第3课时 空间向量在立体几何中的应用(习题课)
知识点1
利用向量求两点间的距离
?讲一讲
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，AA1＝6，若M，N分别是D1C1，BC的中点，求M，N之间的距离．
[尝试解答] 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(2,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,6)，C1(0,4,6)，于是
M(0,2,6)，N(1,4,0)．
因此M，N之间的距离为
dMN＝＝.
类题·通法
用空间向量方法求两点间的距离或线段的长度，一般有以下两种方法：
(1)建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，套用公式求解；
(2)将线段或两点间对应的向量用基底表示出来，通过数量积，利用公式|a|＝求解．
?练一练
1．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若|AB|＝1，|AC|＝2，|BD|＝3，求CD的长度．
解：因为＝＋＋，
所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝22＋12＋32＋2[0＋0＋||·||cos(180°－60°)]＝4＋1＋9＋2×＝8，故||＝2，即CD长度为2.
知识点2
空间位置关系与空间角的综合
?讲一讲
2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P在棱DF上．
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
(3)若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
[尝试解答] (1)证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，
所以AD⊥平面ABEF，
又BF?平面ABEF，故AD⊥BF.
(2)因为∠BAF＝90°，所以AF⊥AB，
又AD⊥AF，AD⊥AB，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
则B(1,0,0)，E，P，C(1,2,0)．
所以＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝，
所以异面直线BE与CP所成角的余弦值为.
(3)因为AB⊥平面ADF，
所以平面ADF的一个法向量为n1＝(1,0,0)．
设点P的坐标为(0,2－2t，t)(由题意可知0则＝(0,2－2t，t)，又＝(1,2,0)，
所以平面APC的一个法向量为n2＝，
所以|cos〈n1，n2〉|＝
＝＝，
解得t＝或t＝2(舍)．
所以P，
则＝，
所以PF＝.
类题·通法
(1)解决立体几何问题一般有三种方法：综合法、向量法、坐标法．综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．一般情况下，我们遵循的原则是以综合法为基础，以向量法为主导，以坐标法为中心．
(2)向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
?练一练
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．
解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)证明：向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0.
所以BE⊥DC.
(2) ＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则即不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．于是有
cos〈n，〉＝＝＝.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3) ＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ,0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，
解得λ＝，即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的一个法向量n2＝(0,1,0)，则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.易知，二面角F-AB-P是锐二面角，所以其余弦值为.
知识点3
立体几何中的探索性问题
?讲一讲
3．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC＝1，BC＝2，AA1＝4.
(1)当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；
(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A-EB1-B的余弦值是？若存在，求CE的长；若不存在，请说明理由．
[尝试解答] (1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG.
∵F、G分别是AB、AB1的中点，
∴FG∥BB1，FG＝BB1.
又∵B1B∥C1C，EC＝CC1，BB1＝CC1，
∴FG∥EC，FG＝EC，
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG.
∵CF?平面AEB1，EG?平面AEB1，
∴CF∥平面AEB1.
(2)假设这样的点E存在．以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,4)．
设E(0,0，m)(0≤m≤4)，平面AEB1的法向量为
n1＝(x，y，z)，
由1＝(－1,2,4)，＝(－1,0，m)，1⊥n1，⊥n1，
得
令z＝2，则n1＝(2m，m－4,2)，
∵CA⊥平面C1CBB1，
∴是平面EBB1的一个法向量，则平面EBB1的一个法向量为n2＝＝(1,0,0)．
∵二面角A-EB1-B的平面角的余弦值为，
∴＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝，
解得m＝1(满足0≤m≤4)，
∴在棱CC1上存在点E符合题意，此时CE＝1.
类题·通法
立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．
这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
?练一练
3．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC、AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.
(1)若BE＝1, 在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且＝λ，使CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求出此时二面角E-AC-F的余弦值．
解：∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF?平面ABEF，
∴FD⊥AF，
在折起过程中，AF⊥EF，
又FD∩EF＝F，∴AF⊥平面EFDC.
以F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示．
(1)若BE＝1，则各点坐标分别为F(0,0,0)，A(0,0,1)，D(0,5,0)，C(2,3,0)，
∴平面ABEF的一个法向量为＝(0,5,0)，
∵＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴＝＋＝(0,0,1)＋(0,5,0)＝，
∴P，
∴＝＝，
若CP∥平面ABEF，则必有⊥，即·＝0，
∴·＝·(0,5,0)＝·5＝0，∴λ＝，
∴线段AD上存在一点P，且λ＝，使CP∥平面ABEF.
