，于是建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0,0)，A(4,0,0)，P(2,0,2)，B(0,8,0)，＝(2，－8,2)，＝(－4,8,0)，＝(0,8,0)．
设平面PAB的法向量n＝(x1，y1，z1)，
由得
令y1＝1，则x1＝2，z1＝，
所以n＝为平面PAB的一个法向量．
设平面PBD的法向量m＝(x2，y2，z2)，
由得
令x2＝－，则y2＝0，z2＝1，
所以m＝(－，0,1)为平面PBD的一个法向量．
又cos?n，m?＝＝－，由题图可知二面角A-PB-D为锐角，所以二面角A-PB-D的余弦值为.
[能力提升综合练]
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．∴＝(0,1，)，＝(－，0，)．∴cos〈，〉＝＝＝.
2．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A-CD-B的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：选C 取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.且〈，〉为二面角的平面角，由2＝(＋＋)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉，∴cos〈，〉＝－.∴〈，〉＝120°.即所求的二面角为120°.
3.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则BO到平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
解析：建立坐标系如图，则B(1,1,0)，
O，
1＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．
又＝，
∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为
＝＝.
答案：
4．四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝AA1＝2BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点．
(1)求证：EF∥平面A1BC；
(2)求直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值．
解：(1)证明：∵E，F分别是DD1，DA1的中点，∴EF∥A1D1.
又A1D1∥B1C1∥BC，∴EF∥BC，且EF?平面A1BC，BC?平面A1BC，∴EF∥平面A1BC.
(2)∵AB，AD，AA1两两垂直，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，设BC＝1，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，F(0,1,1)，E(0,2,1)，
∴＝(0,1,0)，设平面A1CD的法向量n＝(x，y，z)，
则
取n＝(1,2,2)，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝
＝，
∴直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值等于.
5.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．
解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，
AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，
所以BE⊥平面ABP.
又BP?平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)，
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量．
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
由图知二面角E-AG-C为锐角，
故所求二面角E-AG-C的大小为60°.
6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B-PD-A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.
因为PD∥平面MAC，
平面MAC∩平面PDB＝ME，
所以PD∥ME.
因为底面ABCD是正方形，
所以E为BD的中点．
所以M为PB的中点．
(2)取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，
所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP?平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD.
因为OE?平面ABCD，
所以OP⊥OE.
因为底面ABCD是正方形，
所以OE⊥AD.
以O为原点，以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，
＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．
设平面BDP的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝1，z＝.于是n＝(1,1，)．
又平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)，
所以cos〈n，p〉＝＝.
由题知二面角B-PD-A为锐角，
所以二面角B-PD-A的大小为60°.
(3)由题意知M，C(2,4,0)，
则＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则
sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
课件35张PPT。. 谢谢！课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 异面直线所成的角
1．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线所成角的余弦值为( )
A．1 B. C. D.
解析：选D cos〈a，b〉＝
＝＝＝.
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B. C．－ D.
解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2，2,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)．所以1＝(－2，－2，3)，＝(－2,2,0)．
所以cos 〈1，〉＝＝0.
3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，1＝(0,2，－1)，1＝(－2,2,1)．
cos〈1，1〉＝＝＝.
题组2 直线与平面所成的角
4．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
解析：选C ∵l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，∴它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D建系如图，设正方体棱长为1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，
则＝(0,0,1)．
∵B1D⊥平面ACD1，
∴1＝(1,1,1)为平面ACD1的法向量．
设BB1与平面ACD1所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，∴cos θ＝.
6．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小．
解：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz.
设EA＝AC＝BC＝2，
则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)．
(1)证明：∵＝(0,1,1)，＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0.
∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量．
∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝60°.∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
题组3 二面角
7．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )
A．120° B．45°
C．135° D．60°
解析：选B 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1，0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
可取n＝(1,0,1)．
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
解析：设u＝(1,0，－1)，v＝(0，－1,1)．
α与β所成二面角的大小为θ.
则cos θ＝±|cos 〈u，v〉|＝±＝±.
∴θ＝或.
答案：或
9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥DC，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M，N分别为AD，PC的中点，求证：MN∥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值．
解：(1)证明：如图，取BC的中点Q，连接MQ，NQ.
在△PBC中 ，由N为PC的中点，知NQ∥PB，
而NQ?平面PAB，PB?平面PAB，所以NQ∥平面PAB.
在梯形ABCD中，由M为AD的中点，知MQ∥AB，
而MQ?平面PAB，AB?平面PAB，
所以MQ∥平面PAB.
又MQ，NQ为平面MNQ内的两条相交直线，
所以平面MNQ∥平面PAB.
又MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAB.
(2)在△ABD中，因为AD＝4，BD＝8，AB＝4，所以AD2＋BD2＝AB2，故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，于是建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0,0)，A(4,0,0)，P(2,0,2)，B(0,8,0)，＝(2，－8,2)，＝(－4,8,0)，＝(0,8,0)．
设平面PAB的法向量n＝(x1，y1，z1)，
由得
令y1＝1，则x1＝2，z1＝，
所以n＝为平面PAB的一个法向量．
设平面PBD的法向量m＝(x2，y2，z2)，
由得
令x2＝－，则y2＝0，z2＝1，
所以m＝(－，0,1)为平面PBD的一个法向量．
又cos?n，m?＝＝－，由题图可知二面角A-PB-D为锐角，所以二面角A-PB-D的余弦值为.
[能力提升综合练]
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．∴＝(0,1，)，＝(－，0，)．∴cos〈，〉＝＝＝.
2．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A-CD-B的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：选C 取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.且〈，〉为二面角的平面角，由2＝(＋＋)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉，∴cos〈，〉＝－.∴〈，〉＝120°.即所求的二面角为120°.
3.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则BO到平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
解析：建立坐标系如图，则B(1,1,0)，
O，
1＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．
又＝，
∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为
＝＝.
答案：
4．四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝AA1＝2BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点．
(1)求证：EF∥平面A1BC；
(2)求直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值．
解：(1)证明：∵E，F分别是DD1，DA1的中点，∴EF∥A1D1.
又A1D1∥B1C1∥BC，∴EF∥BC，且EF?平面A1BC，BC?平面A1BC，∴EF∥平面A1BC.
(2)∵AB，AD，AA1两两垂直，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，设BC＝1，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，F(0,1,1)，E(0,2,1)，
∴＝(0,1,0)，设平面A1CD的法向量n＝(x，y，z)，
则
取n＝(1,2,2)，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝
＝，
∴直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值等于.
5.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．
解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，
AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，
所以BE⊥平面ABP.
又BP?平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)，
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量．
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
由图知二面角E-AG-C为锐角，
故所求二面角E-AG-C的大小为60°.
6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B-PD-A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.
因为PD∥平面MAC，
平面MAC∩平面PDB＝ME，
所以PD∥ME.
因为底面ABCD是正方形，
所以E为BD的中点．
所以M为PB的中点．
(2)取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，
所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP?平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD.
因为OE?平面ABCD，
所以OP⊥OE.
因为底面ABCD是正方形，
所以OE⊥AD.
以O为原点，以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，
＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．
设平面BDP的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝1，z＝.于是n＝(1,1，)．
又平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)，
所以cos〈n，p〉＝＝.
由题知二面角B-PD-A为锐角，
所以二面角B-PD-A的大小为60°.
(3)由题意知M，C(2,4,0)，
则＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则
sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