(2)设BE＝x(0故V三棱锥A-CDF＝V三棱锥C-AFD＝×2××(6－x)×x＝(－x2＋6x)，
∴当x＝3时，V三棱锥A-CDF有最大值，且最大值为3，
∴A(0,0,3)，D(0,3,0)，C(2,1,0)，E(2,0,0)，
∴＝(2,0，－3)，＝(2,1，－3)，＝(0,0,3)，＝(2,1,0)，
设平面ACE的法向量m＝(x1，y1，z1)，则
即
令x1＝3，则y1＝0，z1＝2，则平面ACE的一个法向量为m＝(3,0,2)．
设平面ACF的法向量n＝(x2，y2，z2)，则
即
令x2＝1，则y2＝－2，z2＝0，则平面ACF的一个法向量为n＝(1，－2,0)，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
故二面角E-AC-F的余弦值为.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是立体几何中探索性问题的求法，难点是空间位置关系与空间角的综合问题和探索性问题的求法．
2．对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有满足题意的解则存在，若没有满足题意的解则不存在．
课下能力提升(二十一)
1．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB＝的等腰直角三角形，B1A1∥BA，B1A1＝BA.
(1)求证：C1A1⊥平面ABB1A1；
(2)求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．
解：易知CA，CB，CC1两两垂直，
且CA＝CB＝CC1＝1，
故以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,1)，A1，
所以1＝(－1,0,1)，＝，
＝，＝(－1,1,0)．
(1)证明：∵·＝0，·＝0，
∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB.
又∵AA1∩AB＝A，
∴C1A1⊥平面ABB1A1.
(2)设平面AA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·＝0，n·＝0得
令x＝1，则n＝(1，－1,1)．
又＝(0，－1,1)，
设直线BC1与平面AA1C1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|
＝＝＝.
2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝2BC＝4，BF＝CF＝AE＝DE，EF＝2，EF∥AB，AF⊥CF，G为FC的中点．
(1)证明：AF∥平面BDG；
(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，
∵点G为FC的中点，∴OG∥AF.
∵AF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AF∥平面BDG.
(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，
∴M，Q，F，E共面．
作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，
则EN∥FP且EN＝FP.
连接EM，FQ，
∵AE＝DE＝BF＝CF，AD＝BC，
∴△ADE≌△BCF，∴EM＝FQ，
∴Rt△ENM≌Rt△FPQ，
∴MN＝PQ＝1.
∵BF＝CF，Q为BC中点，
∴BC⊥FQ.
又BC⊥MQ，FQ∩MQ＝Q，
∴BC⊥平面MQFE，
∴PF⊥BC，
∴PF⊥平面ABCD.
以P为原点，PM所在直线为x轴，PF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(3,1,0)，B(－1,1,0)，C(－1，－1,0)，
设F(0，0，h)(h>0)，则＝(－3，－1，h)，＝(1,1，h)．
∵AF⊥CF，
∴·＝0，解得h＝2.
则＝(－3，－1,2)，＝(1，－1,2)，
设平面ABF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
令z1＝1，得x1＝0，y1＝2，
∴n1＝(0,2,1)．
同理得平面 BCF的一个法向量为n2＝(－2,0,1)．
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
∴平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝AB，点E是棱AB上一点，且＝λ.
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)是否存在λ，使得二面角D1-EC-D的平面角为？并说明理由．
解：(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设AD＝AA1＝1，AB＝2，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0，0,1)．
因为＝λ，
所以E，
于是＝，＝(－1,0，－1)，
所以·＝·(－1,0，－1)＝－1＋0＋1＝0，
故D1E⊥A1D.
(2)因为DD1⊥平面ABCD，
所以平面DEC的一个法向量为n＝(0,0,1)，
设平面D1EC的法向量为n1＝(x，y，z)，
又＝，＝(0，－2,1)，
则即
整理得取y＝1，则n1＝.
因为二面角D1-EC-D的平面角为，
所以＝，即＝，
解得λ＝－1.
故存在λ＝－1，使得二面角D1-EC-D的平面角为.
4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．
解：(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC.
又△ACD是直角三角形，
所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，
即E为DB的中点，得E.
故＝(－1,0,1)，＝(－2,0,0)，＝.
设n＝(x1，y1，z1)是平面DAE的法向量，
则即
可取n＝.
设m＝(x2，y2，z2)是平面AEC的法向量，
则
即
可取m＝(0，－1，)．
则cos〈n，m〉＝＝＝.
由图知二面角D-AE-C为锐角，
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
5.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，
所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD，
又BC＝AD，所以EF綊BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，
故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0则＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设＝λ，
则x＝λ，y＝1，z＝－λ. ②
由①②解得(舍去)，或
所以M，从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，
则即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
由图知二面角M-AB-D为锐角，
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，A1A＝4，AB＝AC＝2.F为棱AA1上的动点，D是BC1上的点且BD＝DC1.
(1)若DF∥平面ABC，求的值；
(2)当的值为多少时，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为？
解：
(1)如图，以A为原点，BC边上的高所在直线为x轴，平行于BC的直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
∵A1A＝4，∴A1(0,0,4)，
∵∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，
∴B(，－1,0)，C(，1,0)，C1(，1,4)，
∵D是BC1上的点且BD＝DC1，∴D(，0,2)．
设＝λ，则F(0,0,4λ)，
∴＝(－，0,4λ－2)，
∵DF∥平面ABC，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)，∴4λ－2＝0，即λ＝，
∴的值为1.
(2)设＝m，则F(0,0,4m)，＝(－，1,4m)，＝(0,2,4)．
设平面BFC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝，则n＝(4m－2，－2，)．
∵＝＝(，1,0)，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为，
∴＝，
解得m＝，
∴的值为.
课件29张PPT。谢谢！课下能力提升(二十一)
1．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB＝的等腰直角三角形，B1A1∥BA，B1A1＝BA.
(1)求证：C1A1⊥平面ABB1A1；
(2)求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．
解：易知CA，CB，CC1两两垂直，
且CA＝CB＝CC1＝1，
故以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,1)，A1，
所以1＝(－1,0,1)，＝，
＝，＝(－1,1,0)．
(1)证明：∵·＝0，·＝0，
∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB.
又∵AA1∩AB＝A，
∴C1A1⊥平面ABB1A1.
(2)设平面AA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·＝0，n·＝0得
令x＝1，则n＝(1，－1,1)．
又＝(0，－1,1)，
设直线BC1与平面AA1C1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|
＝＝＝.
2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝2BC＝4，BF＝CF＝AE＝DE，EF＝2，EF∥AB，AF⊥CF，G为FC的中点．
(1)证明：AF∥平面BDG；
(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，
∵点G为FC的中点，∴OG∥AF.
∵AF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AF∥平面BDG.
(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，
∴M，Q，F，E共面．
作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，
则EN∥FP且EN＝FP.
连接EM，FQ，
∵AE＝DE＝BF＝CF，AD＝BC，
∴△ADE≌△BCF，∴EM＝FQ，
∴Rt△ENM≌Rt△FPQ，
∴MN＝PQ＝1.
∵BF＝CF，Q为BC中点，
∴BC⊥FQ.
又BC⊥MQ，FQ∩MQ＝Q，
∴BC⊥平面MQFE，
∴PF⊥BC，
∴PF⊥平面ABCD.
以P为原点，PM所在直线为x轴，PF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(3,1,0)，B(－1,1,0)，C(－1，－1,0)，
设F(0，0，h)(h>0)，则＝(－3，－1，h)，＝(1,1，h)．
∵AF⊥CF，
∴·＝0，解得h＝2.
则＝(－3，－1,2)，＝(1，－1,2)，
设平面ABF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
令z1＝1，得x1＝0，y1＝2，
∴n1＝(0,2,1)．
同理得平面 BCF的一个法向量为n2＝(－2,0,1)．
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
∴平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝AB，点E是棱AB上一点，且＝λ.
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)是否存在λ，使得二面角D1-EC-D的平面角为？并说明理由．
解：(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设AD＝AA1＝1，AB＝2，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0，0,1)．
因为＝λ，
所以E，
于是＝，＝(－1,0，－1)，
所以·＝·(－1,0，－1)＝－1＋0＋1＝0，
故D1E⊥A1D.
(2)因为DD1⊥平面ABCD，
所以平面DEC的一个法向量为n＝(0,0,1)，
设平面D1EC的法向量为n1＝(x，y，z)，
又＝，＝(0，－2,1)，
则即
整理得取y＝1，则n1＝.
因为二面角D1-EC-D的平面角为，
所以＝，即＝，
解得λ＝－1.
故存在λ＝－1，使得二面角D1-EC-D的平面角为.
4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．
解：(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC.
又△ACD是直角三角形，
所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，
即E为DB的中点，得E.
故＝(－1,0,1)，＝(－2,0,0)，＝.
设n＝(x1，y1，z1)是平面DAE的法向量，
则即
可取n＝.
设m＝(x2，y2，z2)是平面AEC的法向量，
则
即
可取m＝(0，－1，)．
则cos〈n，m〉＝＝＝.
由图知二面角D-AE-C为锐角，
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
5.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，
所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD，
又BC＝AD，所以EF綊BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，
故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0则＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设＝λ，
则x＝λ，y＝1，z＝－λ. ②
由①②解得(舍去)，或
所以M，从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，
则即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
由图知二面角M-AB-D为锐角，
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，A1A＝4，AB＝AC＝2.F为棱AA1上的动点，D是BC1上的点且BD＝DC1.
(1)若DF∥平面ABC，求的值；
(2)当的值为多少时，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为？
解：
(1)如图，以A为原点，BC边上的高所在直线为x轴，平行于BC的直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
∵A1A＝4，∴A1(0,0,4)，
∵∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，
∴B(，－1,0)，C(，1,0)，C1(，1,4)，
∵D是BC1上的点且BD＝DC1，∴D(，0,2)．
设＝λ，则F(0,0,4λ)，
∴＝(－，0,4λ－2)，
∵DF∥平面ABC，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)，∴4λ－2＝0，即λ＝，
∴的值为1.
(2)设＝m，则F(0,0,4m)，＝(－，1,4m)，＝(0,2,4)．
设平面BFC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝，则n＝(4m－2，－2，)．
∵＝＝(，1,0)，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为，
∴＝，
解得m＝，
∴的值为.
